Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

6. Sajátérték, minimálpolinom

6. Sajátérték, minimálpolinom

6.1.

6.1.1 Sé=sajátérték, sv=sajátvektor (a 0 polinomot eleve kizárjuk), sd=sajátaltér dimenziója, dm=diagonális mátrix.

a) Sé: 0, sv: konstans polinomok, sd: 1, dm: nincs.

b) Sé: 0,1,…,6, sv: „egytagúak”, sd: mindegyiké 1, dm: van.

c) Sé: 0, 66, sv: x–6-tal osztható polinomok, illetve γx6 alakú polinomok, sd: 6, illetve 1, dm: van.

d) Sé: 0,1, sv: x2+2x+3-mal osztható polinomok, illetve legfeljebb elsőfokú polinomok, sd: 5, illetve 2, dm: van.

6.1.2 Következik: μA-ra, A2-re, illetve A-1-re, a megfelelő sajátértékek rendre μα, α2, illetve α–1.

6.1.3 Mindegyik következik. Ha v_-hez A-nál az α,B-nél a β sajátérték tartozik, akkor a megfelelő sajátérték A+B-nél α+β, AB-nél αβ, a többi esetben pedig az előző feladatban megadott érték.

6.1.4 Igaz: b), c). — Útmutatás c)-hez: ha A2v_=μ2v_ akkor A+μA-μv_=0_ miatt vagy v_ sajátvektor μ sajátértékkel, vagy pedig A-μv_ sajátvektor –μ sajátértékkel.

6.1.5 Igaz: a), d), e), f).

6.1.6 Pl. egy (origón átmenő) tengely körüli (nem kπ szögű) forgatás, egy (origón átmenő) síkra történő tükrözés, illetve a három tengely irányában eltérő mértékű nagyítás.

6.1.7 u_-hoz és v_-hez azonos sajátérték tartozik, de u_-v_

6.1.8 λ

6.1.9 Bizonyítsunk k szerinti teljes indukcióval.

6.1.10 Következik az előző feladatból.

6.1.11 A magtér kétdimenziós, ezenkívül észre lehet venni egy, a 3 sajátértékhez tartozó sajátvektort is.

6.2.

6.2.1 a) (–x)7. b) –x(x–1)(x–2)…(x–6). c) –x6(x–66). d) –x5(x–1)2.

6.2.2 a) x2–1. b) x2x. c) x2+1. d) x2x+1. e) (x–1)2. f) (x+1)2. g) (x–5)2.

6.2.3 gx=kμAx=μnfx/μ ahol n=dim V. Azaz, ha

akkor

6.2.4 6.1.10: Egy polinomnak legfeljebb annyi gyöke lehet, mint amennyi a foka. — 6.1.9: Ha öszefüggők lennének, akkor az általuk generált altér k-nál kisebb dimenziós lenne, és ha a transzformációt erre az altérre megszorítjuk, akkor k (vagy több) sajátértéke lenne, ami az előzőek alapján lehetetlen.

6.2.5 Az algebra alaptétele szerint a karakterisztikus polinomnak van gyöke.

6.2.6 a) Van. — b) Nincs.

6.2.7 Kp=karakterisztikus polinom, sé=sajátérték, sv=sajátvektor (a 0_-t eleve kizárjuk közülük), dm=diagonális mátrix.

a) Kp: x4–1, sé: 1,–1, sv: b_1+b_2+b_3+b_4, b_1-b_2+b_3-b_4 dm: nincs.

b) Kp: x(x+1)(x–1)2, sé: 0,1,–1, sv: b_3-b_4, b_4,b_1+b_2, b_1-b_2  dm: van.

c) Kp: (1–x)4–1, sé: 0,2, sv: b_1-b_2+b_3-b_4,b_1+b_2+b_3+b_4 dm: nincs.

A komplex test felett az a) és c) esetben további két sajátérték adódik, és létezik diagonális mátrix.

6.2.8 Ahány különböző (esetleg ismétléses) permutációja létezik a főátlóban levő elemeknek. (Azért nincs több, mert a karakterisztikus polinomban az egyes sajátértékek multiplicitása egyértelmű.)

6.2.9 Használjuk a karekterisztikus polinomra a gyökök és együtthatók közötti összefüggést.

6.2.10 Érdemes megvizsgálni a mátrixok nyomát, determinánsát, a karakterisztikus polinomot és ezzel együtt a sajátértékeket, valamint azt, hogy létezik-e diagonális mátrix.

6.3.

6.3.1 6.1.1: a) x7. b) x(x–1)(x–2)…(x–6). c) x2–66x. d) x2x.

6.2.2: a) x2–1. b) x2x. c) x2+1. d) x2x+1. e) x–1. f) x+1. g) x–5.

6.2.7: a) x4–1. b) x3–1. c) (1–x)4–1.

6.3.2 λ

6.3.3 A konstans tag nem nulla.

6.3.4 Az mAA=O egyenlőséget szorozzuk be A-1-gyel.

6.3.5 Ha mA=α0++αkxk akkor mA-1=αk++α0xk

6.3.6 Igaz: b), c), e), f).

6.3.7 A minimálpolinomra is érvényes az algebra alaptétele.

6.3.8 A mátrixnak megfelelő transzformáció minimálpolinomja osztója x1000-nek és legfeljebb ötödfokú, tehát xk alakú, ahol k≤5.

6.3.9 a) Van (pl. a síkban a 72 fokos forgatás mátrixa).

b) Nincs (mert a keresett mátrixnak megfelelő transzformáció minimálpolinomja egyrészt másodfokú, másrészt osztója az x5–1 polinomnak, ami a racionális test fölött lehetetlen).

6.3.10 Vagy megegyeznek, vagy pedig az egyik a másiknak az x-szerese. — Útmutatás: Ha α0+α1AB+α2AB2++αkABk=O akkor ezt az egyenlőséget balról B-vel, jobbról pedig A-val megszorozva α0BA+α1BA2+α2BA3++αkBAk+1=O adódik.

6.3.11 Ha mA=f és mB-1AB=g akkor fB-1AB=B-1fAB=O miatt g|f, és a másik irányú oszthatóság is hasonlóan adódik.

6.3.12 Ha a minimálpolinom j-edfokú (jn), akkor Hom V-ben A minden hatványa, így Ak is előállítható ,A,,Aj-1 lineáris kombinációjaként.

6.3.13 Az altér dimenziója éppen a minimálpolinom foka. — Útmutatás: Ha a minimálpolinom j-edfokú, akkor ,A,,Aj-1 bázist alkot a szóban forgó altérben. (Vö. a 6.5.4 Tétellel.)

6.3.14 Bármely k/2 és k közötti egész szám, a határokat is beleértve. — Útmutatás: Legyen A2 minimálpolinomja β01x+…+βsxs. Ebbe A2-et behelyettesítve azonnal adódik, hogy A gyöke a β01x2+…+βsx2s polinomnak, vagyis k≤2s. A másik irányú becslés: Hom V-ben minden j-re Aj,A,,Ak-1 tehát A-nak, és így A2-nek is bármely k+1 hatványa lineárisan összefüggő. Innen sk adódik. Azt, hogy ezek az értékek valóban fel is lépnek, az alábbi típusú példákkal igazolhatjuk: a transzformációnak legyen csupa különböző sajátértéke (k darab), amelyek közül néhánynak szerepel az ellentettje is.

6.3.15 Útmutatás: Legyen egy tetszőleges r polinom esetén r*(x)=r(x2). Használjuk fel, hogy rA2=OmAr* továbbá, hogy ha λ≠0, akkor az r-nek a λ2 pontosan ugyanannyiszoros gyöke, mint az r*-nak a λ.

6.3.16 Útmutatás: Ha h,mA=d1 akkor hAmA/dA=O miatt hA nullosztó (vagy nulla), tehát nem létezik inverze. Ha h,mA=1 akkor alkalmas r és s polinomokkal 1=hr+smA és így hArA=

6.3.17 A minimálpolinomok és (így szükségképpen) a sajátértékek egybeesnek, a karakterisztikus polinomok azonban nem is azonos fokúak.

6.3.18 Ha f01x+…+αkxk, akkor legyen V bázisa b_1,,b_k és

6.4.

6.4.2 Igaz: a), c), d). — Útmutatás d)-hez: az A transzformáció U-ra történő megszorításának a magtere a feltétel szerint 0_ tehát a képtere az egész U.

6.4.3 Az első k oszlop utolsó n–k eleme nulla.

6.4.4 a) Egy ilyen transzformáció skalárszorosa, két ilyen transzformáció összege és szorzata is ilyen tulajdonságú. — b) n2nk+k2. Útmutatás: a transzformációk helyett tekintsük a mátrixukat egy olyan bázisban, amelynek első k eleme U-beli.

6.4.5 a) λ — b) Ha dim V>13, akkor λ Útmutatás b)-hez: a 6.4.1 feladat alapján a 13-nál kisebb, illetve nagyobb dimenziójú alterek invarianciája is igazolható.

6.4.6 Útmutatás: Legyen U sajátaltere A-nak. Ha u_U azaz Au_=λu_ valamely rögzített λ-ra, akkor ABu_=BAu_=Bλu_=λBu_ tehát Bu_U

6.4.7 b) Nem, pl. A=000010002,     B=000010003 

6.4.8 n+2. — Útmutatás: Lássuk be, hogy ha egy polinom eleme egy invariáns altérnek, akkor minden nála nem nagyobb fokú polinom is benne van ebben az altérben.

6.4.9

b) Legyen f,mA=d Először azt igazoljuk, hogy Ker fA=Ker dA itt az egyik irányhoz használjuk fel, hogy d felírható d=sf+tmA alakban. Ezután lássuk be, hogy ha d1 és d2 a minimálpolinom két osztója és Ker d1A=Ker d2A akkor d1 és d2 egymás konstansszorosa. Ezt (d1, d2) segítségével visszavezethetjük a d1|d2 esetre. Ha most mA=d2h=rd1h akkor a feltétel alapján már d1AhA=O tehát a minimálpolinom definíciója miatt r csak konstans lehet.

c) A b) rész szerint ennyi különböző Ker fA típusú altér létezik.

d) Az A-nak akkor és csak akkor nincs nemtriviális invariáns altere, ha mA irreducibilis (T felett) és degmA=dimV A Cayley-Hamilton-tétel alapján ez azzal ekvivalens, hogy kA irreducibilis (T felett).

6.4.10 Az előző feladathoz hasonló gondolatmeneteket alkalmazzunk.

6.4.11 a) Igaz. — b) Hamis, pl. A=000100000 ,     f=g=x

6.4.13 0:  u_=0_, 1:  u_ sajátvektor. (Vö. a 6.5.4 Tétellel.)

6.4.14 Pl. megfelel maga a V, ha dimIm AdimV-2 vagy egy legalább kétdimenziós altér, ha A=

6.4.15 Igaz: a), c), e).

6.5.

6.5.1 a) Ha λ≠0, akkor ou_=oλu_ — b) oAu_=ou_/x vagy ou_ attól függően, hogy f konstans tagja nulla vagy nem nulla. — c) of(A)u_=ou_/oV,f

6.5.2 A rend létezéséhez és a fokszámára adott becsléshez azt használjuk fel, hogy az u_,Au_,,Anu_ vektorok lineárisan összefüggők. Egy másik lehetőség, ha a minimálpolinom megfelelő (de csak részben bizonyított) tulajdonságaira támaszkodunk.

6.5.3 oAu_

6.5.4 Használjuk fel az előző feladat eredményét, valamint a minimálpolinom és a sajátértékek kapcsolatát.

6.5.5 Járjunk el a 6.5.7 Lemma bizonyításában a (iii)-nál megadott útmutatás szerint: lássuk be, hogy ha f=gh, akkor g=0hAv_

6.5.6 Igaz: a), c).

6.5.7 Útmutatás: Ha i>0, akkor Aiu_Im A — Válasz a kérdésre: A 6.5.6 Tétel alapján ugyanez a korlát érvényes a minimálpolinomra.

6.5.8 Legyen u_1,,u_n a λ1,…, λn sajátértékekhez tartozó egy-egy sajátvektor, ezek bázist alkotnak. Az u_i-k tetszőleges részhalmaza által generált (összesen 2n darab) altér invariáns (úgy tekintjük, hogy a 0_ alteret az üres halmaz generálja). Azt kell igazolni, hogy nincs több invariáns altér. Ehhez azt mutassuk meg, hogy ha egy v_=β1u_1++βnu_n vektor eleme egy U invariáns altérnek és βi≠0, akkor u_iU E célból alkalmazzuk v_-re az fi(A) transzformációt, ahol fi=mA/x-λi

6.5.9A minimálpolinom minden osztója valamely u_ vektor rendje, és páronként nem-egységszeres osztók esetén az ezekhez tartozó u_,A alterek mind különbözők.

6.5.10 A feladatnak az említett (i) állítás az ou_,o(v_)=1 speciális esete, és a bizonyítás is az ott látottak mintájára adódik.

6.5.11 Ha λ≠0, akkor oλA(u_) foka megegyezik oA(u_) fokával. A másik kérdésnél a helyzet analóg a minimálpolinomnál látottakkal (6.3.14 feladat). A bizonyítás is történhet az ottani mintára, egy másik lehetőség az, ha a 6.5.6 Tétel alapján csak az ottani eredményeket használjuk fel, egy harmadik út pedig, ha a 6.5.4 Tételre támaszkodunk.

6.5.12 c) R és C felett is megfelel pl. A=1021 , B=1011  Egyszerűbb példa R felett a síkon az origó körüli 120 fokos, illetve 240 fokos forgatás vagy bármely két olyan transzformáció, amelynek azonos irreducibilis polinom a minimálpolinomja.

6.6.

6.6.1 Az elégségességhez használjuk fel a 6.6.2 Tételt.

6.6.2 a) A-nak a különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorai bázist alkotnak, és ezek B-nek is sajátvektorai. — b) Az A-val felcserélhető transzformációk n-dimenziós alteret alkotnak Hom V-ben, ennek része A polinomjainak az altere, amely szintén n-dimenziós, tehát a két altér egybeesik. Ezeket a legkönnyebben úgy láthatjuk be, ha a transzformációk helyett az A sajátvektorai szerinti bázisban felírt mátrixokkal dolgozunk. Egy másik lehetőség, ha az interpolációs polinomot (lásd a 3.2.4 Tételt) használjuk fel.

6.6.3 A megszorítás minimálpolinomja osztója az eredeti minimálpolinomnak. A karakterisztikus polinomoknál is ugyanez a helyzet.

6.6.4 a) Használjuk pl. a 6.5.3 Tételt.

b) Ha pl. b_1,b_2,b_3 rendre az 1, 1, 2 sajátértékhez tartozó lineárisan független sajátvektorok, és U1=b_1,b_3, U2=b_2,b_3  akkor m=(x–2)≠(m1, m2)=(x–1)(x–2).

6.6.5 a)–b) Pl. A= esetén sem áll általában egyenlőség. — c) U1U2 bázisát egészítsük ki U1, illetve U2 bázisává, ez együttesen U1,U2 bázisát adja, és a karakterisztikus polinomok kiszámításához A mátrixát ebben a bázisban írjuk fel.

6.6.6 Először azt igazoljuk, hogy ha degmA<dimV  akkor végtelen test esetén végtelen sok invariáns altér van. Mivel bármely u_-ra dimu_,A=dego(u_)degmA<dimV ezért mindegyik u_,A valódi altér. Ezek egyesítése nyilván kiadja V-t, és mivel végtelen test esetén véges sok valódi altér egyesítése nem lehet V, így szükségképpen végtelen sok (u_,A alakú) invariáns altér van. (Véges test esetén annyi mondható, hogy biztosan van nem u_,A alakú altér, pl. a V, és emiatt a 6.5.9 feladat szerint több invariáns altér van, mint ahány páronként nem-egységszeres osztója van a minimálpolinomnak.)

Most megmutatjuk, hogy ha degmA=dimV akkor (akár véges, akár végtelen test esetén) minden invariáns altér Ker fA alakú. Ezzel készen leszünk, hiszen az ilyen alterek száma a 6.4.9 feladat szerint a minimálpolinom páronként nem-egységszeres osztóinak a számával egyenlő.

Legyen v_ olyan vektor, amelyre ov_=mA Ekkor dimv_,A=degov_=degmA=dimV ,   tehát v_,A=V

Legyen fmA azaz mA=fg Ekkor Im fA=fAv_,A tehát dimIm fA=degofAv_=degg A dimenziótétel szerint így dimKer fA=degf

Vegyünk most egy tetszőleges U invariáns alteret, és jelöljük az A transzformáció U-ra történő megszorításának a minimálpolinomját f-fel. Belátjuk, hogy U=Ker fA

Legyen u_U olyan vektor, amelyre ou_=f Ekkor u_,AUKer fA Továbbá dimu_,A=dimKer fA=degf tehát valóban U=Ker fA

6.6.7 Az előző feladaton kívül használjuk fel a 6.4.9, 6.4.10 és 6.5.9 feladatokat.

6.6.8 a) λ — d) Nem, legyen pl. D=-A illetve D=-A-1 — f) A megfordítás hamis, pl. a 1011000000001001 és 1011000000001011 mátrixokhoz tartozó transzformációk karakterisztikus polinomja és minimálpolinomja megegyezik, azonban nem hasonlók, mert a(z 1 sajátértékhez tartozó) sajátalterek dimenziója eltér.

6.6.9 λ — Útmutatás: kombináljuk az előző feladat a) és f) pontjának eredményét.

6.6.10 a) 200020000 b) 1000ω000ω2 c) 200120000 d) 100110001 ahol ω primitív harmadik egységgyök.

6.6.11 a) és d) Közvetlenül a főátló alatt 1-ek állnak, minden más elem 0 (az egész mátrix egyetlen Jordan-alblokk). — b) Diagonális mátrix, a főátlóban az n-edik egységgyökök állnak. — c) Közvetlenül a főátló alatt az (n+2)/2-edik sor kivételével 1-ek állnak, minden más elem 0 (az egész mátrix egyetlen Jordan-blokk, amely egy n/2 és egy (n+1)/2 méretű alblokkból áll). — e) A bal felső sarokban n, az összes többi helyen 0 áll. — f) Diagonális mátrix, a főátlóban (n+1)/2 darab 1 és n/2 darab –1 áll.

6.6.12 A blokkok (és azon belül az alblokkok) egymástól függetlenül hatványozódnak. Egy k×k-as A=λ1000λ1000λ0000λ Jordan-féle alblokk m-edik hatványában a főátló fölött minden elem 0, a főátlóban minden elem λm, közvetlenül alatta minden elem mλm–1, az eggyel lejjebbi „ferde szinten” minden elem m2λm-2 és általában, bármely j<k-ra a főátló alatti j-edik ferde szinten minden elem miλm-j — Hasonló módon kapjuk meg tetszőleges f polinom esetén f(A)-t is.

6.6.13 Legyen λi multiplicitása a főátlóban (azaz a λi-hez tartozó blokk mérete) si, és az ezen a blokkon belüli legnagyobb alblokk mérete ti. Ekkor

6.6.14 Használjuk a Jordan-alakot.

6.6.15 a) degmA=1 vagy degmA=n(=dimV) vagy mA=x-λn-1

b) A karakterisztikus polinom csupa különböző gyöktényező szorzata.

c) A karakterisztikus polinom bármely gyöktényezőjének a multiplicitása a minimálpolinomban vagy ugyanannyi, mint a karakterisztikus polinomban, vagy eggyel kevesebb, vagy pedig 1.

6.6.17 Használjuk fel a Jordan-alakot, és azt, hogy a Jordan-alak hasonló a transzponáltjához. Ez utóbbi a báziselemek sorrendjének a megváltoztatásával egyszerűen adódik.