Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

5. Lineáris leképezések

5. Lineáris leképezések

5.1.

5.1.1 A mag-, illetve képtér utáni zárójelben a dimenzió szerepel. — a) Igen, magtér: konstans polinomok (1), képtér: legfeljebb 99-edfokú polinomok (100). — b) Nem. — c) Igen, magtér: {γx} (1), képtér: {f1=0} (100). — d) Igen, magtér: konstans polinomok (1), képtér: legfeljebb 99-edfokú polinomok (100). — e) Igen, magtér: x-szel osztható polinomok (100), képtér: {γx} (1). — f) Nem. — g) Igen, magtér: azok a polinomok, amelyeknek az 1 gyöke (100), képtér: {γ(x+x2)} (1). — h) Nem. — i) Igen, magtér: az x7+4x+1-gyel osztható polinomok (94), képtér: legfeljebb 6-odfokú polinomok (7). — j) Nem.

5.1.2 a) Igen, magtér: tiszta képzetes számok (dim=1), képtér: valós számok (1). — b), c), d) Nem. — e) Igen, magtér: a 0 (0), képtér: C (2). — f) Igen, magtér: a 0, képtér: C, kivéve ha a 0-val szoroztunk, amikor a magtér: C, a képtér a 0. — g) Nem. — h) Igen, magtér: a 0, képtér: C.

5.1.3 a) Igen, magtér: azok a mátrixok, amelyeknek a középső oszlopa nulla (dim=6), képtér: T3 (3). — b) Nem. — c) Igen, magtér: azok a mátrixok, amelyekben a főátló elemeinek az összege nulla (8), képtér: a „csupaegy” vektor skalárszorosai (1). — d) Nem. — e) Igen, magtér: azok a mátrixok, amelyekben minden sor összege nulla (6), képtér: T3 (3). — f) Nem.

5.1.4 a) Magtér: 0, képtér: a 0-val kezdődő sorozatok (dim=∞). — b) Magtér: azok a sorozatok, amelyekben legfeljebb a kezdő elem nem nulla (1), képtér: minden sorozat (∞). — c) Magtér: 0, képtér: azok a sorozatok, amelyekben α2k2k+1, k=0,1,2,…(∞). — d) Magtér: azok a sorozatok, amelyekben α10k=0, k=0,1,2,…(∞), képtér: minden sorozat. — e) Magtér: azok a sorozatok, amelyeknek minden eleme egyenlő (1), képtér: minden sorozat. — f) Magtér: 0, képtér: minden sorozat. — g) Magtér: a (γ, –γ, –γ, γ, γ, –γ, –γ, γ, …) sorozatok (1), képtér: azok a sorozatok, amelyekben α4k4k+1=α4k+24k+3, k=0,1,2,…(∞).

5.1.5 Nem.

5.1.6 Útmutatás b)-hez: legyen T=C.

5.1.7 dim V≤1.

5.1.8 A valós test felett nem igaz.

5.1.9 Igaz: b), d).

5.1.11 101k, k=0,1,2,… vagy ∞.

5.1.12 Útmutatás: u_i-u_1Ker A, i=2,3,,k

5.1.13 Útmutatás: ha egy tetszőleges c_1,,c_n bázisra például Ac_10_ és Ac_1=0_ akkor c_i helyett vegyük c_i+c_1-et.

5.1.15 a) AUAZAUZ és általában nem áll fenn egyenlőség.

b) AU,Z=AU,AZ

5.2.

5.2.1 5.1.1: nincs. — 5.1.2: e), f) (kivéve, ha a 0-val szoroztunk), h). — 5.1.3: nincs. — 5.1.4: f).

5.2.2 4.1.5 a valós számok szokásos vektorterével, 4.1.6 pedig a komplex számok Q feletti, a szokásos műveletek szerint vett vektorterével izomorf. A megfelelő izomorfizmusok AU,Z=AU,AZ illetve vlgv

5.2.3 c), d).

5.2.4 Használjuk az 5.2.5 Tételt.

5.2.5 n+1.

5.2.6 a), b), d), f), g), i), j) és k) (ezek mind 8-dimenziósak); e) és h) (ezek 43-dimenziósak).

5.3.

5.3.1 W egy bázisát egészítsük ki V egy bázisává, és ezen a bázison definiáljuk alkalmasan a transzformációt.

5.3.2 Ilyen a vv+1 leképezés akármilyen V1 és V2 esetén. Ezen kívül még a modulo 2 maradékosztályok teste felett dim V1=1 esetén a képtér, dim V2=1 esetén a magtér meghatározza a leképezést. Minden más esetben bármely leképezéshez van vele azonos magterű, illetve képterű tőle különböző leképezés (sőt néhány további kivételtől eltekintve olyan is, amelynek mind a képtere, mind pedig a magtere megegyezik az adott leképezés kép-, illetve magterével).

5.3.3 a) 0 vagy 1. (Ha az O generátorrendszer nem bázis, akkor mindig megadhatók a c_i-k úgy, hogy ne létezzen ilyen leképezés, és úgy is, hogy pontosan egy ilyen leképezés létezzen.) — b) Legalább 1, és ha u_1,,u_n nem bázis, akkor mindig több ilyen leképezés létezik, mégpedig legalább |T| számosságú.

5.3.4 a) 0. b) 1. c) ∞.

5.3.5 pkn.

5.3.6 Útmutatás: ha dim V1≤dim V2, akkor a bázisok segítségével olyan A definiálható, amelyre Ker A=0_ ha pedig dim V1≥dim V2, akkor olyan, amelyre Im A=V2

5.4.

5.4.1 Pontosan a páros dimenziósak ilyenek.

5.4.2 a), b).

5.4.3 Igen.

5.4.4 Akármelyik feltételből következik az izomorfizmus.

5.4.5 Útmutatás: (i)-ből dimIm A3 (ii)-ből pedig dimKer A 5 következik.

5.4.6 Útmutatás: írjuk fel A-ra is és B-re is a dimenziótételt, és használjuk fel a véges dimenziós tér alterének dimenziójáról szóló 4.6.4 Tételt.

5.4.7 Útmutatás: alkalmazzuk a dimenziótételt és a direkt összeg dimenziójára vonatkozó 4.6.6b feladatot.

5.5.

5.5.2 a) O b) c) d) 2cosΦ e) Forgatva nyújtás az origóból, a forgatás szöge +45 fok, a nyújtás aránya 2

5.5.3 Altér: c), d), valamint V1=U1 esetén a), dim V1≤1 vagy dim V2≤1 esetén b), és ha a V2-beli megadott vektor nullvektor, akkor e).

5.5.4 Kivételes esetektől eltekintve általában egyik sem altér.

5.5.5 Igaz: a).

5.5.6 Útmutatás: Lássuk be, hogy bármely AHomV1,V2 egyértelműen írható fel a Cij leképezések lineáris kombinációjaként. Ehhez használjuk fel, hogy az A leképezés jellemezhető az a_j báziselemek képével, a képek pedig egyértelműen előállíthatók a b_i báziselemek segítségével. (Vö. az 5.7 ponttal.)

5.5.7 Azonnal következik az előző feladatból. (Vö. az 5.7.5 Tétellel.)

5.5.8 Csak a) igaz.

5.5.9 c) 7.

5.6.

5.6.1 Igen: c), d).

5.6.2 ABα1α2α3=α3α1α2,          BAα1α2α3=α2α3α1,        A101=A,        AB100=BA

5.6.3 A=λ

5.6.4 dim V≤1.

5.6.5 Ker ABKer B, Im ABIm A

5.6.6 Az első disztributivitást igazoljuk. AB+C=AB+AC bármelyik oldala pontosan akkor értelmes, ha AHomV2,V3,  B,CHomV1,V2 Bármely x_V1-re a bal oldal

itt az utolsó lépésben felhasználtuk A linearitását. Ha a jobb oldalt alkalmazzuk egy x_V1 vektorra, akkor ez a leképezések összeadásának és szorzásának definíciója alapján azonnal ugyanerre az alakra hozható.

5.6.7 Útmutatás: alkalmazzuk a dimenziótételt a B leképezésnek az Im A altérre történő megszorítására.

5.6.8 Útmutatás: Lássuk be, hogy Ker A2Ker A illetve Im A2Im A mindig teljesül. Ezután írjuk fel a dimenziótételt A-ra és A2-re is. Innen a dimenzió végességét még egyszer kihasználva kapjuk az első és a második feltétel ekvivalenciáját. Az első és a harmadik feltétel ekvivalenciája közvetlenül adódik (vagy felhasználhatjuk hozzá az előző feladat eredményét).

5.6.9 Legyen V=R5 és legyen Ax_=Ax_ minden x_V-re. Nyilván Im Ak+1Im Ak és ha valamilyen k-ra egyenlőség áll fenn, akkor onnantól kezdve

Mivel az egyenlőség a feladat feltétele szerint U=0_-val teljesül, továbbá a

láncban a dimenzió mindig legalább eggyel csökken, amíg U-hoz nem jutunk, így legkésőbb az ötödik lépésben szükségképpen már 0_ lesz az eredmény. Ennek alapján A5=O és innen A5=0. (A feladatra egy másik megoldást a minimálpolinom segítségével adhatunk, lásd a 6.3 pontot.)

5.6.10 A-nak végtelen sok balinverze van, nincs jobbinverze, jobb oldali nullosztó, nem bal oldali nullosztó. B-re a „bal” és „jobb” felcserélésével kapott analóg eredmények érvényesek. (Figyeljük meg, hogy BA=, de AB nem az!)

5.6.11 a) és c) Az A és C transzformációnak nincs egyik oldala inverze sem, és kétoldali nullosztók, pl. AC=CA=O — b) A B transzformáció nem nullosztó, és

5.6.12 dim V≤1.

5.6.13 dim V≤1.

5.6.14 a) dim V≥2. — b) Nincs ilyen V0_

5.6.15 Igaz: a), b), c).

5.6.16 dimB=dimJ=dimVdimKer A

5.6.17 a) Projekció például a síkon tetszőleges egyenesre történő vetítés. — b) Projekció=vetítés. — c) Csak az -nek. — e) Például a modulo 2 test felett az „akkor” rész nem igaz. — f) Lássuk be, hogy KerP+λ=0_ illetve ImP+λ=V vagy pedig keressük az inverzet αP+β alakban. — g) A megfelelő alterek U1=Im P és U2=Ker P Az „akkor” rész közvetlenül verifikálható, a „csak akkor” rész igazolásához használjuk fel a v_=Pv_+v_-Pv_ felírást.

5.6.18 Útmutatás: a lényeg az, hogy a B transzformáció Im A egy bázisához ezeknek a báziselemeknek egy-egy A szerinti ősképét rendelje hozzá.

Megjegyzés: az is elérhető, hogy egyúttal BAB=B is teljesüljön.

5.6.19 Algebra: a), c), d), e), g), i) (ez utóbbi a kvaternióalgebrával izomorf).

5.6.20 a) 0. b) 350. c) 8.

5.6.21

5.6.22 Végtelen sok (az összes megoldás: α1i2j3k, ahol α12+α22+α32=1). — A szóban forgó tétel kommutatív test felett érvényes.

5.6.23 n. — Útmutatás: ha a v kvaternió nem valós, akkor az α+βv alakú kvaterniók, ahol α, β valós, a komplex számokkal izomorf testet alkotnak.

5.6.24 Útmutatás: Legyen c≠0 tetszőleges rögzített eleme az A algebrának, és tekintsük a c-vel történő szorzást mint az A (vektortér) lineáris transzformációját, azaz legyen C:xcx (ahol xA), ekkor CHom A A nullosztómentesség alapján Ker C=0 így a véges dimenzió miatt Im C=A Ez azt jelenti, hogy a cx=d egyenlet bármely dA esetén megoldható.

5.7.

5.7.1 b) és c): van. [A c) rész általánosítását lásd az 5.8.7b feladatban.] — d) és e): nincs. — a):

5.7.4 a) Az első két oszlop felcserélődik. — b) Az első két sor felcserélődik. — c) A harmadik oszlop λ-val szorzódik. — d) A harmadik sor 1/λ-val szorzódik. — e) A harmadik oszlophoz hozzáadódik a második oszlop μ-szöröse. — f) A második sorból levonódik a harmadik sor μ-szöröse. — Általában megfigyelhetjük, hogy az a_j-knél történő változtatás hatása a mátrix oszlopaiban hasonló jellegű, ún. „kovariáns” változásként jelenik meg, ugyanakkor a b_i-knél történő változtatás eredménye a mátrix soraiban ellentétes jellegű, ún. „kontravariáns” változás lesz.

5.7.5 Van: b), c), d).

5.7.6 Útmutatás: V1-ben Ker A egy bázisának kiegészítésével készítsünk bázist, V2-ben pedig a Ker A-n kívüli báziselemek képeit egészítsük ki bázissá.

5.7.8 Útmutatás: ha c_Ker A akkor az Ac_,c_ bázis megfelel.

5.7.9 A=λ

5.7.10 Útmutatás: Egy nemnulla négyzetes mátrix akkor és csak akkor egyik vagy másik vagy mindkét oldali nullosztó, ha a determinánsa 0. A transzformációk és a mátrixok közötti megfeleltetést használva, ez utóbbi feltétel — a homogén lineáris egyenletrendszereknél tanultak alapján — azonnal a Ker A0_ feltételre vezethető vissza.

5.7.11 Útmutatás: az „oszlopvektorok” által generált altér minden esetben éppen Im A

5.7.12 Útmutatás: térjünk át a megfelelő leképezésekre, és alkalmazzuk a dimenziótételt az A leképezésnek az Im B-re történő megszorítására.

5.7.13 Nem igaz, mert a síkon is van az identitáson kívül ilyen tulajdonságú lineáris transzformáció (keressük ezt a forgatások között).

5.7.14 a) Vegyük minden báziselem λ-szorosát. — b) Pl. 1000

5.8.

5.8.1 a) 1/23/21-1/21/211/2-1/2-1 b) 1-111-211-31 c) 01010-1010

5.8.3 Alkalmazzuk az 5.8.1A Tételt A=S-re.

5.8.4 Használjuk fel az 5.8.1A Tételt és a determinánsok szorzástételét.

5.8.5 Csak c) igaz. — A másik háromra ellenpélda a síkon az origó körül egy nem kπ szögű forgatás.

5.8.7 a) AO b) Aλ

5.8.8 Ha A=λ akkor bármely bázis megfelel, egyébként pedig keressük a kísérő transzformációt S=A-λ alakban.