Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

2. Mátrixok

2. Mátrixok

2.1.

2.1.1 Az összeg egy olyan k×n-es mátrix, amelynek minden eleme 6·3kn–1.

2.1.2 α/β nem valós (és α,β≠0).

2.1.3 A.

2.1.4 a) 0000 b) 2-31-2 c) 1/21/21/21/2

2.1.5 a) 1n01 b) cosnα-sinαsinnαcosnα

c) páratlan n-re: cosαsinαsinα-cosα páros n-re: 1001

2.1.6 a) b1-bb1-b b) 0000

2.1.7 Nullmátrix.

2.1.8 Igaz: a), d).

2.1.9 Az állítás hamis, ellenpélda A=0100, B=0010 A hibás indoklásban a szorzás kommutativitásának a feltételezése van elbújtatva.

2.1.10 A B-vel balról, illetve jobbról történő szorzás hatására A első sora, illetve oszlopa 5-tel szorzódik. — C balról: az első sorhoz hozzáadódik a második sor 6-szorosa. — C jobbról: a második oszlophoz hozzáadódik az első oszlop 6-szorosa.

2.1.11 A sorok, illetve oszlopok permutálódnak.

2.1.12 0.

2.1.14 1.

2.1.15 Útmutatás: A2-ben a közvetlenül a főátló felett álló elemek is 0-k, A3-ben az ezek felett állók is stb.

2.1.16 Ap=E(=a 2.1.3 feladatbeli egységmátrix). — Útmutatás: Írjuk fel a mátrixot A=E+B alakban, és a hatványozásnál használjuk fel (most jogosan) a binomiális tételt és az előző feladatot.

2.1.17 Útmutatás: szorozzunk be AE-vel.

2.1.18 AE.

2.1.19 γim azt mutatja, hogy az i-edik termékhez az m-edik anyagból mennyit kell felhasználni.

2.1.20 A skalárszorosra vonatkozó azonosság az adjungáltnál λA*=λ¯A* alakra módosul.

2.1.21 A=0. — A komplex esetben (a transzponált helyett) az adjungálttal kell szorozni.

2.2.

2.2.1 Igaz: a), b).

2.2.2 Igaz: a), b), g).

2.2.3 Igaz: a), c).

2.2.4 a) és d) invertálható, az inverzük

- 2 1 3 / 2 - 1 / 2 illetve -3/25/2-11/2-7/221/23/2-1

b) és c) nullosztók, egy-egy (mindkét oldali) nullosztópár

6 - 2 - 3 1 illetve 13-2-2-6413-2

2.2.5 A determinánsuk ±1. — Útmutatás: kövessük a 2.2.2 Tétel bizonyításának a gondolatmenetét.

2.2.6 Pontosan akkor van inverze, ha a főátlóban egyik elem sem nulla. Az inverze is felsőháromszög-mátrix lesz.

2.2.7 Igaz: a), c), f). — Útmutatás f)-hez: Ha det A≠0, akkor A–1 segítségével kaphatjuk meg X-et. Ha det A=0, akkor alkalmas C≠0-val AC=0 és így bármely X-re AX=A(X+C).

2.2.8 1.5.5: Általánosan, ha fii,0i,1x+…+βi,n–1xn–1, akkor a keresett determináns a βij-kből (0≤i,jn–1) képzett determinánsnak és a V(a1,…,an) Vandermonde-determinánsnak a szorzata. — 1.5.6: V1,…αn)V1,…,βn). —1.5.7:

2.2.9 A2=E pontosan azt jelenti, hogy A=A–1, a másik feltétel pedig azt, hogy ÂA. Használjuk fel a 2.2.2 Tételből az inverzre kapott képletet, valamint a 2.2.3 Lemmát és a determinánsok szorzástételét.

2.2.10 Alkalmazzuk a 2.2.3 Lemmát A-ra, majd Â-ra is. A kérdéses mátrix az A mátrix (det A)n–2-szerese lesz.

2.2.11 Írjuk fel a 2.2.3 Lemmát A-ra és B-re is. — Komplex esetben A=ρ·B, ahol ρ egy n–1-edik komplex egységgyök.

2.2.12 a) és b) „ugyanaz”, mint a valós test, d) pedig „ugyanaz”, mint a komplex test.

c) kommutatív, egységelemes, azoknak az elemeknek van inverze, amelyekre a≠±b, a többi (nemnulla) elem pedig kétoldali nullosztó.

e) nemkommutatív, minden 1b00 mátrix bal oldali egységelem, jobb oldali egységelem nincs, minden (nemnulla) elem jobb oldali nullosztó, a bal oldali nullosztók pedig a 0b00 mátrixok (b≠0).