Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

2. Mátrixok

2. Mátrixok

• 2.1.18 Pontosan az AE mátrixok ilyenek. Ezek nyilván megfelelnek. Tegyük fel megfordítva, hogy AB=BA minden B-re teljesül. Legyen ij és B az a mátrix, amelyben az i-edik sor j-edik eleme 1, minden más elem pedig 0. Ekkor az AB mátrixban a j-edik oszlop az A mátrix i-edik oszlopával azonos, minden más elem nulla, a BA mátrixban pedig az i-edik sor az A mátrix j-edik sorával azonos, minden más elem nulla. Az AB=BA egyenlőségből kapjuk, hogy αii=αjj, kiαki=0 és mjαjm=0. Mivel ez minden ij esetén fennáll, ezért A-ban a főátló elemei egyenlők, minden más elem pedig 0, azaz valóban AE.

2.2.13 Ha A valamelyik sorában vagy oszlopában csupa nulla áll, akkor

det A=0, és így nem létezhet inverz. Ellentmondásra jutunk akkor is, ha valamelyik sorban vagy oszlopban (legalább) két nemnulla elem előfordul. Legyen mondjuk α24>0 és α27>0. Szorozzuk meg A második sorát A-1 első, harmadik, negyedik stb. oszlopával. EkkorAA-1=E alapján mindig nullát kell kapnunk, ez azonban a nemnegativitási feltétel miatt csak úgy lehetséges, ha A-1 ezen oszlopaiban a 4. és a 7. elem szükségképpen nulla. Vagyis A-1-nek a 4. és 7. sora a második oszlopbeli elemek kivételével csupa nulla, és így det A-1=0, ami ellentmondás.