Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

1.5. Vandermonde-determináns

1.5. Vandermonde-determináns

Gyakran előfordulnak az alábbi speciális típusú determinánsok:

1.5.1 Definíció

Legyen γ12,…,γn tetszőleges. A γ12,…,γn elemek által generált Vandermonde-determináns

A Vandermonde-determináns i-edik sorában tehát rendre γi-nek 0,1,…,n–1-edik hatványa áll. Ha két generáló elem azonos, akkor két egyforma sor van, és így a determináns 0. Az alábbi szorzatalakból kiderül, hogy ennek a megfordítása is igaz.

1.5.2 Tétel

Bizonyítás: Vonjuk ki jobbról bal felé haladva minden oszlopból az őt megelőző oszlop γ1-szeresét:

Most vonjuk le minden sorból az első sort, ezzel az első oszlop utolsó n–1 eleme is 0 lesz, a többi elem pedig nem változott. A második, harmadik stb. sorból rendre γ2–γ1-et, γ3–γ1-et stb. kiemelhetünk. Ezzel a

alakra jutottunk. Így a feladatot egy eggyel kisebb rendű Vandermonde-determinánsra vezettük vissza. A fenti eljárást megismételve (vagy teljes indukcióval) adódik a tétel.❷

Feladatok

1.5.1 Fejezzük ki V=V(γ1,…,γn) segítségével az alábbi szorzatokat:

 a) 1j<inγi-γj b) 1jinγi-γj

1.5.2 Legyenek γ2,…,γn rögzített komplex számok. Hány megoldása van a V(x,γ2,…,γn)=0 egyenletnek? Előfordulhat-e, hogy valamely δ komplex számra a V(x,γ2,…,γn)=δ egyenletnek ennél a) több; b) kevesebb megoldása van?

1.5.3 Egy determináns minden sora mértani sorozat (0 elemet nem engedünk meg). Számítsuk ki a determinánst.

1.5.4 Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, ahol az i-edik sor j-edik eleme ij.

1.5.5

a) Legyenek f0,…,fn–1 valós együtthatós polinomok, ahol deg fk=k, továbbá γ1,…,γn tetszőleges valós számok. Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, amelyben az i-edik sor j-edik eleme fi–1j).

b) Mennyi a determináns értéke, ha a polinomok fokszámára vonatkozó kikötést a deg fkn–2 feltételre cseréljük ki?

M1.5.6 Legyenek α1,…,αn, β1,…,βn valós számok, ahol αiβj≠1. Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, amelyben az i-edik sor j-edik eleme 1-αinβjn/1-αiβj

1.5.7 Legyenek α1,…,αn, β1,…,βn valós számok. Számítsuk ki azt az n×n-es determinánst, amelyben az i-edik sor j-edik eleme (αij)n–1.

1.5.8 Legyenek ϕ1,…,ϕn olyan valós számok, amelyek koszinuszai páronként különbözők. Legyen D1=V(cosϕ1,…,cosϕn), D2 pedig az a determináns, ahol az i-edik sor j-edik eleme cos[(j–1)ϕi]. Bizonyítsuk be, hogy a D2/D1 hányados nem függ a ϕi számok választásától.

1.5.9 Legyenek γ1,…,γn különböző valós számok.

a) Hogyan változik a Vandermonde-determináns, ha γi-t és γj-t felcseréljük?

b) Melyek azok a σ permutációk, amelyekre

 

1.5.10 Egy n×n-es D determináns i-edik sorának j-edik eleme 2ij. A 2-nek hányadik hatványával osztható D?

1.5.11 Legyenek a1,…,an tetszőleges egész számok. Bizonyítsuk be, hogy V(a1,…,an) osztható

a) az 1,2,…,n–1 számok legkisebb közös többszörösével;

*b) V(1,2,…,n)-nel.

*1.5.12 Legyen p>2 prím, és Vp=V(1,2,…,p). Milyen maradékot ad p-vel osztva Vp2?

*1.5.13 Számítsuk ki azt a determinánst, amely V1,…,γn)-től annyiban tér el, hogy az utolsó oszlopban rendre (γin-1 helyett) γin áll.