Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

5. Lineáris leképezések

5. Lineáris leképezések

• 5.5.9 Írjuk fel, hogyan fogalmazható át az, hogy néhány Aij lineáris kombinációja a O leképezés. A

egyenlőség azt jelenti, hogy tetszőleges αir, αjr 1rm komplex számokra

azaz

teljesül. Innen látszik, hogy ha pl. az i1 index értéke az összes többi ir index értékétől különbözik, akkor szükségképpen λ1 =0: helyettesítsük be ugyanis az αi1=1, αi2= . . . =αim=0 számokat. Természetesen hasonló érvényes a jr indexekre is.

a) Alkalmazzuk a fentieket most az m=3 esetre. Mivel az Aij leképezések nyilván nem egymás skalárszorosai, ezért közülük bármelyik kettő független. Emiatt ha három Aij -nek egy lineáris kombinációja a O leképezés, és kiderül, hogy ebben a kombinációban valamelyik λt együttható 0, akkor a másik két együttható is szükségképpen 0. A lineáris függetlenséghez így elég belátni, hogy bármely három (különböző) ( i1, j1 ),( i2 ,j2 ),( i3 ,j3 ) indexpár esetén vagy a három i indexérték, vagy a három j indexérték között van olyan, amely különbözik a másik kettőtől. Ha az i-k nem mind egyformák, akkor legalább az egyikük csak egyszer fordulhat elő. Ha egyformák, akkor pedig a j-k mind különbözők kell, hogy legyenek.

b) Pl. A11+A22-A12-A21=O 

c) Pl. az alábbi hét (ij) indexpárhoz tartozó Aij leképezések lineárisan függetlenek Hom (V1,V2)-ben: (11),(12),(13),(14),(24),(34),(44). Ugyanis az i-k között a 2, a 3 és a 4 csak egyszer fordul elő, így az ezeknek megfelelő leképezésekhez tartozó utolsó három együttható λ567=0. Ugyanez a helyzet a j-knél az 1, 2, 3-mal, tehát az első három együttható is nulla. Ekkor azonban a maradék középső együttható, λ4 is csak nulla lehet.

Bebizonyítjuk, hogy bármely nyolc darab Aij leképezés viszont már lineárisan összefüggő. Mivel a Hom (V1,V2) vektortér 4·2=8-dimenziós, így elég belátni, hogy az összes Aij által generált altér nem tartalmazza Hom (V1,V2) minden elemét. Megmutatjuk, hogy pl. az Aα1α2α3α4=α10 leképezés nem áll elő A=1i, j4λijAij alakban. Alkalmazzuk mindkét oldalt az egységvektorokra. Ha α1=1, α234=0, akkor a képvektorok két koordinátájában a λ11121314=1 és a λ11213141=0 egyenlőségeket kapjuk. Az α2=1, α134=0 esetben λ21222324=

12223242=0 adódik, és a másik két egységvektorra hasonlóan j=14λ3j=i=14λi3=0  illetve j=14λ4j=i=14λi4=0 az eredmény. Az első koordinátákra kapott összes egyenlőséget összeadva 1i, j4λij=1  míg ugyanezt a második koordinátákra elvégezve 1i, j4λij=0 adódik, ami ellentmondás.

Megjegyezzük, hogy a feladat kényelmesebben tárgyalható a lineáris leképezések mátrixának segítségével (lásd az 5.7 pontot). Az Aij leképezésnek egy olyan 2×4-es (komplex elemű) mátrix felel meg, amelyben az első sor i-edik és a második sor j-edik eleme 1-es, a többi elem pedig 0. Ekkor az összes Aij mátrixai által generált alteret azok a mátrixok alkotják, amelyekben a két sor elemeinek az összege megegyezik. Ennek alapján a feladat általánosítása is jól kezelhető. Legyen V1 =Tn,V2=Tk és

Ekkor az így definiált nk darab leképezésre az alábbiak igazak.

a) Bármely három (különböző) leképezés lineárisan független Hom (V1,V2)-ben (feltéve hogy nk≥3).

b) Megadható négy (különböző) leképezés, amely lineárisan összefüggő (kivéve, ha n és k valamelyike 1).

c) A lineárisan független leképezések maximális száma (n-1)k+1.

5.6.23 Jelöljük rögzített u kvaternió esetén az α+βu alakú kvaterniók halmazát, ahol α, β valós, Tu-val. Az útmutatásban jelzett állítás szerint Tv a kvaternióalgebrának egy, a komplex számokkal izomorf részalgebrája. Legyen a w és a z kvaternió a v kvaterniónak egy-egy (feltételezett) n-edik gyöke. Mivel v nem valós szám, ezért nyilván w és z sem az. Ekkor a Tw és Tz részalgebra is 2-dimenziós, továbbá mindkettő tartalmazza a valós számokat és (wn=zn=)v-t, ezért Tw és Tz metszete is kétdimenziós. Ez csak úgy lehet, ha Tw=Tz=Tv. Ez azt jelenti, hogy a v kvaternió n-edik gyökeit Tv-ben kell keresnünk. Mivel Tv izomorf a komplex számokkal, ezért bármely nemnulla elemének, így a v-nek is pontosan n (különböző) n-edik gyöke van Tv-ben. Ennélfogva v-nek az összes kvaterniók körében is pontosan n (különböző) n-edik gyöke van.