Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

A.4. Polinomok

A.4. Polinomok

Ebben a pontban igen vázlatosan (esetenként némi „pongyolaságot” is megengedve) áttekintjük a (kommutatív test feletti) polinomokkal kapcsolatos legfontosabb tudnivalókat.

1. Polinom

A precíz bevezetéssel kapcsolatos nehézségeket átugorva (T feletti) polinomon egy olyan α01x+…+αnxn„formális kifejezést” értünk, ahol az αi együtthatók aT kommutatív test elemei. Az α01x+…+αnxn és β01x+…+βkxk polinomokat akkor tekintjük azonosnak, ha „esetleges nulla együtthatójú tagoktól eltekintve a megfelelő együtthatók megegyeznek”, azaz (pl. kn-et feltételezve) α0011,…,αnnn+1=…=βk=0.

2. Polinomfüggvény

Maga a polinom nem függvény, de minden polinom természetes módon „létrehoz” egy ún.polinomfüggvényt: az α01x+…+αnxn polinomhoz tartozó polinomfüggvény a γα0+α1γ++αnγn hozzárendeléssel definiáltTT függvény. A polinomot némi fantáziával a polinomfüggvény „alakjának” vagy „képletének” képzelhetjük. A két fogalom (a polinom és a polinomfüggvény) semmiképpen sem azonosítható, ugyanis egy függvénynek többféle „alakja” is lehet, ugyanazt a függvényt többféle „képlettel” is előállíthatjuk. Például a modulo p maradékosztályok Fp teste felett az x és xp (egymástól különböző) polinomokhoz a „kis” Fermat-tétel szerint azonos polinomfüggvény tartozik, hiszen minden a-ra apa (mod p). Belátható, hogy ez a „rendellenesség” csak véges testek esetén fordul elő (ott viszont „tipikus”, lásd az A.4.1 feladatot), végtelen test felett a polinom-polinomfüggvény kapcsolat bijektív.

A polinomot és a hozzá tartozó polinomfüggvényt általában ugyanúgy jelöljük, mindkettőt (pl.) f-fel (vagy ha az x”határozatlant”, illetve „változót” hangsúlyozni akarjuk, akkor f(x)-szel). A jelölésen túlmenően legtöbbször a szóhasználatban sem teszünk különbséget közöttük; a polinomfüggvényre is a polinom szót használjuk. Ebben az értelemben pl.”egy f polinom helyettesítési értéke” természetesen az f polinomhoz tartozó polinomfüggvény helyettesítési értékét jelenti. A könyv többi részében mi is ezt a „közös” terminológiát követjük, ebben a pontban azonban szavakban is következetesen megkülönböztetjük a két fogalmat.

3. Műveletek

Az 1.-ben megadott két polinom összege definíció szerint az

polinom (azaz a „megfelelő tagokat összeadjuk”),szorzata pedig az

polinom (azaz „minden tagot minden taggal megszorzunk”).

Mindez összhangban van azzal, hogy a polinomokat tulajdonképpen (formális) összegként kezeljük és a műveleteket ennek megfelelően a számoknál megszokott „mintára” végezzük. Az így definiált műveletek jól kapcsolódnak a polinomfüggvények közötti (függvény) összeadáshoz és szorzáshoz is: ha minden polinomnak megfeleltetjük a hozzá tartozó polinomfüggvényt, akkor ez a megfeleltetés az összeadásra és a szorzásra nézve is művelettartó.

4. AT[x]polinomgyűrű

A T feletti polinomok a 3.-ban értelmezett két műveletre nézve egy egységelemes, kommutatív, nullosztómentes gyűrűt alkotnak, amit T[x]-szel,jelölünk. Ennek nulleleme a 0 polinom, amelynek minden együtthatója (aT-beli) 0.

Megjegyezzük, hogy aTT polinomfüggvények is gyűrűt alkotnak a szokásos függvényösszeadásra és szorzásra, ez szintén egységelemes és kommutatív, azonban véges test esetén előfordulnak benne nullosztók (lásd az A.4.3 feladatot). Ha T végtelen test, akkor a polinom-polinomfüggvény megfeleltetés bijektív, továbbá az összeadásra és a szorzásra nézve is művelettartó, ezért ekkor a T feletti polinomok, illetve polinomfüggvények gyűrűje egymással izomorf (tehát ekkor pl.a polinomfüggvények körében sincsenek nullosztók).

5. Fokszám

Ha az f01x+…+αnxn polinomban αn≠0, akkor az n (nemnegatív egész) számot az f polinom fokának vagy fokszámának nevezzük és degf-fel jelöljük (a jelölés az angol „degree” szóból származik). A 0 polinom kivételével minden polinomnak van foka. A fokszám és a műveletek definíciójából azonnal adódik, hogy ha f,g, illetve f+g nem a nulla polinom, akkor deg(fg)=degf+degg és deg(f+g)≤max(deg f,degg). Egy n-edfokú polinomban az xn együtthatóját a polinom főegyütthatójának nevezzük.

Hangsúlyozzuk, hogy fokszáma a (nemnulla) polinomoknak, és nem a polinomfüggvényeknek van: például az Fp test felett az x polinom foka 1, az xp polinom foka p, miközben ugyanaz a polinomfüggvény tartozik hozzájuk. (Végtelen test felett — a polinomok és polinomfüggvények közötti bijekció alapján — megengedhető egy polinomfüggvény fokáról is beszélni.)

6. Gyök

A γT elemet egy polinomfüggvény gyökének nevezzük, ha a függvény γ helyen vett helyettesítési értéke 0(=a test nulleleme). Egy polinom gyökein a hozzá tartozó polinomfüggvény gyökeit értjük. Igen fontos az alábbi egyszerűen adódó ekvivalencia: egy f polinomhoz tartozó polinomfüggvénynek pontosan akkor gyöke a γ, ha az fpolinomból kiemelhető az xgyöktényező.

7. Multiplicitás

A γT elemet az f polinom(!) (pontosan) k-szoros gyökének nevezzük, ha f-ből az x-γ gyöktényező pontosan k-szor emelhető ki, azaz

f=(x-γ)kg, ahol a g polinomhoz tartozó polinomfüggvénynek a γ már nem gyöke. Ugyanezt úgy is mondhatjuk, hogy az f polinomban a γ gyök multiplicitása k. Ha k≥2, akkor γ-t az f polinom többszörös gyökének nevezzük.

A fokszámnál elmondottakhoz hasonlóan itt is kiemeljük, hogy a gyökök multiplicitását a polinomokra, és nem a polinomfüggvényekre definiáltuk. Ismét az ottani példával élve, az Fp test felett a 0 az x polinomnak egyszeres, az xp polinomnak pedig p-szeres gyöke, noha a két polinomhoz ugyanaz a polinomfüggvény tartozik.

8. A gyökök száma

A nulla polinomnak mindenT-beli elem gyöke, bármely más polinomnak azonban multiplicitással számolva is legfeljebb annyi gyöke van, mint amennyi a foka. (Ez a tétel nemkommutatív test esetén nem érvényes, lásd az 5.6.22 feladatot.)

Az algebra alaptétele szerint a komplex test felett minden nemkonstans polinomnak van (komplex) gyöke. Ebből következik, hogy a komplex test felett minden nemnulla polinomnak a multiplicitást is figyelembe véve pontosan annyi gyöke van, mint amennyi a foka.

Egy valós együtthatós polinomnak egy komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Az algebra alaptételéből így az is következik, hogy minden valós együtthatós polinom felbontható legfeljebb másodfokú valós együtthatós polinomok szorzatára, és minden páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.

9. A gyökök meghatározása

Bármely T esetén az elsőfokú α01x polinom (ahol α1≠0) egyetlen gyöke –α01. A másodfokú polinomok gyökeinek megkeresésére „majdnem minden T” esetén alkalmazható a másodfokú egyenlet szokásos megoldóképlete.

A komplex vagy a valós test felett a harmad- és negyedfokú polinomok esetén hasonló univerzális megoldási módszer,”megoldóképlet”érvényes, amely a gyököket az együtthatókból a négy alapművelet és pozitív egész kitevőjű gyökvonások véges sokszori alkalmazásával állítja elő. Az ötöd- és magasabb fokú polinomok esetén ilyen általános módszer nem létezik, sőt olyan konkrét polinomok is megadhatók, amelyek gyökeit nem kaphatjuk meg az együtthatókból a fenti módon.

A racionális együtthatós polinomok racionális gyökeinek a meghatározására az alábbi egyszerű algoritmus alkalmazható. A polinomot az együtthatók nevezőinek a legkisebb közös többszörösével beszorozva egy olyan α01x+

+…+αnxn egész együtthatós polinomot kapunk, amelynek a gyökei azonosak az eredeti polinom gyökeivel. Feltehető, hogy αn≠0 és szükség esetén az x megfelelő hatványával végigosztva (ez a nemnulla gyökökön nem változtat) azt is elérhetjük, hogy α0≠0. Ha ennek az egész együtthatós polinomnak egy c/d racionális szám gyöke (ahol c és d relatív prím egész számok), akkor szükségképpen c0 és dn. Az így szóba jövő véges sok racionális számot végigpróbálva megkapjuk, hogy közülük melyek lesznek valóban gyökök.

Az Fp testek feletti polinomok gyökeinek a meghatározása, azaz a prím modulusú kongruenciák megoldása legrosszabb esetben az összes (véges sok!) testbeli elem végigpróbálásával történhet. Ha az f polinom foka p vagy annál nagyobb, akkor az alábbi redukciós eljárással f helyett elég egy legfeljebb p–1-edfokú polinom gyökeit megkeresni. Legyen f–nek az xpx polinommal való osztási maradéka g (vagyis g-t úgy kapjuk, hogy f-ben mindenütt xp helyére mindaddig x-et írunk, amíg ez csak lehetséges). Ekkor a g egy olyan legfeljebb p–1-edfokú (vagy esetleg a nulla) polinom, amelyhez ugyanaz a polinomfüggvény tartozik, mint az f-hez, ezért a gyökeik is megegyeznek.

10. Derivált polinom

A tetszőleges(!) T kommutatív test feletti f01x+…+αnxn polinom deriváltját a formális deriválási szabályok szerint definiáljuk: f’=

1+…+nαnxn-1, ahol jjxj-1)a j-szeri összeadást jelenti T[x]-ben.

Egyszerű számolással igazolható, hogy összeg, szorzat és hatvány deriválására a szokásos szabályok érvényben maradnak.

A derivált szorosan kapcsolódik a gyökök multiplicitásához: ha γ pontosan k-szoros gyöke f-nek (k≥1), akkor legalább k–1-szeres gyöke f’-nek. Itt a „legalább” nem mindig helyettesíthető a „pontosan” szóval, pl. F2 felett az f=x5+x=x(x+1)4 polinomnak a deriváltja f’=x4+1=(x+1)4, tehát az 1 mindkettőnek pontosan négyszeres gyöke. Az is előfordulhat, hogy f’ a nulla polinom lesz, vegyük pl. az Fp test felett az f= xp polinomot, ekkor f’=pxp-1=0. Ha azonban a T testben α+α+…+α=0α=0 teljesül, azaz egy nemnulla elemet önmagához akárhányszor hozzáadva sohasem kaphatunk nullát, akkor a fenti tétel úgy is érvényes marad, ha a „legalább” helyére a „pontosan” szót írjuk.

11. Összefüggés a gyökök és együtthatók között

Ha egy n-edfokú polinomnak multiplicitással számolva pontosan n gyöke van, legyenek ezek γ1,…,γn, akkor az

egyenlőségből a σm=(–1)mαn-mn,m=1,2,…,n összefüggéseket nyerjük, ahol σm a γj-kből képzett összes (azaz nm darab) m-tényezős szorzat összege. Speciálisan, a γi-k összege–αn-1n, a szorzatuk pedig (–1)nα0n.

12. Polinomok számelmélete

Az oszthatóságot és a többi számelméleti fogalmatT[x]-ben pontosan ugyanúgy definiáljuk, mint bármely kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrűben.

Ennek megfelelően az egységek (ne keverjük össze az egységelemmel!) azok a polinomok, amelyek minden polinomnak osztói, azaz, amelyeknek létezik (multiplikatív) inverzük. Ezek éppen a nemnulla konstans polinomok.

Egy polinom irreducibilis vagy felbonthatatlan, ha egyrészt ő maga nem egység, másrészt csak úgy bontható szorzattá, hogy valamelyik tényező egység (tehát csak az egységekkel és önmaga egységszereseivel osztható). A nullától és egységektől különböző, nem irreducibilis polinomokatreducibilisnek nevezzük.

T[x]-ben elvégezhető a maradékos osztás: bármely g≠0 és f polinomhoz létezik olyan h és r polinom, amelyekre f=gh+r és degr<degg vagy r=0 (az is igaz, hogy h és r egyértelmű). Ez azt jelenti, hogyT[x]euklideszi gyűrű, és így érvényes a számelmélet alaptétele(más szóval az egyértelmű prímfaktorizáció): a nulla polinomon és az egységeken kívül minden polinom felbomlik véges sok irreducibilis polinom szorzatára, és ez a felbontás a tényezők sorrendjétől és egységszeresétől eltekintve egyértelmű. Itt az egyértelműség azt jelenti, hogy ha f=s1sm=t1tk, ahol minden si és tj irreducibilis, akkor m=k és az si-k és tj-k párba állíthatók úgy, hogy az egy párba tartozó polinomok egymás egységszeresei.

Két polinom legnagyobb közös osztója egy olyan polinomot jelent, amely közös osztó (azaz mindkét polinomnak osztója) és minden közös osztónak többszöröse. Az f és g polinomok legnagyobb közös osztóját(f,g)-vel vagy lnko(f,g)-vel jelöljük. A maradékos osztás ismételt alkalmazásával adódó euklideszi algoritmusból következik, hogy bármely két polinomnak létezik legnagyobb közös osztója, továbbá ez előállítható a két polinom alkalmas polinomszorosának összegeként: tetszőleges f,gTx-hez létezik olyan u,vTx amellyel(f,g)=fu+gv(az u és v nem egyértelmű). A legnagyobb közös osztó definíciója biztosítja, hogy két polinom legnagyobb közös osztója egységszerestől eltekintve egyértelmű, azaz ha d egy ilyen tulajdonságú polinom, akkor d minden egységszerese is ilyen tulajdonságú, és más megfelelő polinom nincs.

Egy polinom prím, ha egyrészt nem a nulla polinom és nem egység, másrészt két polinom szorzatának CSAK úgy lehet osztója, hogy a két tényező közül legalább az egyiknek osztója. A legnagyobb közös osztó felhasználásával igazolható, hogy egy polinom akkor és csak akkor prím, ha felbonthatatlan.

13. Irreducibilis polinomok

Mindig világosan jelezni kell, hogy egy adott polinomot melyik test felettinek tekintünk, hiszen például egy racionális együtthatós polinom egyben valós vagy komplex együtthatós polinom is, és így előfordulhat, hogy a racionális test felett irreducibilis, ugyanakkor a valós test felett reducibilis. (Az „f irreducibilis T felett” és az „f irreducibilis T [x]-ben” szóhasználat egyaránt helyes.)

Az algebra alaptételéből következik, hogy a komplex test felett a felbonthatatlanok éppen az elsőfokú polinomok, a valós test felett pedig az elsőfokúak és azok a másodfokúak, amelyeknek nincs valós gyökük.

A racionális test feletti irreducibilis polinomok jóval változatosabb képet mutatnak. Egy jól használható elégséges feltétel a Schönemann-Eisenstein-kritérium: ha f=a0+a1x+…+anxn egész együtthatós és létezik olyan p prímszám, amely osztója az a0, a1,…, an-1együtthatók mindegyikének, de nem osztója an-nek és p2 nem osztója a0-nak, akkor f irreducibilis a racionális test felett. Ebből azonnal adódik, hogy a racionális test felett minden n pozitív egészre létezik n-edfokú irreducibilis polinom.

Egy konkrét racionális együtthatós polinom irreducibilitásának eldöntéséhez először is szorozzuk be a polinomot az együtthatók nevezőinek a legkisebb közös többszörösével, majd az így keletkezett polinomot osszuk el az együtthatók legnagyobb közös osztójával. Ez a racionális test feletti irreducibilitást nem befolyásolja, hiszen csak egy konstanssal, azaz egységgel szoroztunk. Így egy olyan egész együtthatós polinomhoz jutottunk, amelynek az együtthatói relatív prímek, az ilyen polinomokat primitíveknek nevezzük. Igen fontos az alábbi két tétel, amelyeket Gauss-lemmá(k)nak szokás nevezni: I. Két primitív polinom szorzata is primitív; II. Ha egy Fegész együtthatós polinom felírható a g és hracionális együtthatós polinomok szorzataként, F=gh, akkor F előáll F = GH alakban is, ahol G és H olyan egész együtthatós polinomok, amelyek a g-nek, illetve a h-nak (racionális) konstansszorosai (tehát degG=degg és degH=degh). Ennek alapján a racionális test feletti felbonthatóság kérdését arra vezettük vissza, hogy egy egész együtthatós polinom felírható-e (nemkonstans) egész együtthatós polinomok szorzataként.

A racionális test feletti irreducibilis polinomok fontos osztályát alkotják akörosztási polinomok. Az m-edik körosztási polinom, φm, az az 1 főegyütthatós polinom, amelynek gyökei az m-edik primitív komplex egységgyökök. φm fokszáma tehát ϕ(m). Például φ4=x2+1, φ11=x10+x9+…+1. Az, hogy φm egész együtthatós, xm-1=dmΦd összefüggés felhasználásával adódik. Ha m prím vagy prímhatvány, akkor a racionális test feletti irreducibilitás egy alkalmas lineáris helyettesítés után a Schönemann-Eisenstein-kritérium segítségével igazolható, tetszőleges m-re a bizonyítás lényegesen nehezebb.

14. Egész együtthatós polinomok

A kommutatív test feletti polinomokra felsorolt tulajdonságok nagy része akkor is érvényben marad, ha az együtthatókat (a kommutatív test helyett) egy kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrűből vesszük (lásd az A.4.2 feladatot).

Az egyik legfontosabb eset az egész együtthatós polinomok vizsgálata. Itt most csak a számelméleti vonatkozásokra térünk ki. A kommutatív test feletti polinomokhoz képest két lényeges különbséget emelünk ki: az egész együtthatós polinomok körében csak a ±1egység, továbbá nincs maradékos osztás.

Vizsgáljuk meg részletesebben a maradékos osztás kérdését. Könnyen adódik, hogy ha pl.az f=x polinomot a g=2 polinommal akarjuk maradékosan elosztani, akkor nem tudjuk biztosítani, hogy az r maradék a nulla polinom vagy az osztónál kisebb fokú polinom legyen. Ez azonban nyitva hagyja azt a lehetőséget, hogy a fokszám helyett valamilyen más euklideszi függvény szerint talán mégis létezik maradékos osztás. Megmutatjuk, hogy nem ez a helyzet. Ha ugyanis lenne maradékos osztás, akkor az x és 2 legnagyobb közös osztója, az 1, előállna 1=xu+2v alakban alkalmas u és vegész együtthatós polinomokkal. Ez azonban lehetetlen, hiszen a jobb oldal konstans tagja páros.

Noha nincs maradékos osztás, a számelmélet alaptétele mégis érvényes az egész együtthatós polinomokra. Ez lényegében abból következik, hogy a II. Gauss-lemma alapján egy egész együtthatós polinom pontosan akkor irreducibilis az egész együtthatós polinomok körében, ha vagy egy olyan p konstans polinom, ahol p prímszám, vagy pedig egy olyan primitív polinom, amely irreducibilis a racionális test felett. Ez ugyanis azt jelenti, hogy az egészek feletti irreducibilitás visszavezethető a racionálisok feletti irreducibilitásra, és így a racionális test feletti felbontás egyértelműségéből kapjuk, hogy ugyanez érvényes az egészek felett is.

Megjegyzés: Végül felhívjuk még a figyelmet a 3.2.4 Tételben tárgyalt interpolációs polinomokra és az ahhoz kapcsolódó 3.2.7-3.2.15 feladatokra.

Feladatok

T végig kommutatív testet jelöl.

A.4.1 Legyen Ttetszőleges véges test.

a) Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan T feletti különböző polinomok, amelyekhez ugyanaz a polinomfüggvény tartozik.

b) (Folytatás.) Sőt az is igaz, hogy minden polinomfüggvényhez végtelen sok olyan polinom található, amelyhez az adott polinomfüggvény tartozik.

A.4.2 Mutassuk meg, hogy az alábbi állítások az olyan polinomokra is igazak maradnak, amikor az együtthatókat (egy kommutatív test helyett) egy kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrűből vesszük.

I. Két polinom szorzatának a foka a tényezők fokszámának az összege.

II. Egy f polinomhoz tartozó polinomfüggvénynek pontosan akkor gyöke a γ, ha az f polinomból kiemelhető az x-γ gyöktényező.

III. Egy n-edfokú polinomnak legfeljebb n gyöke van.

Melyik állítás(ok) marad(nak) igaz(ak) olyan kommutatív, egységelemes gyűrű esetén, amelyben nullosztók is előfordulnak?

A.4.3 Legyen T tetszőleges véges test.

a) Ellenőrizzük, hogy a TT polinomfüggvények valóban gyűrűt alkotnak a függvények szokásos összeadására és szorzására nézve.

b) Mutassuk meg, hogy ebben a gyűrűben mindig találhatók nullosztók.

*c) Határozzuk meg a nullosztók számát.

A.4.4 Mutassuk meg, hogy bármely T végtelen kommutatív test esetén létezik olyanTT függvény, amely nem polinomfüggvény (vö.a 3.2.14 feladattal).

A.4.5 Egy G tizedfokú egész együtthatós polinomról tudjuk, hogy G(n) minden egész n-re osztható 11-gyel. Bizonyítsuk be, hogy ekkor szükségképpen G minden együtthatója is osztható 11-gyel.

A.4.6

a) A valós számok milyen részhalmazai léphetnek fel egy valós együtthatós polinomfüggvény értékkészleteként?

b) A komplex számok milyen részhalmazai léphetnek fel egy komplex együtthatós polinomfüggvény értékkészleteként?

A.4.7 Adott egy tetszőleges f=a0+a1x+…+anxn egész együtthatós, legalább másodfokú polinom, amelyben a0≠0,an≠0. Megvizsgáljuk, hogy a polinom egyetlen együtthatójának a megváltoztatása hogyan befolyásolja azt, hogy létezik-e racionális gyök. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat:

a) Az a0 helyére végtelen sok egész szám írható úgy, hogy a keletkező polinomnak legyen racionális gyöke.

b) Az anhelyére végtelen sok egész szám írható úgy, hogy a keletkező polinomnak legyen racionális gyöke.

c) Bármely (rögzített) 1≤in–1 esetén az ai helyére legalább egy, de legfeljebb véges sok egész szám írható úgy, hogy a keletkező polinomnak legyen racionális gyöke.

d) Bármely (rögzített) i esetén az ai helyére végtelen sok racionális szám írható úgy, hogy a keletkező polinomnak legyen racionális gyöke.

e) (Most két együtthatót változtatunk.) Bármely (rögzített) ij esetén az ai és aj helyére végtelen sok egész számpár írható úgy, hogy a keletkező polinomnak legyen racionális gyöke.

M*f) Bármely (rögzített) i esetén az ai helyére helyére végtelen sok egész szám írható úgy, hogy a keletkező polinomnak ne legyen racionális gyöke.

A.4.8 Bizonyítsuk be, hogy az1+x+x2/2+x3/6+…+xn/(n!)polinomnak n különböző komplex gyöke van.

A.4.9 Adjunk (a gyakorlatban is megvalósítható elvi) eljárást olyan ötödfokú komplex együtthatós polinomok gyökeinek a (pontos) meghatározására, amelyeknek van többszörös gyökük.

A.4.10 Bizonyítsuk be, hogy egy, a racionális test felett irreducibilis polinomnak a komplex számok körében sem lehet többszörös gyöke.

A.4.11 Mutassuk meg, hogy egy f komplex együtthatós polinomnak akkor és csak akkor van többszörös gyöke, ha f és f’ nem relatív prímek, azaz (f, f’) ≠1.

A.4.12 Jellemezzük azokat a komplex együtthatós polinomokat, amelyek oszthatók a deriváltjukkal.

A.4.13 Legyen F egy tetszőleges egész együtthatós, 28-adfokú polinom. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) F-nek biztosan van 17-edfokú osztója C[x]-ben.

b) F-nek biztosan van 17-edfokú osztója R[x]-ben.

c) F-nek biztosan van 18-adfokú osztója R[x]-ben.

d) F-nek biztosan van 18-adfokú osztója Q[x]-ben.

A.4.14

a) Legyen f és g minden együtthatója egész szám. Ekkor f-et és g-t tekinthetjük akár egész, akár racionális, akár komplex, akár F2-beli együtthatós polinomnak. Így az f|g-nek négy különböző értelmezése van. Milyen kapcsolatban állnak egymással ezek az oszthatóságok?

b) Mennyiben változik a helyzet, ha f és g minden együtthatója 0 vagy 1?

A.4.15 Bizonyítsuk be, hogy bármely m, n, k természetes számokra

A.4.16 Határozzuk meg az xn–1 és xk–1 polinomok legnagyobb közös osztóját.

A.4.17 Van-e olyan 10-edfokú valós együtthatós polinom, amelynek az x5+2 és 2x6+3x+1 polinomokkal való osztási maradéka megegyezik?

A.4.18 A következő „diofantikus” egyenletet vizsgáljuk: adottak az f,g,hTx polinomok, és olyan u,vTx polinomokat keresünk, amelyekre fu+gv=h. Mi a megoldhatóság feltétele, hány megoldás van, és hogyan kapjuk meg az összes megoldást?

A.4.19 Legyen f racionális együtthatós polinom. Igazak-e az alábbi állítások?

I. Ha f irreducibilis Q felett, akkor f-nek nincs racionális gyöke.

II. Ha f-nek nincs racionális gyöke, akkor f irreducibilis Q felett.

Mennyiben változik a helyzet, ha f fokszámára alkalmas pótlólagos kikötéseket teszünk?

A.4.20 Bontsuk fel az x4+1 polinomot irreducibilisek szorzatára az alábbi testek fölött:

a) C;

b) R;

c) Q;

d) F₂;

e) F₃.

A.4.21 Adjunk meg olyan c pozitív egészt, amelyre az 14+c,24+c,

34+c,…,n4+c,…számok valamennyien összetettek.

A.4.22 Az alábbi polinomok közül melyek irreducibilisek a racionális test felett:

a) x2+2500;

b) x⁴+2500;

c) x⁴+3000;

d) x⁴+100000.

*A.4.23 Bizonyítsuk be, hogy ha a1,…,ak különböző egész számok, akkor az (xa1)…(xak)–1 polinom irreducibilis a racionális test felett.

A.4.24 Hogyan kapjuk meg φm-ből φ2m-et (ahol φj a j-edik körosztási polinomot jelöli)?

*A.4.25 Bizonyítsuk be, hogy az m-edik körosztási polinom

alakba írható, ahol p,q,r,…az m különböző prímosztói.

A.4.26

a) Adjuk meg az f=x4k+x3k+x2k+xk+1 polinom gyökeit.

b) Milyen k értékekre lesz f valamelyik körosztási polinom?

*A.4.27 Az egységsugarú körbe írt szabályos n-szögben mennyi az egyik csúcsból kiinduló összes (azaz n-1 darab) oldal és átló hosszának a szorzata?

A.4.28 Tegyük fel, hogy az f=xnn-1xn-1+…+α0 valós együtthatós polinomban αn-12-2αn-2<0. Bizonyítsuk be, hogy f-nek van olyan komplex gyöke, amely nem valós.

A.4.29 Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy az ax3+bx2+cx+

+d=0(a≠0) komplex együtthatós harmadfokú egyenlet (komplex) gyökei számtani sorozatot alkossanak.

A.4.30 Egy egész együtthatós polinom főegyütthatója 1 és minden (komplex) gyök 1-nél kisebb abszolút értékű. Adjuk meg a polinom többi együtthatóját.