Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

4. Vektorterek

4. Vektorterek

4.1.

4.1.1 Vektortér: b), d), e), f), h), i), j).

4.1.2 Vektortér: a), c), d), e), j), l), m), o).

4.1.3 Vektortér: a), b), f), g), k).

4.1.4 A P7 példa esetén: legyen T1 a T2 test részteste, ekkor V=T2 vektortér a T1 felett a T2-beli műveletekre. Sőt, az is elég, hogy T2 olyan kommutatív gyűrű, amelynek az egységeleme megegyezik a T1 test egységelemével.

4.1.5 Igen. (Ennek „mélyebb” magyarázatát lásd az 5.2.2 feladatban.)

4.1.6 Igen. (Ennek „mélyebb” magyarázatát lásd az 5.2.2 feladatban.)

4.1.7 Nem.

4.1.8

a) Nem. — Útmutatás: pl. λ=1/2, v=3 bajt okoz.

b) Nem. — Útmutatás: az a)-beli gondolatmenetet csak olyan testeknél kell módosítani, amelyekben „nincs ½”.

c) Igen. — Útmutatás: van az egész számokkal azonos számosságú halmaz, amely jól ismert vektorteret ad.

d) Nem. — Útmutatás: lássuk be, hogy V számossága nem lehet kisebb T számosságánál.

e) Igen. — Útmutatás: a valós számsorozatokat próbáljuk meg komplex számsorozatokként tekinteni.

f) Igen. — A megoldáshoz komolyabb lineáris algebrai meggondolások kellenek, amelyekkel azt a meglepő tényt lehet megmutatni, hogy a komplex számok az összeadásra nézve és a valós számok az összeadásra nézve izomorf struktúrát (csoportot) alkotnak. Tekintsük ugyanis a valós számokat és a komplex számokat a racionális test feletti szokásos vektorterekként. Ekkor számossági megfontolások alapján ezek (Hamel-)bázisa azonos számosságú, tehát a két vektortér dimenziója megegyezik, és így izomorfak — lásd a 4.5 és 5.2 pontok végén szereplő megjegyzéseket is.

4.1.9 Mindegyik esetben csak egyetlen axióma nem teljesül, ezek: a) (S1); b) (S1); c) (S4); d) (S3).

4.1.10

(ii) Induljunk ki a 0+λv_=λv_ összefüggésből.

(iii) Induljunk ki az 1+-1v_=0v_ összefüggésből.

(iv) Ha λ≠0, akkor λv_=0 mindkét oldalát szorozzuk meg a λ–1 skalárral.

4.1.11 Igaz: a), b).

4.1.12 (S4)-ből a) triviálisan következik, b) pedig éppen a 4.1.2 Tétel (iv) állítása. A megfordításokhoz az a) esetben 1v_=1λv_ jobb oldalát alakítsuk tovább, a b) esetben pedig induljunk ki az 11v_+-v_ kifejezésből.

4.1.13 Bontsuk fel kétféleképpen az (1+1)(u_+v_) kifejezést.

4.1.14 Néhány ilyen példát ad a 4.1.9 feladat. — Az összeadási axiómák függetlenségének bizonyításához jól használható a következő észrevétel: ha minden v_-re v_+v_=v_ és a skalárral való szorzás λv_=v_-vel van definiálva, akkor a skalárral való szorzásra vonatkozó axiómák valamennyien teljesülnek. — Legnehezebb az (S2) függetlenségének az igazolása, ehhez útmutatás: legyen V=C2, T=C, az összeadás a szokásos és a skalárral való szorzásnál λv_ értékét v_ bizonyos tulajdonságaitól függően hol a λ-val, hol pedig a λ--tal történő szokásos szorzással definiáljuk.

Elvi problémákat vet fel az (Ö3), és még inkább az (Ö), illetve az (S) axiómák függetlenségének a kérdése. Ha (Ö3) nem teljesül, akkor az (Ö4) tulajdonképpen értelmetlen, hiszen ellentettről csak akkor beszélhetünk, ha van nullelem. Ennek ellenére formálisan felvethetjük (Ö3) függetlenségét is a következő módon: nincs nullelem, de létezik egy olyan 0_-val jelölt [és az (Ö4)-en kívül más axiómában szerepet nem játszó] elem, hogy (Ö4) igaz [és persze (Ö3) kivételével az összes többi axióma is].

Még erőltetettebb a többi axióma megfelelő értelmezése, ha az (Ö), illetve az (S) axióma nem teljesül, hiszen ha gond van magával a művelettel, akkor nem szoktuk ennek a tulajdonságait vizsgálni. Előfordulhat azonban olyan eset, amikor azért a „legtöbb” elempárhoz megtörtént az egyértelmű hozzárendelés, ilyen például az osztás a valós számoknál. Ezért (Ö3)-nak és (Ö4)-nek még akkor is lehet értelme, ha (Ö) „csak parciálisan teljesül”, az azonosságokat pedig (nagyon mesterkélten) úgy lehet felfogni, hogy minden olyan esetben érvényesek, amikor mindkét oldal valóban létezik.

4.2.

4.2.1 Mindhárom feladat egy-egy adott vektortér bizonyos részhalmazairól azt kérdezi, hogy azok alteret alkotnak-e.

4.2.2 Altér: a), b), h), i), j).

4.2.3 A magtér meghatározása egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldását jelenti. A képtér esetében azt kell eldönteni, hogy egy adott együtthatómátrixú egyenletrendszer a „jobb oldal” mely értékeire oldható meg. Ehhez a jobb oldalt célszerű paraméterként tekinteni, és így elvégezni a Gauss-kiküszöbölést. Az adott A mátrixra

ahol λ,μ,α,βT (Mindkét altér másfajta paraméterezésekkel vagy más egyéb formában is megadható.)

4.2.4 Az Fp testek felett a) nem valósulhat meg.

4.2.5 Válasz: a), b), c), e). — Az a), b) és c) feltételek bármelyike ekvivalens azzal, hogy W altér, az e) feltétel pedig pontosan a W=V esetben teljesül.

4.2.6 Igaz: b), c).

4.2.7

a) u_ és v_ vagy mindketten W-beliek, vagy egyikük sem az.

b) u_ és v_ közül legfeljebb az egyik W-beli.

c) u_ és v_ mindketten W-beliek.

d) u_ és v_ egyike sem W-beli.

e) u_ és v_ közül legfeljebb az egyik W-beli. (Ne felejtsük el megmutatni, hogy megvalósulhat az az eset is, amikor pontosan az egyikük W-beli, és az is, amikor egyikük sem esik W-be.)

Más test felett: pl. F11 esetén c) úgy is teljesülhet, ha u_ és v_ egyike sem W-beli.

4.2.8 5u_+3v_+w_W ,6u_+3v_+w_W

4.2.9 Egyetlen vektor skalárszorosaiból állnak.

4.2.10 Ha V a síkvektorok szokásos vektortere, akkor az origón átmenő egyenesek megfelelnek. Ezt a következőképpen általánosíthatjuk tetszőleges vektortérre: ha a_0_ és b_ nem skalárszorosa a_-nak, akkor a c_μ=a_+μb_ vektor összes skalárszorosai minden μT esetén más és más alteret adnak.

4.2.11 5; p+3.

4.2.12 b) Valamelyik tartalmazza a másikat. — c) Nem. — d) Általában nem, de az F2 test feletti vektorterekben előfordulhat. — g) Útmutatás: F22-re ez a 4.2.11 feladatból következik. Ugyanígy igazolható bármely T felett T2-re is. Az általános esetet úgy vezethetjük vissza erre, hogy V-ben veszünk egy „nagy” alteret, amelyet egy „2-dimenziós” altérrel „kibővítve” megkapjuk az egész V-t.

4.2.14 V nem vektortér.

4.2.15 Csak a d) helyes.

4.2.16

a) A térvektoroknál a pontok, az egyenesek, a síkok és maga a tér.

c) Legyen v_ közös eleme a két sokaságnak. Lássuk be, hogy u_ pontosan akkor lesz ilyen közös elem, ha v_-u_ benne van a két altér metszetében.

d) Ha a_=u_+w_1, b_=u_+w_2,c_=u_+w_3,w_iW akkor az altér tulajdonságainak felhasználásával adódik, hogy a_+λ(b_-c_) is ilyen alakú. A megfordításhoz próbáljuk meg L elemeiből előállítani a megfelelő W-t, és a feltétel segítségével igazoljuk, hogy ez valóban altér.

4.2.17 A fő problémát az jelenti, hogy az u_+W sokaság nem határozza meg egyértelműen magát az u_ vektort. Ezért először azt kell igazolni, hogy a műveletek nem függnek attól, hogy a sokaságot melyik u_-val „reprezentáltuk”.

4.3.

4.3.1 Csak a c) generátorrendszer.

4.3.2 A 4.1. pont példái közül: P1, P2, P3, P7. — A 4.1.1 feladatban: b). — A 4.1.2 feladatban: c), l), m). — A 4.1.3 feladatban: nincs ilyen.

4.3.3 Igaz: a), d), e).

4.3.4 Igaz: a), c), e).

4.3.6 Igaz: c), e).

4.3.7 Csak c_=0_ lehetséges.

4.3.8 Ha két altér mindegyike kielégíti a feltételeket, akkor (iii) alapján ezek kölcsönösen tartalmazzák egymást, tehát egyenlőek.

4.3.9 Lássuk be, hogy ez a metszet kielégíti a 4.3.4 Tétel (i)-(iii) követelményeit.

4.3.10 a), b), d), e) V. — c) {f|f(x)=0, ha x≠5, x≠6}. — Direkt összeg: a), c), d).

4.3.12 a) W1,W2W3W1W3, W2W3

b) W1W2,W3W1,W3W2,W3

Az a) és b) résznél általában nem áll fenn egyenlőség. Ez is mutatja, hogy a generátum és az egyesítés tulajdonságai alapvetően eltérnek egymástól.

c) A két altér egyenlő.

4.3.13 a) Nem WZ0_ — b) és c) Igen. — d) Nem (Z nem altér). — e) Igen. — f) Nem W,ZV

4.3.14 Több altér által generált altér (egyik lehetséges) definíciója: 

A 4.3.6 Tétel általánosítása: az elemek ilyen előállítása akkor és csak akkor egyértelmű, ha

Ebben az esetben a Wi-k által generált alteret a Wi-k direkt összegének hívjuk. Jelölés: W1Wk Ez sokkal erősebb megkötést jelent, mint az, hogy az összes altér metszete 0_ például a sík nem direkt összege három, az origón átmenő különböző egyenesnek.

4.3.15 Ha a részhalmaz altér, akkor az általa generált altér nyilván önmaga. Egyébként a 4.1.1 feladatnál: a) a legfeljebb 100-adfokú polinomok és a 0; c), g), k), l), m) az összes polinom. A 4.1.2 feladatnál: b), g), h), i) az összes sorozat; f) a konvergens sorozatok; k) a j)-beli sorozatok. — A 4.1.3 feladatnál: c) a b)-beli függvények; d), e), i), j), l), m) az összes függvény.

4.3.16 a) fH — b) gH — c) Nem változik a helyzet. Útmutatás c)-hez: a feladat átfogalmazható arra, hogy egy racionális együtthatós, végtelen sok egyenletből álló, de csak véges sok ismeretlent tartalmazó egyenletrendszernek van-e megoldása. A Gauss-kiküszöbölés segítségével igazoljuk, hogy ez nem függ attól, hogy az ismeretleneket a racionális vagy a valós számok körében keressük.

4.3.17 Csak a c) generátorrendszer. — Útmutatás b)-hez: nem állítható elő például egy olyan sorozat, amelynek az elemei egy transzcendens szám különböző hatványai. (A transzcendens szám definícióját lásd az A.7 pontban, az A.7.6 Definíció után.) Ennek igazolásához írjuk fel a feladatot egy (végtelen sok egyenletet, de csak véges sok ismeretlent tartalmazó) egyenletrendszer formájában, és alkalmazzuk a Gauss-kiküszöbölést vagy az algebrai bővítések elemi tulajdonságait (lásd az A.7 pontot).

4.4.

4.4.1 Igaz: b), e), g), i), j).

4.4.2 a) Összefüggő. b) Független.

c) Lehet összefüggő, lehet független.

4.4.3 Következik.

4.4.4 A 4.4.3 Tétel III. állításának bizonyításához hasonlóan adódik.

4.4.5 Ha s≥2 és v_,u_1,,u_m-s lineárisan független, akkor megfelel pl. λ1v_,,λsv_,u_1,,u_m-s ahol λ1,…,λs különböző ≠0 skalárok.

4.4.6 Igaz: a), c).

4.4.7 Függetlenek.

4.4.8 Csak d_=0_ lehetséges.

4.4.9 Független: a), d). — Összefüggő: b), c), f). — Lehet összefüggő, lehet független: e), g).

4.4.10 a) m páratlan. b) (k,m)=1.

4.4.11 Csak a c) nem igaz.

4.4.12 Használjuk fel a) a számelmélet alaptételét; b) a transzcendens szám definícióját.

4.5.

4.5.1 A bázisok elemszáma:

a) 11; b) 18; c) 19; d) 20; e) 20; f) 20; g) 19.

4.5.2 Bázis: a), d). — Független, de nem bázis: f). — Generátorrendszer, de nem bázis: b).

4.5.3 Mindkét fogalom azonos a bázissal. (Használjuk fel a 4.5.3 Tételt.)

4.5.4 Alkalmazzuk a 4.5.4 Tételt.

4.5.6 Összefüggő.

4.5.7 Igaz: b), c), f).

4.5.8 a) Egyik sem. — b) Független, de nem generátorrendszer. — c) Bázis, ha n páratlan, és egyik sem, ha n páros. — d) Bázis. — e) Generátorrendszer, de nem független.

4.5.9 Elég a függetlenséget vizsgálni.

4.5.11 Útmutatás: Írjuk fel a v_i-ket a 4.5.10 feladat szerint. Lássuk be, hogy van olyan j, amelyre βij≠0, valamint a βrs-ekből képezett determinánsban az Aij előjeles aldetermináns sem nulla. Ekkor v_j kielégíti a feladat feltételeit.

4.5.12 a) Van. — b) Nincs. (Írjuk fel a vektortér elemeit egy bázis segítségével.) — c) Lássuk be, hogy minden véges test tartalmaz egy Fp testet, és fölötte vektortér (vö. az A.8 ponttal). — d) Használjuk fel c) eredményét.

4.5.13 Útmutatás: használjuk fel pl. a 4.5.7 Tételt.

4.5.14 Útmutatás a)-hoz és b)-hez: Fpn-ben az első báziselem (pn–1)-féleképpen választható, a következő (pnp)-féleképpen stb. Az eredmény éppen a c) részben a jobb oldali szorzat.

4.6.

4.6.1 a) 2. b) ∞. c) n(n+1)/2. d) ∞. e) p. (Útmutatás: használjuk fel a 3.2.14 feladat állítását is.) f) 84. g) 210. h) 20. i) n–r. j) Oszlopszám – rang. k) Rang.

4.6.2 Bázis: a), b), c). — Útmutatás d)-hez: már az első 8 vektor is lineárisan összefüggő.

4.6.3 Vegyünk k független vektor által generált alteret.

4.6.4 Használjuk fel, hogy A minden oszlopára ugyanaz a feltétel adódik.

4.6.5 Induljunk ki abból, hogy W1 és W2 bázisának egyesítése már összefüggő.

4.6.6

a) W1 és W2 bázisának egyesítése generátorrendszer W1,W2-ben.

c) W1W2 bázisát bővítsük ki W1, illetve W2 bázisává.

4.6.7 a) ∞. b) 101, 101, 102.

4.6.8 φn=151+52n-1-52n – Az útmutatás szerinti részeredmények: (i) 2; (ii) keressünk mértani sorozatokat. – A részletes levezetést lásd a 9.2.1 Tétel első bizonyításában és az utána szereplő megjegyzésben.

4.6.9 A kilenc ismeretlenre adódó összefüggéseket felírva egy olyan egyenletrendszert kapunk, amelyben 3 szabad paraméter lesz. Szabadon választhatjuk pl. az α11, α12 és α22 elemeket. Így bázist alkotnak azok a bűvös négyzetek, amelyekben a fenti elemek egyike 1, a másik kettő 0, a többi elem pedig a feltételekből egyértelműen meghatározható. Ezzel a paraméterezéssel az összes bűvös négyzet alakja

4.6.10 a) 3. b) 3. c) 4.

4.6.11 Útmutatás: az összegvektorok k≥4 esetén már összefüggők.

4.6.13 Vizsgáljuk az oszlopvektorok által generált alterek kapcsolatát.

4.6.14 Ha r>0, akkor egy r-dimenziós alteret r független vektorral generálhatunk. Így azonban ugyanazt az alteret sokszor megkapjuk, mégpedig bármelyik bázisa szerint. Eredmény:

4.6.15 Nyilván elég a 0<r≤min(k,n) esettel foglalkozni. Legkevesebb számolással úgy érhetünk célba, ha Tk-ban kiválasztunk egy r-dimenziós alteret és ebben egy n elemű generátorrendszert. Eredmény:

4.6.16 c) 1010.

4.7.

4.7.1 a) A két megfelelő koordináta is felcserélődik. — b) Az adott koordináta 1/λ-val szorzódik. — c) Ha az eredeti koordináták αi és αj, akkor az újak αi és αj–λαi lesznek.

4.7.2 Csak a 0_ ilyen.

4.7.3 Érdemes felhasználni a három vektorból képezett mátrix inverzét. — Eredmény: Az 100 vektornak a megadott bázis szerinti koordinátái 26, –21, 19, azaz

A 010 vektor koordinátái: –10, 8, –7. A 001 vektor koordinátái: –1, 1, –1.

4.7.4 A v_ skalárszorosain kívül bármi lehet.

4.7.5 a) Életben marad. – b) Nem marad életben.