Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

7. Bilineáris függvények

7. Bilineáris függvények

7.1.9 b) A függvények helyett a megfelelő mátrixokkal okoskodunk. Legyen [A]=(αij)1≤i,j≤n , továbbá Aij az a bilineáris függvény, amelynek a mátrixában az i-edik sor j-edik eleme αij , a többi elem pedig 0. Ekkor Aij felírható Aiju_ ,v_ =Φu_v_ alakban, ahol Φ értéke a b_i helyen αij és a többi báziselemen 0,Ψ értéke pedig a b_j helyen 1 és a többi báziselemen 0. Mivel A=1i, jnAij  így A előáll a kívánt összegalakban, a tagok száma r=n2.

Megmutatjuk, hogy r lehető legkisebb értéke az A mátrixának a rangja, r([A]). Mivel egy ϕu_v_ alakú (nem azonosan nulla) bilineáris függvény mátrixának a rangja 1, és mátrixok összegének a rangja legfeljebb a rangok összege, ezért Au_ ,v_ =m=1rΦmu_mv_ mátrixának a rangja legfeljebb r, azaz r([A])≤r.

Be kell még látni, hogy A valóban előáll r([A]) tagú összegként ilyen alakban. Ez mátrixokra átfogalmazva azt jelenti, hogy egy r rangú A mátrix mindig felírható r darab ( n×1-es mátrixnak tekintett) oszlopvektor és r darab ( 1×n-es mátrixnak tekintett) sorvektor szorzatának, azaz r darab diádnak az összegeként. Legyen A=(αij)1≤i,j≤n és jelölje Oj , illetve Si a mátrix j-edik oszlopából, illetve i-edik sorából álló ( n×1-es, illetve 1×n-es) mátrixokat. Vegyünk egy tetszőleges αij≠0 elemet és legyen B=((1/αij)Oj) Si . Ekkor a B egy olyan diád, amelynek az i-edik sora és j-edik oszlopa azonos az A mátrix i-edik sorával és j-edik oszlopával, tehát az A’=A-B mátrix i-edik sora és j-edik oszlopa csupa 0-ból áll. Megmutatjuk, hogy r(A’)=r(A)-1, ezután az eljárást az A’ mátrixra megismételve stb. (vagy r szerinti indukcióval) kapjuk a kívánt állítást. Vonjuk le az A mátrix oszlopaiból a j-edik oszlop megfelelő skalárszorosait, hogy az i-edik sorban a j-edik elemtől eltekintve minden elem 0 legyen, majd az (új) i-edik sor megfelelő skalárszorosait a többi sorból levonva érjük el, hogy a j-edik oszlop elemei is az i-edik helyen álló αij-től eltekintve mind 0-k legyenek. Az átalakítások során a rang nem változott, tehát az így kapott A1 mátrixra r(A1)=r(A), továbbá A’ és A1 pontosan csak abban különböznek egymástól, hogy az i-edik sor j-edik eleme A’-ben 0, míg A1-ben αij≠0. Vegyünk A’-ben egy maximális méretű h×h-as nemnulla D aldeterminánst. Ez nyilván nem tartalmazhatja a csupa nulla i-edik sort vagy j-edik oszlopot. Vegyük most A1-ben azt a (h+1)×(h+1)-es D1 aldeterminánst, amelyet D-ből az (A1-beli) i-edik sor és j-edik oszlop hozzávételével kapunk, ekkor nyilván D1=±αijD≠0, tehát r(A1)≥r(A’)+1. Mivel A’ és A1 mindössze egyetlen elemben különböznek, ezért itt szükségképpen egyenlőség áll, tehát valóban r(A)=r(A1)=r(A’)+1, ahogy állítottuk.

Megjegyezzük, hogy a bizonyításban nem használtuk ki, hogy négyzetes mátrixról van szó: bármilyen alakú mátrix előállítható diádok összegeként és itt az összeadandók számának a lehető legkisebb értéke a mátrix rangja (a nullmátrixra ez úgy érvényes, ha az üres összeget a szokásos módon nullának vesszük).

7.2.9 A 7.2.3 Tétel második bizonyításából leolvasható, hogy a v_-re A-ortogonális w_ vektorok W halmaza valóban altér és legalább n-1-dimenziós, azaz vagy W=V, vagy pedig dimW=n-1. Egy másik lehetőség, hogy a v_TAw_=0 homogén lineáris „egyenletrendszert” tekintjük, amelyben az ismeretlenek a w_ vektor koordinátái. Ez a rendszer egyetlen egyenletből áll, az ismeretlenek száma pedig n, tehát legalább n-1 szabad paraméter van, azaz a megoldásokból egy legalább n-1-dimenziós alteret kapunk.

Ha Av_ , v_0 akkor v_W miatt csak dimW=n-1 lehetséges, v_=0_ vagy A=0 esetén pedig triviálisan W=V. Ez azt jelenti, hogy dimW=n-1 és dimW=n egyaránt megvalósulhat.

Az alábbiakban részletesen megvizsgáljuk, hogy a v_=0_  illetve A=0 triviális eseteken kívül mikor lesz még W=V, azaz mikor lesz v_ minden vektorra A-ortogonális. Ekkor v_ -nek nyilván önmagára is A-ortogonálisnak kell lennie, tehát a továbbiakban feltesszük, Av_ , v_=0 teljesül.

Nézzük először azt az esetet, amikor Ax_ , x_0 minden x_ -re vagy Ax_ , x_0 minden x_ -re (azaz a 7.3 pontban bevezetett terminológiával A pozitív vagy negatív szemidefinit). Megmutatjuk, hogy ekkor W=V. Tegyük fel például, hogy Ax_ , x_0 minden x_ -re, és vegyünk egy A-ortogonális c_1, . . . ,c_n bázist, ahol (valamilyen t-re) Ac_i ,c_i=0  ha 1≤i≤t, és Ac_i ,c_i>0  ha t<in. Ekkor könnyen láthatóan Av_ , v_=0v_c_1 , . . . ,c_t  és ekkor v_ mindegyik c_j -re ( 1≤jn), tehát a vektortér minden elemére is A-ortogonális.

Tegyük most fel, hogy az Ax_ , x_ értékek között pozitív és negatív szám is előfordul (azaz A indefinit). Válasszunk egy A-ortogonális c_1 , . . . ,c_n bázist, és legyenek c_1 , . . . ,c_t ebben azok a bázisvektorok, amelyekre Ac_i ,c_i=0 (most t=0 is lehet). Ha v_c_1 , . . . ,c_t  akkor az előző bekezdésben látottakhoz hasonlóan v_ mindegyik c_j -re ( 1≤jn), és így a vektortér minden elemére is A-ortogonális, tehát W=V. Ha v_c_1 , . . . ,c_t  akkor v_ nem lehet c_t+1 , . . . ,c_n mindegyikére A-ortogonális, tehát ekkor WV (és így dimW=n-1).

• 7.2.10 Minden szimmetrikus bilineáris függvénynek van olyan diagonális mátrixa, ahol a főátló első néhány eleme 1, utána néhány -1, és végül néhány 0 következik. (A „néhány” itt azt is jelentheti, hogy esetleg egyetlen ilyen elem sincs, de azt is, hogy akár az összes elem ilyen.) A tehetetlenségi tétel szerint az ilyen típusú (különböző) mátrixok száma megegyezik a páronként nem ekvivalens szimmetrikus bilineáris függvények számával. Az ilyen mátrixokat az n pontból és 2 vonalból álló sorozatokkal jellemezhetjük: az első vonal elé, a két vonal közé, illetve a második vonal után rendre annyi pontot írunk, ahány 1, -1, illetve 0 van a mátrix főátlójában. Az ilyen sorozatok száma nyilván n+22 

• 7.3.13 Ha A nem indefinit, akkor a 7.2.9 feladat megoldásában látott gondolatmenettel igazolhatjuk, hogy bármely v_0_ vektor kiegészíthető A-ortogonális bázissá. Ha azonban A indefinit, akkor ez nem teljesül. Legyenek c_1 , c_2 olyan A-ortogonális vektorok, amelyekre Ac_1 ,c_1=1, Ac_2,c_2=-1 ekkor pl. v_=c_1+ c_20_ vektor nem lehet eleme egy A-ortogonális bázisnak. Ha ugyanis v_=d_1, d_2 , . . . , d_n  mégis A-ortogonális bázist alkotna, akkor Av_ , v_=0 miatt v_ mindegyik d_i -re, és így az egész V-re A-ortogonális lenne, ami ellentmondás, hiszen pl. Ac_1 , v_=Ac_1 , c_1=1

• 7.3.14 a) Ha A=0, akkor KerÃ=V. Ha A definit, akkor Ker A~=0_  Ha A szemidefinit, és egy A-ortogonális bázisban c_1 , . . . ,c_t azok a bázisvektorok, amelyekre A~c_i=0  akkor Ker A~=c_1 , . . . ,c_t (lásd pl. a 7.2.9 feladat megoldásánál). Végül megmutatjuk, hogy Kerà nem altér, ha A indefinit. Legyenek c_1 , c_2 olyan A-ortogonális vektorok, amelyekre Ac_1 , c_1=1 , Ac_2,c_2=-1  Ekkor a  v_=c_1+c_2 és z_=c_1- c_2 vektorok elemei a magnak, azonban az összegük nem: v_+z_=2c_1Ker A~ 

b) A definit és szemidefinit esetekben a mag valódi altér, tehát nem tartalmazhatja az egész térnek egy bázisát. Ha A=0, akkor a mag az egész V, tehát bármely bázis megfelel. Végül megmutatjuk, hogy indefinit A-ra is kiválasztható a magból a térnek egy bázisa. Legyen az A egy diagonális mátrixában a főátló első r eleme 1, a következő s eleme -1, a többi t=

=n-r-s eleme pedig 0 (itt az indefinitség miatt r≥1,s≥1). Legyen az ennek megfelelő (egyik) A-ortogonális bázis m_1 , . . . , m_r ,n_1, . . . ,n_s ,o_1, . . . ,o_t  ahol Am_i , m_i=1, An_j , n_j=-1,Ao_k , o_k=0  Ekkor az m_i±n_j és o_k vektorok valamennyien elemei a magnak, továbbá együttesen V-nek egy generátorrendszerét alkotják. Így közülük biztosan kiválasztható V-nek egy bázisa.

c) Ha a mag altér, akkor ez a maximális szám a mag dimenziója, azaz definit esetben 0, szemidefinit esetben a diagonális mátrix átlójában a nullák száma, A=0 esetén pedig n. Végül, ha A indefinit, akkor a b) rész szerint a magból kiválasztható V-nek egy bázisa, tehát a keresett maximum n.

d) Ha a mag altér, akkor nyilván most is a mag dimenziója a válasz. Ha A indefinit, akkor megmutatjuk, hogy a keresett maximum a b)-beli jelölésekkel n-max(r,s). Legyen pl. rs, ekkor az m_i+n_i , 1is és o_k,1kt  vektorok függetlenek és az általuk generált s+t=n-r dimenziós altér része a magnak. Másrészt, ha U egy n-r-nél nagyobb dimenziós tetszőleges altér, akkor dimU+dimm_1, . . . ,m_r>n-r+r=n  tehát a két altér metszete tartalmaz egy z_0_ vektort. Azonban m_1, . . . ,m_r bármely z_0_ elemére Az_ , z_>0  tehát z_Ker A~ és így a z_ -t tartalmazó U altér sem lehet része a magnak.