Ugrás a tartalomhoz

Lineáris algebra

Freud Róbert (2014)

ELTE Eötvös Kiadó

A. függelék - A. ALGEBRAI ALAPFOGALMAK

A. függelék - A. ALGEBRAI ALAPFOGALMAK

Ebben a „függelékben” összefoglaljuk a könyvben felhasznált legfontosabb algebrai alapfogalmakat és az ezekre vonatkozó főbb tételeket. Célunk az volt, hogy megfelelő algebrai hátteret biztosítsunk atöbbi fejezet megértéséhez. Ezzel összhangban most bizonyos témakörök vázlatos bemutatása, és nem az algebra egyes fejezeteinek átfogó, szisztematikus felépítése következik.

A fejezet két, egymástól lényegesen különböző jellegű, egy „elemi” és egy „haladó” részre tagozódik.

Az „elemi” A.1-A.4 pontokban minden szempontból alapvető ismereteket rendszerezünk, viszonylag részletes magyarázatokkal. Ennek a résznek az alapos elsajátítását (illetve átismétlését) nagyon melegen ajánljuk.

A „haladó” A.5-A.8 pontokkal kapcsolatban rögtön megjegyezzük, hogy a többi fejezetben csak kevés helyen támaszkodunk az itt tárgyalt anyagra, a könyv legnagyobb része enélkül is megérthető. Az itt bemutatott algebrai fogalmak általában lényegesen nehezebbek a korábbiaknál, és a nehézséget csak fokozza az eddig megszokotthoz képest jóval tömörebb tárgyalásmód, valamint az, hogy az eredményeket többnyire bizonyítás nélkül közöljük.

Az A.5-A.7 pontok elsősorban a véges testeknek az A.8 pontban sorra kerülő tárgyalását készítik elő. A véges testek számos alkalmazásnál igen fontos szerepet játszanak. Ezek egy részéhez tulajdonképpen csak a modulo p maradékosztályokra (sőt gyakran csak a p=2 esetre) van szükség. A véges testek szerkezetének mélyebb vonásait elsősorban a 9.6 és 10.4 pontokban használtuk fel.

Természetesen a függelék nemcsak a könyv többi részének a tanulmányozását könnyít(het)i meg, hanem sok más szempontból is fontos és hasznos (és — reméljük — önmagában is érdekes) anyagot tárgyal.

A.1. Művelet

A.1.1 Definíció

Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy

H×H→H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a, bH elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy H-beli elemet.❶

A műveletet a legtöbbször szorzásnak nevezzük és az a, bH elempárhoz hozzárendelt elemet ab-vel jelöljük. Összeadás esetén a jelölés a+b, további lehetséges jelölések a*b, ab, f (a,b) stb.

Példák műveletre

P1. A természetes, az egész, a racionális, a valós vagy a komplex számok körében az összeadás, illetve a szorzás.

P2. Az egész, a racionális, a valós vagy a komplex számok körében a kivonás. A természetes számok körében a kivonás nem művelet, hiszen pl. a 3-5 különbség „nem létezik” (ugyanis nincs olyan mtermészetes szám, amelyre m+5=3 teljesülne).

P3. A nemnulla racionális, valós vagy komplex számok körében az osztás.

P4. A modulo m maradékosztályok körében az összeadás, a kivonás és a szorzás.

P5. Az azonos alakú mátrixok körében az összeadás, a(z adott méretű) négyzetes mátrixok körében a szorzás.

P6. Az RR vagy általánosan az XX függvények körében a kompozíció (vagy függvényösszetétel, azaz a függvények egymás után alkalmazása).

P7. A sík egybevágósági (azaz távolságtartó) transzformációi körében a kompozíció.

P8. A térvektorok körében a vektoriális szorzat. Nem művelet azonban (az A.1.1 Definíció szerinti értelemben) a vektorok skalárszorzata (hiszen az eredmény nem vektor, hanem skalár), illetve a vektornak skalárral való szorzása (hiszen ekkor nem ugyanabból a halmazból vesszük a két elemet). Megfelelő általánosabb értelmezéssel azonban ezeket a (fontos) leképezéseket is besorolhatjuk a műveletek közé.

Megjegyzés: Szokás azt mondani, hogy a H halmaz a rajta értelmezett műveletre nézve „zárt”. Ez nem túl szerencsés szóhasználat, hiszen a művelet definíciójában már benne van, hogy bármely két elemre „a művelet eredménye”, azaz a hozzájuk rendelt elem szintén a H halmazhoz tartozik. A „zártság” elnevezésnek akkor van létjogosultsága, ha egy H halmazon már adott egy művelet és azt vizsgáljuk, hogy H valamely K részhalmaza zárt-e erre a műveletre nézve, azaz két K-beli elemre a H-beli adott műveletet elvégezve az eredmény ismét K-beli elem lesz-e. Ebben az értelemben K zártsága pontosan azt jelenti, hogy a H-beli művelet (pontosabban annak a K-ra történő megszorítása) a K (rész)halmazon is egy műveletet definiál.

Az ún. műveleti azonosságok közül a legfontosabb az asszociativitás és a kommutativitás.

A.1.2 Definíció

Egy H-n értelmezett művelet asszociatív, ha bármely a, b,cH-ra

a(bc)=(ab)c teljesül.❶

A.1.3 Definíció

Egy H-n értelmezett művelet kommutatív, ha bármely a, bH-ra ab=ba teljesül.❶

Az asszociativitás biztosítja azt, hogy a többtényezős szorzatok (zárójelek használata nélkül is) egyértelműek. Ha a művelet emellett még kommutatív is, akkor a tényezők egymás közötti sorrendje is tetszőlegesen változtatható.

Példák: A számok (polinomok, maradékosztályok stb.) összeadása és szorzása kommutatív és asszociatív. A mátrixok szorzása vagy a függvények kompozíciója asszociatív, de (általában) nem kommutatív. A (pl. valós) számok körében a számtani közép képzése kommutatív, de nem asszociatív. A számok kivonása vagy a vektorok vektoriális szorzata se nem kommutatív, se nem asszociatív.

Megjegyzések: 1. Az asszociativitásnál nem azt kell ellenőrizni, hogy a(bc), illetve (ab)c a H halmaz eleme, hiszen ez a művelet definíciójából következik. Most azt kell megvizsgálni, hogy ez a két elem minden esetben megegyezik-e.

2. Nincs értelme annak, hogy egy művelet „részben kommutatív/asszociatív”. Ha van olyan a,b elempár, amelyre abba, akkor a művelet nem kommutatív, ellenkező esetben pedig kommutatív. Természetesen, ha egy művelet nem kommutatív, attól még lehet (akár sok) olyan a,b elempár, amelyek felcserélhetők, azaz amelyekre ab=ba.

3. A számok összeadásánál és szorzásánál szerzett tapasztalatok alapján sokan úgy gondolhatják, hogy egy „normális” műveletnél az asszociativitás és a kommutativitás egyformán fontosak vagy pedig kettejük közül a kommutativitás az előbbre való. A valóságban azonban éppen fordított a helyzet, és inkább az asszociativitást kell hasznosabbnak tekintenünk. Ugyanis egyrészt sok olyan fontos művelet van, amely asszociatív, de nem kommutatív — gondoljunk pl. a matematika szinte valamennyi területén nélkülözhetetlen kompozícióra, másrészt számos alapvető műveleti tulajdonság éppen az asszociativitáson múlik — ilyen pl. egy elem inverzének az egyértelműsége (lásd az A.1.5 Definíció után) vagy az elemek inverze és az inverz művelet közötti kapcsolat (A.1.7 Tétel).

A.1.4 Definíció

Bal oldali egységelemnek egy olyan eBH elemet nevezünk, amelyre mindenaH-val eBa=a teljesül.

Az eJjobb oldali egységelemet értelemszerűen az aeJ=a azonossággal definiáljuk.

Végül az eH elem egységelem (vagy kétoldali egységelem ), ha mind bal, mind pedig jobb oldali egységelem, azaz minden aH-ra ea=ae=a.❶

Az „egységelem” szó önmagában tehát mindig kétoldali egységelemet jelent.

Az összeadás esetén az egységelemet nullelemnek vagy nullának nevezzük és 0-val jelöljük. Szorzásnál az egységelemet gyakran (az e helyett) egyszerűen 1-gyel jelöljük.

FIGYELEM! A bal oldali egységelem definíciója NEM azt jelenti, hogy minden a elemhez található egy ( a-tól függő) eB elem, amelyre eBa=a, hanem azt, hogy van egy olyan „univerzális” eB elem, amely minden a-hoz egyszerre „jó”. (Ennek nem mond ellent az sem, hogy esetleg több ilyen „univerzális” elem is létezhet, lásd alább.)

Egy műveletnél több bal oldali egységelem is lehet: pl. ha bármely két elem „szorzata” a második, akkor minden elem bal oldali egységelem. Ha azonban van eJ jobb oldali egységelem is, akkor eJ=eBeJ=eB miatt

e B=eJ, tehát ekkor csak egyetlen bal oldali egységelem lehet (amely így kétoldali egységelem). Ebből az is következik, hogy az egységelem egyértelmű, azaz (egy adott műveletnél) legfeljebb egy (kétoldali) egységelem létezik.

A.1.5 Definíció

Tekintsünk egy egységelemes műveletet, jelöljük a (kétoldali) egységelemet e-vel. (Az előző bekezdésből tudjuk, hogy ez az e egyértelmű.)

Az aH elem bal oldali inverzén (vagy röviden balinverzén) egy olyan aBH elemet értünk, amelyre aBa=e.

Az aH elem jobb oldali inverzének (vagy röviden jobbinverzének) értelemszerűen egy olyan aJH elemet nevezünk, amelyre aaJ=e.

Végül az aH elem inverze (vagy kétoldali inverze) egy olyan a-1H elem, amely az a-nak mind bal, mind pedig jobb oldali inverze, azaz a-1a=

=aa-1=e.❶

Az egységelemnél elmondottakhoz hasonlóan itt is érvényes, hogy ha az „inverze” szó elé a valamelyik oldalra utaló jelzőt nem tesszük ki, akkor ez automatikusan az elem kétoldali inverzét jelenti.

Ha a művelet az összeadás, akkor az a elem inverzét az aellentettjének vagy negatívjának hívjuk és -a-val jelöljük. Ha a művelet számok szorzása, akkor az a elem inverzét szokás az areciprokának is nevezni és (a-1 helyett) 1/a-val jelölni.

Ne felejtsük el, hogy egy elem (bal, jobb vagy kétoldali) inverzéről eleve csak akkor beszélhetünk, ha a művelet egységelemes.

A „balinverz”, „jobb oldali inverz”, „inverzelem” stb. szavakat önmagukban lehetőleg ne használjuk, mindig pontosan meg kell mondani, hogy melyik elem bal, jobb vagy kétoldali inverzéről van szó. Ugyanígy értelmetlen azt mondani, hogy egy műveletnél „nincs inverz”, hiszen általában egyes elemeknek van, másoknak pedig nincs inverze. A szélső eseteket nézve, az megvalósulhat, hogy minden elemnek van inverze (pl.ha a pozitív valós számok körében vesszük a szorzást), az ellenkező véglet azonban (egységelemes műveletnél) lehetetlen, hiszen (legalábbis) az egységelemnek mindig van inverze.

Az egységelemnél látottakhoz hasonlóan előfordulhat, hogy egy elemnek több balinverze létezik (lásd az A.1.6 feladatot). Ha azonban a művelet asszociatív és a-nak létezik aJ jobbinverze is, akkor

miatt az a bal- és jobbinverze szükségképpen megegyezik. Ebben az esetben tehát az a-nak csak egyetlen balinverze lehet (amely így az a kétoldali inverze). Ebből az is következik, hogy asszociatív művelet esetén egy elem inverze egyértelmű, azaz bármely elemnek legfeljebb egy (kétoldali) inverze létezik.

Most az inverz művelet fogalmát tárgyaljuk. A (pl.valós) számok kivonásánál ab azt a c számot jelentette, amelyre c+b=a. A kivonás azért művelet (a valós számok halmazán), mert bármely a,b esetén pontosan egy ilyen c szám létezik. Ugyanakkor pl.a természetes számok halmazán a kivonás nem művelet, hiszen nem minden a,b esetén található megfelelő c. Az tehát, hogy a kivonás elvégezhető-e vagy sem, az a szóban forgó összeadástól függ, annak egy tulajdonsága. Mindezeket az alábbi definícióban általánosítjuk:

A.1.6 Definíció

Legyen adott a H halmazon egy (szorzásként jelölt) művelet. Tegyük fel, hogy az xb=a egyenlet minden a,bH-ra egyértelműen megoldható, azaz pontosan egy olyan cH létezik, amelyre cb=a. Ekkor a B(a,b)=c hozzárendelést a művelet bal oldali inverz műveletének nevezzük.

Hasonlóan, ha minden a,bH-ra pontosan egy olyan dH létezik, amelyre bd=a, akkor a J(a,b)=d hozzárendelés a művelet jobb oldali inverz művelete.❶

Az összeadás (bármelyik oldali) inverz művelete tehát a kivonás, a nemnulla (pl.valós) számok szorzásának az inverz művelete pedig az osztás. Ha a(z eredeti) művelet kommutatív, akkor nyilván mindig B=J.

Tudjuk, hogy a számok körében a kivonás visszavezethető az összeadásra és az ellentettre: a-b=a+(-b). Egy elem inverzének és az inverz műveletnek a fogalma bármely asszociatív műveletnél hasonlóképpen szorosan kapcsolódik egymáshoz:

A.1.7 Tétel

Legyen értelmezve H-n egy asszociatív művelet.

I. Ha a művelet egységelemes és a b elemnek létezik a b-1(kétoldali) inverze, akkor az xb=a és by=a egyenletek bármely aH esetén egyértelműen megoldhatók.

II. Ha az xb=a és by=a egyenletek bármely a,bH esetén megoldhatók, akkor létezik egységelem és minden elemnek létezik inverze.❶

Bizonyítás: I. Ha b-nek létezik inverze, akkor egy egyenlőséget b-1-gyel akármelyik oldalról megszorozva az eredetivel ekvivalens egyenlőséget kapunk.

Ugyanis egyrészt nyilván h1=h2h1b-1=h2b-1 , másrészt ha h1b-1=

=h2b-1, akkor ezt b-vel jobbról megszorozva (h1b-1)b=(h2b-1)b adódik, amiből (hb-1)b=h(b-1b)=he=h felhasználásával a kívánt h1=h2 egyenlőséget nyerjük.

Ennek alapján az xb=a egyenlet ekvivalens x=ab-1-gyel, tehát az egyenlet egyértelműen megoldható. Ugyanígy, a by=a egyenlet egyetlen megoldása y=b-1a.

II. Jelöljük (valamelyik bH-ra) a bx=b egyenlet (egyik) megoldását g-vel. Megmutatjuk, hogy ez a (b-től látszólag függő)g jobb oldali egységelem. Vegyünk egy tetszőleges aH elemet. Ekkor a feltétel szerint van olyan c, amelyre cb=a és így ag=(cb)g=c(bg)=cb=a, tehát g valóban jobb oldali egységelem. Ugyanígy kapjuk, hogy létezik egy h bal oldali egységelem is. Korábban már láttuk, hogy ekkor g=h, vagyis létezik (kétoldali) egységelem.

Ezután egy tetszőleges b elem bal-, illetve jobbinverzét az xb=e, illetve by=e egyenletek megoldása adja (ahol e az egységelem), és láttuk, hogy egy elem bal- és jobbinverze szükségképpen egyenlő, tehát minden elemnek létezik (kétoldali) inverze.❷

Feladatok

A.1.1 Válasszuk ki az alábbi hozzárendelések közül a műveleteket, és vizsgáljuk meg, hogy melyek kommutatívak, illetve asszociatívak. Határozzuk meg a bal, illetve jobb oldali egységelem(ek)et, és (kétoldali) egységelem létezése esetén adjuk meg, mely elemeknek létezik inverze.

a) A páros számok körében (a1) az összeadás; (a2) a szorzás; (a3) a kivonás.

b) A páratlan számok körében (b1) az összeadás; (b2) a szorzás.

c) A pozitív egészek körében (c1) max(a,b); (c2) min(a,b);

(c3) lkkt(a,b).

d) A modulo m maradékosztályok körében a pozitív egész reprezentánsok segítségével definiált (d1) összeadás; (d2) szorzás; (d3) hatványozás; (d4) maximumképzés. (Ezt úgy kell érteni, hogy pl.a modulo 10 maradékosztályok körében a 8-at tartalmazó és a 13-at tartalmazó maradékosztályok maximuma a max(8,13)=13-at tartalmazó maradékosztály.)

e) A kompozíció (e1) a sík összes eltolásai körében; (e2) a sík összes (tetszőleges szögű és tetszőleges pont körüli) elforgatásai körében; (e3) a sík összes eltolásai és elforgatásai körében.

f) Egy halmaz összes részhalmazai körében (f1) az egyesítés; (f2) a szimmetrikus differencia (azaz az egyesítésből elhagyjuk a metszetet).

g) A valós számok körében legyen ab=2a+2b.

h) Az egész számokon legyen bármely a-ra 5*a=a*5=a és a*b=5, ha a és b egyike sem az 5.

i) A mátrixszorzás azoknak a2×2-es valós elemű mátrixoknak a körében, amelyeknek (i1) a második sora nulla; (i2) mind a négy eleme egyenlő; (i3) a négy elem összege nulla.

A.1.2 Legyen X egy tetszőleges (véges vagy végtelen) halmaz. Tekintsük az XX függvények halmazát a szokásos függvényösszetételre (kompozícióra, egymás után alkalmazásra). Mi lesz itt az egységelem? Mely függvényeknek lesz bal-, illetve jobbinverzük és hány darab?

A.1.3 Egy n elemű halmazon hány művelet értelmezhető? Ezek közül hány lesz kommutatív? Hánynak lesz egységeleme?

A.1.4 Tekintsünk egy asszociatív, egységelemes műveletet. Bizonyítsuk be, hogy ha a-nak és b-nek is van (kétoldali) inverze, akkor ab-nek is létezik (kétoldali) inverze. Igaz-e az állítás megfordítása?

A.1.5 Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha van olyan a,bH, amelyre ab=ba=b, akkor a egységelem.

b) Ha a művelet egységelemes, és valamely a,bH elempárra ab=

=ba=b, akkor a az egységelem.

c) Ha a művelet egységelemes, valamely a,bH elempárra ab=ba=b,

és b-nek van inverze, akkor a az egységelem.

d) Ha a művelet asszociatív, egységelemes, valamely a,bH elempárra ab=ba=b, és b-nek van inverze, akkor a az egységelem.

A.1.6

a) Mutassunk példát olyan asszociatív, egységelemes műveletre, amelynél valamelyik elemnek végtelen sok balinverze van.

b) Lássuk be, hogy ha egy asszociatív, egységelemes műveletnél minden elemnek létezik balinverze, akkor minden elemnek pontosan egy balinverze van, amely az adott elemnek ráadásul kétoldali inverze.

c) Bizonyítsuk be, hogy az egységelemnek (nemasszociatív művelet esetén is) pontosan egy balinverze és pontosan egy jobbinverze létezik.

d) Mutassunk példát olyan (nemasszociatív) egységelemes műveletre, amelynél az egységelemen kívül minden elemnek végtelen sok bal- és jobbinverze létezik.

A.1.7 Hogyan módosul az A.1.7 Tétel I. része, ha b-re (a kétoldali inverz helyett) csak a bal oldali inverz létezését követeljük meg (és továbbra is feltesszük, hogy a művelet asszociatív és egységelemes)?

A.1.8 Bizonyítsuk be, hogy ha a művelet asszociatív és az xb=a és by=a egyenletek bármely a,bH esetén megoldhatók, akkor ezeknek az egyenleteknek minden a, b-re pontosan egy megoldása van.

A.1.9 Mutassunk példát arra, hogy az A.1.7 Tétel egyik állítása sem marad igaz, ha a művelet asszociativitását nem követeljük meg.