Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

1.2. A determináns definíciója

1.2. A determináns definíciója

Legyen n rögzített pozitív egész. A determinánst első közelítésben úgy tekinthetjük, mint egy számot, amelyet n2 darab számból bizonyos bonyolult szabályok szerint számítunk ki.

A determináns definícióját számok helyett általánosabban egy tetszőleges T kommutatív test elemeire fogjuk kimondani. A kommutatív test pontos definíciója megtalálható az A.2 pontban, röviden összefoglalva ez azt jelenti, hogy a „négy alapművelet” (a nullával való osztás kivételével) elvégezhető, és a szokásos műveleti azonosságok érvényesek. Legfontosabb példák: R, C, illetve Q, a valós, a komplex, illetve a racionális számok teste, valamint Fp, a modulo p maradékosztályok teste, ahol p prímszám. Azt is megjegyezzük, hogy a determináns definíciójához és az ebben a fejezetben tárgyalt tulajdonságaihoz osztásra nincs is szükség, és így pl. egész számokból vagy polinomokból képezett determinánsról is beszélhetünk.

Nem befolyásolja a továbbiak megértését és az Olvasó helyes képet fog kapni a megfelelő fogalmakról akkor is, ha a továbbiakban a „T kommutatív test elemei” helyett egész egyszerűen (pl. valós vagy komplex) számokra gondol.

A determináns definíciójához lényeges lesz, hogy n2 darab T-beli elemet egy n×n-es négyzet alakú táblázatba rendezzünk. Az ilyen és az ennél általánosabb, téglalap alakú táblázatokat mátrixoknak nevezzük:

1.2.1 Definíció

Legyen T egy kommutatív test és k,n adott pozitív egészek. Ekkor a T test feletti k×n-es mátrixon egy olyan téglalap alakú táblázatot értünk, amelynek k sora és n oszlopa van, és amelynek elemei T-ből valók.❶

Jelölések: Magát a mátrixot úgy jelöljük, hogy a táblázatot zárójelek közé foglaljuk. A továbbiakban sima gömbölyű ( ) zárójelet fogunk használni, de szokásos a szögletes [ ] zárójel használata is.

Példa: 075184 egy 2×3-as (valós elemű) mátrix.

Egy általános A mátrix i-edik sorának j-edik elemét αij-vel fogjuk jelölni. Az első index tehát azt jelzi, hogy a szóban forgó elem a táblázat hányadik sorában áll, a második index pedig azt, hogy hányadik oszlopban. Az előző példában α23=4. Ennek megfelelően egy k×n-es mátrix általános alakja

A mátrixok részletes tárgyalása a következő fejezetben kezdődik.

Ennek a fejezetnek a további részében csak n×n-es négyzetes mátrixokról lesz szó. Ezek általános alakja

Most rátérünk a determináns definíciójára. Az A mátrix determinánsán (ezt det A-val jelöljük majd) egy olyan T-beli elemet értünk, amelyet a következőképpen határozunk meg. Először is n-tényezős szorzatokat képezünk minden lehetséges módon úgy, hogy a mátrix minden sorából és minden oszlopából pontosan egy tényezőt veszünk (összesen n! ilyen szorzat képezhető). A következő lépésben minden egyes szorzatot „+” vagy „–” előjellel látunk el: ez azt jelenti, hogy vagy magát a szorzatot tekintjük, vagy pedig a negatívját (ellentettjét). Az előjelezési szabályt a következő bekezdésben részletezzük. Végül ezeket az előjeles szorzatokat összeadjuk (azaz az összeg minden tagja vagy egy ilyen szorzat, vagy pedig a szorzat negatívja). Az így kapott (n!-tagú) összeget (amely tehát egy T-beli elem) nevezzük az A mátrix determinánsának vagy más szóval az αij elemekből képezett (n-edrendű vagy n×n-es vagy n méretű) determinánsnak.

Egy szorzat „előjelezése” a következőképpen történik. A szorzat tényezőit írjuk fel olyan sorrendben, hogy az első helyen az 1. sorból vett elem álljon, a második helyen a 2. sorból vett elem stb. Ha itt rendre megnézzük, hogy a szorzat tényezői hányadik oszlopból valók, akkor ezek az oszlopindexek is valamilyen sorrendben az 1,2,…,n számokat futják be (hiszen minden oszlopból pontosan egy elem szerepel), tehát ezek az oszlopindexek az 1,2,…,n számok egy permutációját adják. A szorzatot aszerint látjuk el pozitív, illetve negatív előjellel (tehát aszerint szerepel maga a szorzat, illetve az ellentettje majd az összegben), hogy ez a permutáció páros, illetve páratlan.

Példa: A=123456789 esetén az egyik szorzat a 2·6·7. Itt a tényezők már sorok szerint vannak rendezve, és ezeket a tényezőket rendre a 2., a 3., majd az 1. oszlopból vettük. Az oszlopindexek permutációja tehát 231, amelyben két inverzió van. Így ez páros permutáció, a szorzat előjele tehát pozitív (vagyis maga ez a szorzat, nem pedig az ellentettje fog szerepelni a determinánst megadó összegben).

FIGYELEM! A szorzat előjelezésének semmi köze sincs maguknak a szorzótényezőknek az értékéhez, ez kizárólag az n tényezőnek a mátrixon belüli elhelyezkedésétől függ. Az előjel meghatározásánál csakis az oszlopindexek imént említett permutációjának paritása számít, ez a permutáció pedig mindig az 1,2,…,n természetes számokra vonatkozik, függetlenül attól, hogy a mátrix elemei (valós, komplex stb.) számok vagy sem (pl. maradékosztályok).

A determinánst úgy jelöljük, hogy a táblázatot (a zárójelek nélkül) két függőleges vonal közé tesszük.

A fentieket az alábbi definícióban foglaljuk össze:

1.2.2 Definíció

Az A=α11α12α1nα21α22α2nαn1αn2αnn mátrix determináns a (vagy más szóval az αij,i,j=1,2,…,n elemekből képezett determináns)

A jobb oldalon álló ∑ összegzést az 1,2,…,n számok minden lehetséges σ permutációjára kell elvégezni. Az összegben az n! tagnak pontosan a felét láttuk el negatív előjelezéssel (azaz ennyiszer szerepel a szorzat helyett az ellentettje), hiszen ugyanannyi páratlan és páros permutáció van (az n=1 triviális esettől eltekintve).

Példa:

A definíció alapján meglehetősen nehézkes egy determináns kiszámítása. Később látni fogjuk, hogy egy determinánst szinte sohasem a definíció alapján számítunk ki, hanem azoknak a módszereknek a segítségével, amelyeket majd a következő pontokban tárgyalunk.

Néhány további megjegyzés a determináns definíciójával kapcsolatban. Ha jobban belegondolunk, akkor a(z n-edrendű) determináns tulajdonképpen egy függvény, amely az n×n-es mátrixokhoz rendel T-beli elemeket. Egy adott mátrix determinánsa ekkor egy konkrét függvényérték. A „determináns” szót mindkét értelemben fogjuk használni (tehát mind a függvényt, mind pedig annak egy értékét így nevezzük), de ez (reméljük) nem okoz félreértést.

Ha ki akarjuk hangsúlyozni, hogy egy adott A mátrix determinánsáról van szó, akkor erre a det A jelölést használjuk. Ha egy determináns valamelyik soráról, oszlopáról vagy eleméről beszélünk, ezen a megfelelő mátrix adott sorát, oszlopát, illetve elemét értjük. Például egy olyan kijelentés, hogy „a determinánsban két sort felcserélünk”, annak a rövidített megfogalmazása, hogy a mátrixban felcserélünk két sort és az így keletkező mátrix determinánsát vizsgáljuk.

Még egyszer hangsúlyozzuk azonban, hogy a mátrix és a determináns alapvetően különböző matematikai fogalmak. A mátrix egy táblázat, tehát T-beli elemek bizonyos rendszere, míg a determináns egyetlen T-beli elemet jelent. Ezért nagyon ügyeljünk a határolójelek helyes használatára; mátrixnál ez gömbölyű zárójel, determinánsnál pedig két függőleges egyenes vonal.

A determináns fenti definíciójában lényeges volt, hogy egy n-tényezős szorzatot először a sorindexek szerint rendezzünk, és csak utána nézzük az oszlopindexek permutációjának paritását (páros vagy páratlan voltát). Ha más sorrendben írjuk fel a tényezőket, akkor az oszlopindexek permutációja is más lesz, és a paritás is megváltozhat, ily módon nem nyerünk információt az előjelezéssel kapcsolatban. Az alábbi tétel akkor is lehetővé teszi az előjel meghatározását, ha a tényezőket tetszőleges sorrendben írtuk fel. Ez a kiszámítási mód egyben megszünteti a sorok és oszlopok szerepének eddigi aszimmetriáját.

1.2.3 Tétel

Tekintsünk egy, a determináns definíciójában szereplő n-tényezős szorzatot, ahol tehát minden sorból és minden oszlopból egy elem szerepel. Ez a szorzat (a tényezőket tetszőleges sorrendben felírva) αρ(1)π(1)…αρ(n)π(n) alakú, ahol ρ a sorindexeknek, π az oszlopindexeknek megfelelő permutáció. Ekkor az előjelet(–1)I(ρ)+I(π) határozza meg.❶

Bizonyítás: Ha ρ a természetes sorrendnek megfelelő permutáció, akkor ez éppen a determináns definíciójában szereplő előjelezés, hiszen I(ρ)=0. Könnyen látható, hogy a tényezőknek ebből a sorrendjéből kiindulva cserék egymásutánjával bármelyik másik sorrendhez eljuthatunk. Így elég azt megmutatnunk, hogy ha a szorzatban két tényezőt felcserélünk, akkor az I(ρ)+I(π) összeg paritása nem változik. Ez valóban igaz: egy ilyen csere ugyanis mind a ρ, mind a π permutációban két elem cseréjét jelenti, ezért mindkét permutációban az inverziószám páratlannal változik, tehát az inverziószámok összegének paritása változatlan marad.❷

Az 1.2.3 Tétel egyik következménye, hogy a determináns definíciójában a sorok és oszlopok szerepe felcserélhető; az előjelezést úgy is végezhetjük, hogy a szorzatok tényezőit az oszlopok sorrendjében írjuk fel, és az ekkor kialakuló sorindexek permutációjának a paritását nézzük. Ez az 1.2.3 Tétel jelölései szerint annak az esetnek felel meg, amikor π éppen a természetes sorrend.

Feladatok

1.2.1 Mi az alábbi polinomokban x3 együtthatója? a) 3x5712x25x621x032147 b) 3x25712x25x621x032147

1.2.2 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha egy mátrix minden eleme racionális szám, akkor a mátrix determinánsa is racionális szám.

b) Ha egy mátrix minden eleme irracionális szám, akkor a mátrix determinánsa is irracionális szám.

c) Ha egy mátrixnak pontosan egy eleme irracionális szám, a többi pedig racionális, akkor a mátrix determinánsa irracionális szám.

d) Ha egy n×n-es mátrixnak legalább n2n+1 eleme 0, akkor a mátrix determinánsa 0.

e) Ha egy mátrix determinánsa 0, akkor a mátrixban előfordul 0 elem.

f) Ha egy mátrix elemei racionális számok és a determinánsa 1/27, akkor a mátrixban van olyan elem, amelynek a nevezője 3-hatvány.

g) Ha egy mátrix elemei racionális számok és a determinánsa 1/27, akkor a mátrixban van olyan elem, amelynek a nevezője 3-mal osztható.

1.2.3 Számítsuk ki az n-edrendű determinánst, ha tudjuk, hogy

a) α1j=0 minden j-re (azaz az első sor minden eleme 0);

b) αij=0 minden i<j-re (azaz a főátló felett minden elem 0);

c) αij=0, ha i+j>n+1 (azaz a mátrix bal alsó és jobb felső sarkát összekötő átló alatt minden elem 0).

1.2.4 Számítsuk ki az alábbi n-edrendű determinánsokat (n>1).

a) αij=1,  ha ji+1mod n;  0,  egyébként                      (azaz közvetlenül a főátló felett, valamint a bal alsó sarokban 1-ek állnak, minden más elem 0).

b) αij=1 (azaz minden elem 1).

c) αij=1,  ha j-i=1;  0,  egyébként         (azaz közvetlenül a főátló felett és alatt 1-ek állnak, a többi elem 0).

1.2.5 Egy n×n-es mátrixban van egy k sorból és m oszlopból álló téglalap alakú rész, amelyben minden elem 0. Bizonyítsuk be, hogy ha k+m>n, akkor a mátrix determinánsa 0.

1.2.6 Egy n×n-es mátrixban két elemet felcserélünk, a többin nem változtatunk. Tekintsük az eredeti és az új mátrix determinánsának a definíció szerinti felírását. Hány azonos szorzat szerepel a tagok között, ha a szorzatok előjelezését nem vesszük figyelembe? Változik-e a helyzet, ha a szorzatok előjelezését is figyelembe vesszük?

1.2.7 Egy 1000×1000-es valós elemű mátrixban tetszőleges számú elem helyére általunk választott elemeket írhatunk. Legkevesebb hány elem módosításával tudjuk elérni, hogy a keletkező determináns 0 legyen?

1.2.8 Tekintsük az α11x112x21, α21x122x22 lineáris egyenletrendszert, és tegyük fel, hogy α11α12α21α220 Bizonyítsuk be, hogy az egyenletrendszer egyetlen megoldása

 

1.2.9 Tekintsük azt a paralelogrammát, amelynek egyik csúcspontja az origó, két másik csúcspontja pedig (β1, β2), illetve (δ1, δ2). Bizonyítsuk be, hogy a paralelogramma területe β1β2δ1δ2abszolút értéke.

*1.2.10 Tekintsük az összes olyan n×n-es A mátrixot, amelyek minden sorában legfeljebb két darab nemnulla elem áll. Jelöljük k(A)-val, hány nemnulla tag lép fel abban az (előjeles n-tényezős szorzatokból képezett) összegben, amely det A definíció szerinti felírását adja. Mi k(A) lehető legnagyobb értéke?

1.2.11 Bizonyítsuk be, hogy