Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

1.3. Elemi tulajdonságok

1.3. Elemi tulajdonságok

A determináns definíciójából azonnal adódnak az alábbi egyszerű állítások:

1.3.1 Tétel

I. Ha a főátló (azaz a bal felső sarkot a jobb alsó sarokkal összekötő „ÉNy-DK” irányú egyenes) alatt vagy fölött minden elem 0, akkor a determináns a főátlóbeli elemek szorzata.

II. Ha valamelyik sor vagy oszlop minden eleme 0, akkor a determináns is 0.

III. Ha valamelyik sor vagy oszlop minden elemét λ-val megszorozzuk, akkor a determináns is λ-val szorzódik.❶

Bizonyítás: I. és II. lényegében szerepelt az 1.2.3 feladatban. III. esetében a determináns definíció szerinti felírásában minden szorzat λ-val szorzódik, hiszen minden szorzatban pontosan egy tényező van az adott sorból, illetve oszlopból. Mivel az előjelezés nem módosult, így a λ-t minden tagból kiemelve kapjuk, hogy a determinánst adó előjeles összeg is λ-szorosára változott. Megjegyezzük, hogy a II. állítás a III-nak a λ=0 speciális esete.

A következő tulajdonság hasonlóan igazolható (a bizonyítást az 1.3.4 feladatban tűztük ki):

1.3.2 Tétel

Ha valamelyik sor vagy oszlop minden eleme egy kéttagú összeg, akkor a determináns két determináns összegére bomlik, ahol az egyikben az adott sorban, illetve oszlopban rendre az összegek egyik tagja szerepel, a másikban pedig a másik tag, a többi elem pedig mind a két determinánsban ugyanaz, mint az eredetiben volt. Azaz (pl. az első sor elemeire nézve)

Mielőtt továbbmennénk, egy általános észrevételt teszünk. Az eddigiekben úgy tapasztaltuk, hogy ha egy tulajdonság sorokra érvényes volt, akkor ugyanúgy fennállt oszlopokra is (és viszont). Megmutatjuk, hogy ez mindig szükségképpen így van. Az 1.2.3 Tétel alapján ugyanis a determinánsban a sorok és az oszlopok szerepe teljesen szimmetrikus, vagyis ha a determináns definíciójában a „sor” és „oszlop” szavakat következetesen kicseréljük, akkor ugyanahhoz a fogalomhoz jutunk. (Vigyázat, magából az 1.2.2 Definícióból ez nem látszott, viszont az 1.2.3 Tételből már következett.) Tegyük fel most, hogy a sorokkal kapcsolatban igazoltunk valamilyen általános tulajdonságot. Ha itt a bizonyításban következetesen a „sor” szó helyett az „oszlop” szót írjuk és viszont, akkor ugyanennek a tulajdonságnak az oszlopokra vonatkozó változatára kellett hogy nyerjünk egy kifogástalan levezetést.

Ennek alapján bármely, a sorokra fennálló tulajdonság oszlopokra is igaz. Megjegyezzük, hogy mindez majd az 1.3.6 Tételből is közvetlenül adódik. A további tulajdonságokat ezért csak sorokra fogjuk kimondani (de természetesen oszlopokra ugyanúgy érvényesek).

1.3.3 Tétel

Ha két sor egyenlő (azaz a megfelelő elemek megegyeznek), akkor a determináns 0.❶

Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy a determináns definíció szerinti felírásában a szorzatok párba állíthatók úgy, hogy bármely két összetartozó szorzat ugyanaz, azonban az előjelezésük ellentétes. Ebből a tétel nyilvánvalóan következik.

A bizonyítást az egyszerűség kedvéért arra az esetre mondjuk el, amikor az első két sor egyenlő: α1j2j minden j-re.

A bizonyítás gondolatát először egy konkrét példán illusztráljuk. Legyen n=5, és tekintsük a determináns definíciójában az

szorzatot. Mivel a feltétel szerint α1323 és α2515, ezért a determinánsban szintén szereplő

szorzat egyenlő S-sel.

Vizsgáljuk most meg az S, illetve S’ szorzatok előjelezését. Ehhez az oszlopindexekből képezett 35412, illetve 53412 permutáció inverziószámát kell tekintenünk. Az utóbbi permutációt az előzőből úgy nyertük, hogy az első két elemet felcseréltük. Ennek alapján az inverziószám páratlannal változott (jelen esetben 1-gyel, mert a felcserélt elemek szomszédosak voltak). Ez azt jelenti, hogy a két permutáció ellentétes paritású, és így az S és S’ szorzatok előjelezése is ellentétes (jelen esetben a determinánst adó összegben –S és +S’ fog szerepelni).

Pontosan ugyanígy kell végiggondolni az általános esetet is. A determináns definíciójában szereplő szorzatok általános alakja

Ugyanez a szorzat még egyszer előfordul mint

hiszen α1σ(1)=α2σ(1) és α2σ(2)1σ(2). Könnyen látható, hogy ezzel a szorzatokat valóban párbaállítottuk.

Végül igazoljuk, hogy S és S’ ellentétes előjelű lesz. S előjelét a σ(1)σ(2)σ(3)…σ(n) permutáció paritása, S’-ét pedig a σ(2)σ(1)σ(3)…σ(n) permutáció paritása adja. Mivel az utóbbi permutáció az előbbiből (az első) két elem cseréjével keletkezett, így a paritás valóban az ellenkezőjére változott.❷

Az 1.3.3 Tételt az 1.3.1 Tétel III. részével kombinálva azonnal adódik az alábbi következmény:

1.3.3 A Tétel

Ha valamelyik sor egy másik sor λ-szorosa, akkor a determináns 0.❶

Az alábbi tulajdonság lesz az, amelyet a determinánsok számolásánál talán a legtöbbször fogunk alkalmazni.

1.3.4 Tétel

Ha egy sorhoz hozzáadjuk egy másik sor λ-szorosát, akkor a determináns nem változik.❶

Bizonyítás: Az egyszerűbb leírás kedvéért tekintsük azt az esetet, amikor az első sorhoz adjuk hozzá a második sor λ-szorosát. Ekkor az 1.3.2 Tétel alapján

és a jobb oldalon álló második determináns az 1.3.3A Tétel szerint 0.❷

1.3.5 Tétel

Ha két sort felcserélünk, akkor a determináns a negatívjára változik.❶

Bizonyítás: A bizonyítást most is az első két sor esetére végezzük. Az 1.3.4 Tételt fogjuk többször egymás után alkalmazni. Először a második sort kivonjuk az első sorból, majd az (új) első sort hozzáadjuk a második sorhoz, végül a(z új) második sort kivonjuk az (új) első sorból. Eközben a determináns nem változik, az első két sor j-edik eleme pedig a következőképpen módosul:

Végül az első sorból (–1)-et kiemelve, a kapott determináns egyrészt az eredeti determináns(–1)-szerese (1.3.1/III Tétel), másrészt ez a determináns az eredetiből éppen az első két sor felcserélésével keletkezett.❷

1.3.6 Tétel

Ha az elemeket a főátlóra tükrözzük, akkor a determináns nem változik.❶

Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy a két determináns definíció szerinti felírásában ugyanazok a szorzatok szerepelnek és az előjelezésük is azonos.

Az eredeti determináns elemeit jelöljük αij-vel, az újét pedig βij-vel. A feltétel szerint βijji minden i,j-re.

Az eredeti determinánsban szereplő szorzat általános alakját most az 1.2.3 Tételben szereplő módon, αρ(1)π(1)…αρ(n)π(n) formában írjuk fel, ahol ρ a sorindexeknek, π az oszlopindexeknek megfelelő permutáció. Ugyanez a szorzat a főátlóra történő tükrözés után is szerepelni fog, éspedig βπ(1)ρ(1)…βπ(n)ρ(n) alakban. A két szorzat előjelezése is megegyezik, hiszen az előjelet az 1.2.3 Tétel szerint az eredeti determinánsban (–1)I(ρ)+I(π), a tükrözés utániban pedig (–1)I(π)+I(ρ) határozza meg.❷

Megismételjük, hogy az 1.3.6 Tételből (is) következik, hogy bármely, a sorokra érvényes általános determinánstulajdonság szükségképpen igaz az oszlopokra is.

Az 1.3.1–1.3.6 Tételek alapján egy determinánst általában a következő módszerrel tudunk kiszámítani. Arra törekszünk, hogy végül a főátló alatt csupa 0 legyen, ekkor a determináns a főátlóbeli elemek szorzata. Ha az eljárás közben bármikor az adódik, hogy valamelyik sorban vagy oszlopban csupa 0 áll, akkor a determináns 0. Az eljárás során csak olyan lépéseket alkalmazunk, amikor a determináns nem változik, illetve csak előjelet vált (ez utóbbiakat természetesen gondosan nyomon kell követni).

Ha α11≠0, akkor minden sorból az első sor alkalmas többszörösét levonva, elérhetjük, hogy az első oszlop többi eleme 0 legyen. Ha a bal felső sarokban eredetileg 0 állt, akkor az első sort előbb felcseréljük egy olyan sorral, amelynek első eleme nem volt 0, és ezután végezzük a fenti kivonogatásokat. (Ha nincs ilyen sor, akkor az első oszlop minden eleme 0, tehát a determináns 0.)

Ha az első oszlopban az első elem kivételével már minden elem 0, akkor megtehetjük, hogy az első sor második, ..., n-edik elemét minden gondolkodás nélkül 0-ra változtatjuk. Ez abból következik, hogy ha az első oszlop megfelelő többeseit a többi oszlopból levonjuk, akkor az első sorban ezeknek az elemeknek a helyére 0 kerül, és közben semelyik másik elem sem módosul, valamint a determináns sem változik. Erre a lépésre azonban tulajdonképpen nem lesz szükségünk.

A későbbiekben az első oszlop már mindenképpen változatlan marad. Most továbblépünk (az új) α22-re. Ha ez nem nulla, akkor a harmadik, ..., n-edik sorból a második sor megfelelő többszörösét levonva, a főátló alatt a második oszlopba is csupa 0 kerül. Ha α22=0, akkor ezen úgy segíthetünk, hogy a második sort valamelyik alkalmas későbbi sorral felcseréljük. (Ha a második oszlop minden további eleme is 0, akkor a determináns könnyen láthatóan maga is 0.) Ezt az eljárást folytatva, vagy kiderül, hogy a determináns 0, vagy pedig elérhetjük, hogy a főátló alatt csupa 0 álljon.

Példa: Az előző pontban már szerepelt 123456789 determinánst a következőképpen számíthatjuk ki. A második, illetve harmadik sorból levonjuk az első sor 4-, illetve 7-szeresét: 12 30-3-60-6-12 Itt a harmadik sor a második sor kétszerese, tehát a determináns 0. (Ugyanez adódik a fenti eljárásból is: a harmadik sorból a második sor kétszeresét levonva, a harmadik sorba csupa 0 kerül.)

A fenti eljárást, pontosabban annak finomítását fogjuk lineáris egyenletrendszerek megoldásánál is alkalmazni; ezt hívják Gauss-féle kiküszöbölésnek (lásd a 3.1 pontot).

Megjegyezzük, hogy a determináns kiszámításánál a sorok helyett természetesen az oszlopokkal is hasonlóan manipulálhatunk, sőt akár felváltva, hol oszlopokkal, hol pedig sorokkal dolgozhatunk. Számos determináns kiszámításánál nem feltétlenül a fenti általános módszer a célravezető, hanem mindenféle egyedi trükköket lehet (vagy kell) alkalmazni.

Néhány jótanács. Érdemes a determináns elemeiből minél többet részletesen felírni, és ezeknek a változását az egyes lépéseknél gondosan regisztrálni. Gyakran a részletes és pontos felírás már félmegoldás, mert szinte sugallja, hogy a következő lépésben mit érdemes csinálni. Azt is fontos jelezni, hogy mi az a lépés, amit éppen végeztünk, mert különben később (pl. egy esetleges hibakeresésnél) gyakran már magunk sem tudjuk rekonstruálni, hogy mire is gondoltunk akkor.

Nagyon veszélyes, ha több lépést megpróbálunk összevonni. Ha pl. a második sorból kivontuk az első sort, akkor a következő lépésben már egy „másik” determinánst alakítunk tovább, amelynek új a második sora. Ezért legfeljebb olyan típusú összevonásokat szabad csinálni, amikor az egyes lépések nem befolyásolják egymást, pl. az első sort kivonjuk az összes többi sorból.

Pontosan át kell gondolni a „minden sorból kivonjuk a fölötte álló sort” típusú manővereket. Nem mindegy ugyanis, hogy ezt alulról, vagy felülről kezdjük. Ha felülről kezdjük, akkor a harmadik sorból már egy módosított második sort (ti. az eredeti második sornak és az eredeti első sornak a különbségét) kell levonni. Ha alulról haladunk felfelé, akkor mindig az eredeti sorok kerülnek levonásra. Azt se felejtsük el, hogy az első sor mindenképpen változatlan marad.

Feladatok

1.3.1 Mi történik egy determinánssal, ha a függőleges középvonalára tükrözzük?

1.3.2 Hány olyan komplex szám van, amellyel egy n×n-es komplex elemű mátrix minden elemét megszorozva a mátrix determinánsa az ellentettjére változik?

1.3.3 Számítsuk ki az alábbi determinánsokat: a) 123456123426123457123427 b)   1111  111  11111111111111123451234123

1.3.4 Bizonyítsuk be az 1.3.2 Tételt.

1.3.5 Bizonyítsuk be az 1.3.5 Tételt közvetlenül, az 1.3.4 Tétel felhasználása nélkül.

1.3.6 Mutassuk meg, hogy pl. valós számokra az 1.3.5 Tételből azonnal következik az 1.3.3 Tétel. Alkalmazható-e ez a gondolatmenet bármely test esetén?

1.3.7 Legyen α≠0 rögzített komplex szám. Egy (komplex elemű) n×n-es mátrixban (minden k-ra és j-re) a k-adik sor j-edik elemét a)αj–k-val; b)αj+k-val megszorozzuk. Mi a kapcsolat a régi és az új mátrix determinánsa között?

1.3.8 Számítsuk ki az alábbi n×n-es determinánsokat.

a) αij=i,  ha i=j;1,  ha ij.

b) αij=min(i,j).

c) αij=ij.

d) αij=i+j.

e) αij=i2+j2.

1.3.9 Egy determináns minden sora számtani sorozat. Számítsuk ki a determinánst.

1.3.10 3ǀ5301, 3ǀ4227, 3ǀ8340, 3ǀ2346 és történetesen 3 5482323302441706 Vajon a véletlen játékával állunk-e szemben? Mi a helyzet 3 helyett 23-mal?

1.3.11 Legyenek γ1,…,γn és δ1,…,δn tetszőleges komplex számok, és tekintsük azt a mátrixot, amelyben az i-edik sor j-edik eleme 1+γiδj. Számítsuk ki a mátrix determinánsát.

1.3.12 Egy determináns főátlójának minden eleme γ, a többi helyen pedig δ áll. Számítsuk ki a determinánst.

1.3.13 Egy páratlan rendű négyzetes mátrixban αijji=0 teljesül minden i, j-re (ferdén szimmetrikus vagy antiszimmetrikus mátrix). Mennyi a determinánsa?

1.3.14 Egy komplex elemű D determináns bármely sorához van a determinánsnak (legalább egy és az adott sortól nem feltétlenül különböző) sora, amely ennek a sornak a konjugáltja (azaz a megfelelő elemek egymás konjugáltjai). Bizonyítsuk be, hogy D2 valós szám.

1.3.15 Számítsuk ki az alábbi determinánst és általánosítsuk a feladatot:

 

1.3.16 Számítsuk ki az alábbi n×n-es determinánsokat; b)-ben αij=i, ha j≡1 (mod i), a többi helyen pedig 1 áll.

 a) 1111110001010010010100011 b) 11111212123113141114n1111

1.3.17 Egy n×n-es mátrix főátlójában csupa 1-es áll, közvetlenül a főátló alatt mind az n–1 elem –1, közvetlenül a főátló fölött rendre 12,22,…,(n–1)2helyezkedik el, a többi elem pedig 0. Számítsuk ki a mátrix determinánsát.

1.3.18 Legyenek φ1,…,φn tetszőleges szögek és az n×n-es A mátrix elemei αij=cos(φij). Számítsuk ki det A-t.

1.3.19 Egy n×n-es mátrix elemei egész számok, és egyetlen sorban sincs két olyan szám, amely azonos maradékot adna n-nel osztva. Bizonyítsuk be, hogy ha n páratlan szám, akkor a mátrix determinánsa osztható n-nel. Mit állíthatunk páros n esetén?

1.3.20 Egy ϕ(n)×ϕ(n)-es mátrix elemei n-hez relatív prím egész számok, és egyetlen sorban sincs két olyan szám, amely azonos maradékot adna n-nel osztva (ϕ(n) az Euler-féle ϕ-függvény). Bizonyítsuk be, hogy ha n>2, akkor a mátrix determinánsa osztható n-nel.

*1.3.21 Legyen n≥7 és tekintsük azt az n×n-es mátrixot, amelyben αij=ij legkisebb pozitív maradéka modulo n (tehát ha ij osztható n-nel, akkor aij=n, nem pedig 0). Bizonyítsuk be, hogy a mátrix determinánsa 0.