Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

A.2. Test

A.2. Test

A kommutatív test fogalma a racionális, valós vagy komplex számoknak az összeadással és szorzással kapcsolatos tulajdonságait általánosítja.

A.2.1 Definíció

EgyT legalább kételemű halmazt kommutatívtestnek nevezünk, ha

(i) értelmezve vanT-n két művelet ― az egyiket összeadásnak, a másikat szorzásnak hívjuk;

(ii) az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem, és minden elemnek létezik ellentettje;

(iii) a szorzás asszociatív és kommutatív, létezik egységelem, és a nullelemen kívül minden elemnek létezik (a szorzásra vonatkozó, azaz multiplikatív) inverze;

(iv) bármely a,b,cT-re a(b+c)=ab+ac teljesül.❶

Az elnevezésben a „kommutatív” jelző a szorzás kommutativitására utal. Ha a szorzás kommutativitását nem kötjük ki, akkor nemkommutatív testről vagy ferdetestről beszélünk (ekkor azonban (iv)-ben a(b+c)a=ba+ca azonosságot is előírjuk). Nemkommutatív testet alkotnak pl.akvaterniók, lásd az 5.6 pont P5 példáját. A jelen fejezetben (és a könyv legnagyobb részében is) testen mindig kommutatív testet értünk.

Az (i)-(iv) követelményeket szokás testaxiómáknak is nevezni.

Az előző pontnak megfelelően egy testben a nullelemet 0-val, (a szorzásra vonatkozó) egységelemet 1-gyel, egy a elem ellentettjét –a-val, és ha a≠0, akkor az a(multiplikatív) inverzét a-1-gyel (vagy 1/a-val) jelöljük.

A (iv) azonosságot disztributivitásnak nevezzük. Általános szabály, hogy egy olyan algebrai struktúrában, amelynél egy halmazon egyszerre több művelet is értelmezve van, a különböző műveleteket egymással műveleti azonosság(ok) köti(k) össze.

Az A.1.7 Tétel alapján egy T testben a b+x=a egyenlet minden a,bT-re egyértelműen megoldható, azaz elvégezhető a kivonás. Ugyanígy, a bx=a egyenlet minden b≠0 és aT-re egyértelműen megoldható, azaz elvégezhető az osztás(a nullelemmel történő osztás kivételével). Sőt, az A.1.7 Tételből az is következik, hogy a test definíciójában a nullára és az ellentettre, illetve az egységelemre és az inverzre vonatkozó előírásokat akár ki is cserélhetjük a kivonás, illetve az osztás elvégezhetőségével. Ennek alapján a test fogalmát röviden abban a formában is összefoglalhatjuk, hogy „elvégezhető a négy alapművelet és a szokásos műveleti azonosságok érvényesek.”

Megjegyezzük még, hogy nemkommutatív test esetén nem osztásról, hanem külön bal és külön jobb oldali osztásról kell beszélnünk, hiszen (a nemnulla elemek körében) ekkor a szorzásnak két különböző inverz művelete van. (Kivonás azonban ekkor is csak „egyféle” létezik, mivel az összeadás mindenképpen kommutatív.)

Példák testre

P1. Mint már említettük, a test fogalmához a „modellt” elsősorban a racionális, a valós, illetve a komplex számok szolgáltatták. Ezeket a testeket rendre Q, R, illetve C jelöli.

P2. Testet alkotnak egy p prím modulus szerinti maradékosztályok a reprezentánsok segítségével definiált összeadásra és szorzásra nézve. Itt először is azt kell igazolni, hogy a műveletek egyáltalán értelmesek, vagyis az osztályokra a reprezentánsok segítségével definiált műveletek nem függnek a reprezentánsok választásától (vö.az A.1.1d feladattal). A multiplikatív inverz kivételével a többi tulajdonság az egész számokra vonatkozó megfelelő tulajdonságokból következik. A multiplikatív inverzre vonatkozó előírás a reprezentánsokra átfogalmazva azt jelenti, hogy bármely a0 (mod p) esetén az ax≡1 (mod p) lineáris kongruencia megoldható. Ez valóban igaz, hiszen p prím volta miatt(a,p)=1.

A modulo p maradékosztályok testét Fp-vel jelöljük. Ennek p eleme van, tehát véges test. A véges testek általános leírását az A.8 pontban tárgyaljuk.

P3. Testet alkotnak az a+b2 alakú valós számok, ahol a, b végigfutnak a racionális számokon. A multiplikatív inverz létezését a szokásos „gyöktelenítési” eljárással igazolhatjuk, a többi testaxióma pedig szinte azonnal adódik. Ha 2 helyett 53-tel szeretnénk hasonló konstrukciót elkészíteni, akkor az a+b53+c253 alakú valós számokat kell tekinteni, ahol a,b,c befutják a racionális számokat. Ez valóban test, bár a multiplikatív inverz meghatározása itt már ugyancsak komoly fejtörő elé állíthat bennünket. Az ilyen típusú testekkel általánosan az A.7 pontban foglalkozunk majd.

P4. Testet alkotnak a szokásos összeadásra és szorzásra nézve az ún.algebrai törtek vagy racionális törtfüggvények, azaz a valós együtthatós polinomokból (formálisan) képzett hányadosok.

Feladatok

A.2.1 Döntsük el, hogy az alábbi halmazok a szokásos összeadásra és szorzásra nézve kommutatív testet alkotnak-e.

a) A valós számok következő részhalmazai: (a1) a páratlan nevezőjű törtek (az 1 is páratlan szám); (a2) a+b7 alakú számok, ahol a és b racionális; (a3) a nemnegatív racionális számok.

b) A modulo 2m maradékosztályok közül a „párosak” (azaz a 0,2,4,

6,…,2m–2 által reprezentáltak), ha (b1)2m=10; (b2)2m=20.

c) Azok az f:RR függvények, amelyekre (c1)f(0)=0;

(c2) a0fa=0.

d) Az alábbi alakú 2×2-es valós elemű mátrixok:

(d1) 00a0;

(d2) 000a;

(d3) a2a4a8a;

(d4) abab;

(d5) ab-ba.

A.2.2 Legyen m>1 rögzített pozitív egész, és tekintsük azt az m2 darab a+bi”komplex számot”, ahol az a és a b egy-egy modulo m maradékosztály. Definiáljuk az összeadást és a szorzást a komplex számoknál látott műveletek mintájára [tehát pl. m=5-re(2+3i)(1+4i)=

=(2-12)+(3+8)i=i]. Döntsük el, hogy testet kapunk-e, ha

(a)m=2; (b)m=3; (c)m=5.

A.2.3 Döntsük el, hogy az alábbi halmazok a megadott összeadásra és szorzásra nézve kommutatív testet alkotnak-e. (A bekarikázatlan jelek a „szokásos” műveleteket jelentik.)

a) A valós számok, ahol ab=a3+b33 és ab=ab(vagyis a szorzás a szokásos).

b) A valós számok, ahol ab=5a+b és ab=ab.

c) A valós számok, ahol ab=a+b és ab=5ab.

d) A valós számok, ahol ab=a+b-1 és ab=a+b-ab.

e) A pozitív valós számok, ahol ab=ab és ab=algb.

f) A komplex számok, ahol az összeadás a szokásos és a+bic+di=ac+bdi.

g) A komplex számok, ahol az összeadás a szokásos és a+bic+di=ad+bc+bd-aci.

A.2.4 Két testet egymással izomorfnak nevezünk, ha az elemeik kölcsönösen egyértelműen és művelettartó módon megfeleltethetők egymásnak, azaz ha létezik olyan ϕ:T1T2 bijekció, amelyre ϕ(a+b)=

=ϕ(a)+ϕ(b)ésϕ(ab)=ϕ(a)ϕ(b)bármely a,bT1 esetén teljesül. (Ez azt jelenti, hogy a két test „pontosan ugyanolyan”, csak az elemek és a műveletek másképp vannak jelölve.)

a) Mutassuk meg, hogy a Q, R ,C és Fp testek közül semelyik kettő sem izomorf.

*b) Keressük meg az A.2.1 és A.2.3 feladat példái közül azokat, amelyek aQ ,R, C és Fp testek valamelyikével izomorfak.

A.2.5 Egy T test résztestének egy olyan KT részhalmazt nevezünk, amely maga is test a T-beli összeadásra és szorzásra (pontosabban azok megszorítására) nézve. Pl. R részteste C-nek, illetve Q részteste R-nek.

a) Lássuk be, hogy R-nek és C-nek végtelen sok részteste van.

b) Mutassuk meg, hogy Q-nak, illetve az Fp testeknek nincsen valódi részteste (azaz ezekben a testekben az egyetlen résztest maga az eredeti test).

**c) Bizonyítsuk be, hogy ha egy T testnek nincsen valódi részteste, akkor T vagy Q-val, vagy pedig valamelyik Fp testtel izomorf.

d) Igazoljuk, hogy R-nek nincs olyan részteste, amely valamelyik Fp-vel izomorf.

*A.2.6 Definiálható-e az egész számok halmazán egy összeadás, illetve egy szorzás úgy, hogy az egész számok testet alkossanak

a) a összeadásra és a szokásos szorzásra;

b) a szokásos összeadásra és a szorzásra;

c) a összeadásra és a szorzásra?