Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

A.6. Ideál és maradékosztálygyűrű

A.6. Ideál és maradékosztálygyűrű

A.6.1 Definíció

Egy R gyűrűben egy nemüres IR részhalmazt az Rideáljának nevezünk, ha

(i) I zárt az (R-beli) összeadásra és ellentettképzésre, azaz

(ii) bármely I-beli elemet egy tetszőleges R-beli elemmel akármelyik oldalról megszorozva ismét I-beli elemet kapunk, azaz

Az ideál fogalma könnyen láthatóan ekvivalens azzal, hogy I olyan részgyűrű, ahol egy I-beli és egy I-n kívüli elem szorzata isI-beli (a részgyűrű definícióját lásd az A.3.10 feladatban).

Példák: ideált alkotnak az egész számok gyűrűjében az m-mel osztható számok, a valós együtthatós polinomok gyűrűjében egy adott g-vel osztható polinomok, az egész együtthatós polinomok gyűrűjében azok a polinomok, amelyeknek a konstans tagja páros szám. Nem alkotnak ideált (de részgyűrűt igen) a valós együtthatós polinomok gyűrűjében a konstans polinomok vagy az egész együtthatós polinomok. Testben csak a két triviális ideál létezik (maga a test és a csak a nullából álló részhalmaz).

Az ideálok legegyszerűbb és egyben legfontosabb típusát az egyetlen elem által generált ideálok, más néven főideálok jelentik. Ezek vizsgálatánál kényelmi okokból csak kommutatív és egységelemes gyűrűkre szorítkozunk.

A.6.2 Definíció

Legyen R kommutatív és egységelemes gyűrű, aR tetszőleges. Ekkor az {rarR} halmazt az a által generált főideálnak nevezzük és(a)-val jelöljük.❶

Az a által generált (a) főideál tehát az a elem „többszöröseiből” áll.

A definícióban szereplő „a által generált” és „ideál” szóhasználat jogosságát az alábbi tétel mutatja:

A.6.3 Tétel

Egy R kommutatív és egységelemes gyűrűben az a={rarR} halmazra az alábbi tulajdonságok teljesülnek:

(i) (a) ideál R-ben;

(ii) aa

(iii) ha I ideál R-ben és aI akkor szükségképpen aI

Az (a) főideál tehát az a elemet tartalmazó legszűkebb ideál.

Az A.6.1 Definíció utáni három példa közül a harmadik nem főideál (lásd az A.6.9c feladatot), az első kettő viszont igen, (egyik) generátorelemük az m, illetve a g. Nem is meglepő, hogy az ebből a két gyűrűből választott ideálpéldáink főideálok voltak, ugyanis érvényes az alábbi tétel:

A.6.4 Tétel

Az egész számok gyűrűjében, illetve a T kommutatív test feletti T[x] polinomgyűrűben minden ideál főideál.❶

Az A.6.4 Tétel állítása minden olyan kommutatív, nullosztómentes, egységelemes gyűrűben igaz, ahol elvégezhető a maradékos osztás (azaz minden euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű is ― ezeknek a fogalmaknak a pontos definiálását az Olvasóra bízzuk).

Az eddigiekből is érezhető, hogy az ideálok szorosan kapcsolódnak a számelmélethez. Valójában onnan is származnak: eredetileg a Fermat-sejtés kapcsán vezette be Kummer német matematikus az „ideális szám” fogalmát. Néhány számelméleti vonatkozást az A.6.10 feladatban tárgyalunk.

Most rátérünk az ideál szerinti maradékosztálygyűrű konstrukciójára. Ez a fogalom a modulo m maradékosztályok gyűrűjének az általánosítása.

Mint láttuk, az egész számok Z gyűrűjében az m-mel osztható számok egy I ideált alkotnak. Ekkor a c egész számot tartalmazó modulo m maradékosztály éppen a c+I=c+iiI=c+kmkZhalmaz, itt a c ennek a maradékosztálynak egy reprezentánsa. A maradékosztályok összeadását és szorzását a reprezentánsok segítségével értelmeztük, ami ebben a felírásban a következőket jelenti:(c+I)+(d+I)=(c+d)+I,(c+I)(d+I)=cd+I.

Be kellett látni, hogy ezek a hozzárendelések az osztályokra valóban műveleteket definiálnak, azaz az eredményül kapott osztály egyértelmű, nem függ attól, hogy az egyes osztályokból melyik reprezentánsokat választottuk. Ha végigelemezzük ennek a bizonyítását, akkor kiderül, hogy a szóban forgó egyértelműséget éppen I ideál volta biztosítja. Mindezek alapján a következő általánosítást kapjuk.

A.6.5 Tétel

Legyen I ideál az R gyűrűben. Ekkor az I szerinti (különböző) c+I=c+iiImaradékosztályok a

módon definiált összeadásra és szorzásra nézve gyűrűt alkotnak. Ezt a gyűrűt az R-nek az I szerinti maradékosztálygyűrűjének vagy faktorgyűrűjének nevezzük és R/I-vel jelöljük.❶

A faktorgyűrű nulleleme nyilván a 0+I maradékosztály, azaz maga az I ideál.

Megjegyezzük, hogy egy c+I maradékosztály éppen az R additív csoportjának az I additív részcsoport szerinti egyik mellékosztálya (mindegy, hogy melyik oldali, hiszen a gyűrűben az összeadás mindig kommutatív). Ennek megfelelően az I szerinti (különböző) maradékosztályok az R-nek egy diszjunkt felbontását adják.

A továbbiakban egy T kommutatív test feletti T[x] polinomgyűrű maradékosztálygyűrűit vizsgáljuk. Az A.6.4 Tétel szerint T[x]-ben minden ideál főideál. Legyen I=(g), ahol g≠0. Ekkor éppen azok a polinomok kerülnek egy maradékosztályba, amelyek ugyanazt a maradékot adják g-vel osztva. Ily módon — az egész számoknál tapasztaltakhoz teljesen hasonlóan — minden maradékosztály egyértelműen jellemezhető egy „maradékkal”, azaz egy legfeljebb degg–1-edfokú polinommal (idesorolva a 0 polinomot is, amely magát az I-t reprezentálja). A T[x]/(g) maradékosztálygyűrűben tulajdonképpen ezekkel a maradékokkal számolunk, azaz pl.két maradékosztály szorzásakor ezeket a maradékokat összeszorozzuk és vesszük a szorzatnak a g-vel való osztási maradékát (pontosan ugyanúgy, ahogy pl.modulo 15 a 7-nek és a 6-nak a szorzata 12).

Tekintsük példaként az R[x]/(x2+1) maradékosztálygyűrűt. Itt minden maradékosztályt egyértelműen reprezentálhatunk egy legfeljebb elsőfokú a+bx(valós együtthatós) polinommal, amelyet az x2+1polinommal való osztási maradéknak tekintünk. Ennek megfelelően az összeadást az

a szorzást pedig az

szabály szerint kell végezni, azaz pontosan ugyanúgy, ahogyan a komplex számoknál (képzeljünk az „x” betű helyére mindenhol „i” betűt). Ezzel beláttuk, hogy az R[x]/(x2+1) maradékosztálygyűrű test és izomorf C-vel.

Az alábbi tétel pontos választ ad arra, hogy egy T[x]/(g) maradékosztálygyűrű mikor test.

A.6.6 Tétel

Legyen T kommutatív test és gTx tetszőleges polinom. A T[x]/(g)maradékosztálygyűrű akkor és csak akkor test, ha g irreducibilis T felett.❶

Feladatok

A.6.1 Tekintsünk egy tetszőleges additív Abel-csoportot, és definiáljuk ebben a szorzást úgy, hogy bármely két elem szorzata a nullelem legyen. Bizonyítsuk be, hogy így egy gyűrűt kapunk. Mik lesznek az ideálok? (Az ilyen gyűrűket zérógyűrűnek nevezzük.)

A.6.2 Melyek azok az m természetes számok, amelyekre a modulo m maradékosztályok gyűrűjében a nullosztók és a nulla egy ideált alkotnak?

A.6.3

a) Vegyünk egy nullosztómentes gyűrűben akárhány (de véges sok) nemnulla ideált (azaz az ideálok egyike se álljon csak magából a nullelemből). Lássuk be, hogy ekkor az ideálok metszete sem nulla.

b) Mutassunk példát olyan gyűrűre, amelyben előfordul, hogy két nemnulla ideál metszete nulla.

c) Adjunk meg olyan gyűrűt is, amelyben vannak nullosztók, de véges sok nemnulla ideál metszete sohasem lehet nulla.

A.6.4

a) Igazoljuk, hogy egy testnek csak triviális ideáljai vannak.

b) Tegyük fel, hogy az R kommutatív gyűrűben csak triviális ideálok vannak, és van két olyan elem, amelyek szorzata nem nulla (azaz R nem zérógyűrű). Bizonyítsuk be, hogy R test.

c) Mutassuk meg, hogy a Tnxn mátrixgyűrűnek csak triviális ideáljai vannak. [Ebből látszik, hogy b)-ben a kommutativitási feltétel lényeges szerepet játszik.]

A.6.5 Jelöljük a modulo m maradékosztályok gyűrűjét Zm-mel.

a) Bizonyítsuk be, hogy Zm-ben minden ideál főideál.

*b) Legyen k|m. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a (k)főideál mint gyűrű izomorf legyen Zm/k‾val? [Itt (k) értelemszerűen azt a főideált jelöli Zm-ben, amelyet a k-t tartalmazó modulo m maradékosztály generál.]

*c) Bizonyítsuk be, hogy bármely k|m esetén a Zm/(k) faktorgyűrű izomorf Zk-val.

A.6.6 Bizonyítsuk be az A.6.3-A.6.6 Tételeket

A.6.7 A főideál általánosításaként bevezetjük a végesen generált ideál fogalmát. Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű, a1,,akR,

és legyen a1,,ak=i=1kriairiR} Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be az A.6.3 Tétel megfelelőjét az a1,…,ak elemek által generált (a1,…,ak) ideálra.

A.6.8 Jelöljük az A.3 pont P7 példájában szereplő gyűrűt RH-val.

a) Jellemezzük a főideálokat RH-ban.

b) Mutassuk meg, hogy ha H véges, akkor RH-ban minden ideál főideál.

c) Bizonyítsuk be, hogy végtelen H esetén H összes véges részhalmaza olyan ideált alkot RH-ban, amely nem főideál, sőt nem is végesen generált ideál.

d) Legyen AH tetszőleges. Igazoljuk, hogy az RH/(A) faktorgyűrű RH\A-val izomorf.

A.6.9 Adjuk meg egyszerűbb alakban az alábbi, két elemmel generált ideálokat. Melyek lesznek közülük főideálok? Határozzuk meg a szerintük vett faktorgyűrűket is.

a) Az egész számok gyűrűjében(30,42).

b) A modulo 100 maradékosztályok gyűrűjében(30,42).

c) Az egész együtthatós polinomok gyűrűjében(2,x).

A.6.10 Legyen R kommutatív, nullosztómentes, egységelemes gyűrű, és definiáljuk az oszthatóságot, az egységeket és a legnagyobb közös osztót a szokásos módon. A kerek zárójelek most mindig a generált ideált,a, b ,d pedig az R gyűrű elemeit jelölik. [Tehát (a,b) az a és b által generált ideál, nem pedig az a és b legnagyobb közös osztója ― bár a két fogalom között szoros kapcsolat áll fenn, lásd a feladat c)-e) részét.] Bizonyítsuk be az alábbi állításokat:

a) abba

b) a=(b)a és b egymás egységszeresei.

c) Ha (a,b)=(d), akkor d az a és b legnagyobb közös osztója.

d) Az egész számok gyűrűjében vagy egyT kommutatív test feletti T[x] polinomgyűrűben a c)-beli állítás megfordítása is igaz.

e) Az egész együtthatós polinomok gyűrűjében a c)-beli állítás megfordítása nem igaz.

A.6.11 Legyen R az egész elemű 2×2-es mátrixok gyűrűje. Mutassuk meg, hogy ebben a csupa páros elemből álló mátrixok egy I ideált alkotnak. Hány elemű az R/I faktorgyűrű? Milyen ismert gyűrűvel izomorf R/I?

A.6.12 Legyen R az összes valós függvények szokásos gyűrűje és f a következő függvény:f(x)=x, ha x≥5 és f(x)=0, ha x<5.

a) Mely függvények alkotják az (f) főideált?

b) Bizonyítsuk be, hogy az R/(f) faktorgyűrű izomorf R-rel.

A.6.13 Legyen I az R gyűrű egy nemtriviális ideálja. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha R kommutatív, akkor R/I is kommutatív.

b) Ha R/I kommutatív, akkor R is kommutatív.

c) Ha R egységelemes, akkor R/I is egységelemes.

d) Ha R/I egységelemes, akkor R is egységelemes.

e) Ha R nullosztómentes, akkor R/I is nullosztómentes.

f) Ha R/I nullosztómentes, akkor R is nullosztómentes.

A.6.14 Az alábbi faktorgyűrűk közül melyek alkotnak testet?

a) R[x]/(x2);

b) C[x]/(x2+1);

c) Q[x]/(x6-2);

d) F2[x]/(x4+x+1).