Ugrás a tartalomhoz

Orvosi biofizika

Sándor, Damjanovich, Judit, Fidy, János, Szöllősi (2007)

Medicina Könyvkiadó Zrt.

III/2. A diffúzió

III/2. A diffúzió

Ez a fejezet a mikroszkopikus anyagtranszport jelenségeivel foglalkozik, és két fô részre tagozódik. Elôször a rendezetlen hômozgás és az azon alapuló diffúzió jellegzetességeit ismertetjük, majd a diffúzió azon speciális eseteit tekintjük át, amelyek a sejtek mûködésében, alapvetô anyagcsere-folyamataiban is igen fontos szerepet játszanak. Az ozmózis biológiai, orvosi jelentôségét példákon keresztül külön kiemeljük.

III/2.1. A molekulák mozgása és a diffúzió

Bár a biológiai objektumokban található kis és nagy molekulák egy része, legalábbis idôlegesen, struktúrákhoz kötött, többségük mégis állandó mozgásban van. Az emberi szervezet tömegének mintegy 55-60%-át víz alkotja, tehát ezek a mozgások legtöbbször vizes közegben (folyadék fázisban), esetenként a víznél nagyobb rendezettségû membránokban (lipid fázisban) zajlanak. Ez a fajta mozgás is – a gázrészecskék rendezetlen mozgásához hasonlóan – a hômérséklettôl függ (azaz hômozgás), és rendezetlen, véletlen jellege a környezô molekulákkal való állandó rendszertelen ütközések következménye. Ezt a molekuláris mozgást közvetlenül nem figyelhetjük meg, de közvetve igen. Pollenszuszpenzió mikroszkópos vizsgálata során Robert Brown (1773–1858) skót botanikus figyelte meg elôször (1827-ben) a vízbe kevert virágporszemcsék szabálytalan, zegzugos mozgását. Ez a Brown-mozgás (III.12. ábra) a mikroszkópban láthatatlan molekulák szüntelen lökdösôdô mozgásának látható következménye. Ennek a gondolatnak az elterjedésére a fizika XIX. századi történetében sokáig kellett várni (lásd III.1. idézet).

III.12. ábra. A Brown-mozgás szemléltetése és magyarázata. a) A virágporszemcse (pollen) zegzugos mozgása, b) ami a molekulák szüntelen lökdösôdô mozgásának (azaz a hômozgásnak) következménye.

III.1. idézet. „A Brown által felfedezett meglepô jelenség nem keltett nagy érdeklôdést. Sôt a fizikusok többsége sokáig elhanyagolta, és feltételezhetô, hogy azok, akik hallottak róla, azt gondolták, hogy analóg azoknak a porrészecskéknek a mozgásával, amelyeket a napsugárban táncolni látunk a kis nyomás- és hômérséklet-különbségek miatt fellépô enyhe légáramok hatására. Amikor emlékeztetünk arra, hogy ez a látszólagos magyarázat még mélyen gondolkozó elméket is kielégített, csodálattal kell adóznunk azon fizikusok éleslátása elôtt, akik ebben a kis, mellékesnek tûnô jelenségben az anyag egyik alapvetô tulajdonságát ismerték fel.”

(Jean Baptiste Perrin (1870–1942) Nobel-díjas fizikus)

III/2.1.1. A molekuláris mozgás jellemzôi

A molekulák mozgásának leírása folyadék fázisban lényegesen bonyolultabb, mint gáz fázisban, mivel a folyadékokban a molekulák közötti kölcsönhatások jelentôsebbek és lényegesen bonyolultabbak is, mint gázokban. Ezért a továbbiakban a diffúzió törvényeinek szemléletes bemutatását gázokra adjuk meg, de eredményeink az adott keretek között folyadékokra is érvényesek lesznek.

Használjuk az ideális gáz modelljét (lásd I/3.2.1.), mely szerint az azonos m tömegû részecskék rendszertelen mozgásuk során rugalmasan ütköznek egymással (illetve esetenként az „edény” falával). Emlékeztetünk arra, hogy termikus egyensúlyban egyetlen részecske átlagos kinetikus energiája (ε–kin) és az abszolút hômérséklet (T) között szoros kapcsolat áll fenn ((I.34) összefüggés):

ε kin = 1 2   m ν 2 = 3 2   kT , (III.23)

ahol v a részecske sebessége, k a Boltzmann-állandó és az átlagolást felülvonással jeleztük. A (III.23) összefüggésbôl meghatározhatjuk a részecskék átlagos sebességét:

ν átl = 3kT m . (III.24)

Két ütközés között eltelt átlagos idôt jelöljük τ-val, a két ütközés között megtett átlagos utat, az ún. átlagos szabad úthosszat pedig l-lel. A két mennyiség közötti összefüggés:

l = ν τ , (III.25)

ahol az egyszerûség kedvéért a (III.24) összefüggésbôl adódó átlagos sebességet (vátl-ot) v-vel jelöltük. (Ezt a jelölést használjuk a továbbiakban is.)

Kapcsoljunk most be egy olyan külsô erôteret, aminek hatására egyes részecskék véletlenszerû hômozgásához még egy kitüntetett irányú mozgás is hozzáadódik. Legyen például a gázrészecskék egy része ionizált és a külsô erôtér elektromos. Figyeljük meg az ionok mozgását. Egy kiszemelt ionra az elektromos tér F erôvel hat, így az a térnek megfelelô irányban gyorsulni kezd, sebességének ez a komponense megnô. Rövid idô múlva azonban az ion egy másik részecskével ütközik és új irányban, új nagyságú sebességgel kezd mozogni. A következô ütközésig megint gyorsulni fog F irányában. Az ion tehát továbbra is „cikcakk”-mozgást végez, de ehhez F irányában egy vándorlómozgás (drift) is hozzáadódik. Ennek a sodródó mozgásnak a sebessége, az ún. driftsebesség (vdrift), amit elemi úton kiszámolhatunk. Az ionok gyorsulása ugyanis (Newton II. törvénye alapján) F irányában F/m. Átlagosan τ ideig tart a gyorsulás, ezért az ilyen irányban szerzett átlagos sebesség:

ν drift = F m τ (III.26)

A kitüntetett részecske (ion) mozgása más módon is jellemezhetô. Felhasználhatjuk ugyanis a III/1.5. szakaszban bevezetett mozgékonyság (u) definícióját (ami a mozgatóerô hatására elért sebesség és az erô hányadosa), jelen esetben:

u = ν drift F = τ m (III.27)

Mivel a (III.27) összefüggésben szereplô paraméterek (τ és m) már nemcsak a kitüntetett részecskék (ionok) jellemzôi, ezért az így megadott mozgékonyság általánosan minden részecske jellemzésére alkalmas.

III/2.1.2. A diffúzió jelensége, Fick I. törvénye

Bizonyára mindenkinek számos tapasztalata van arra vonatkozóan, hogy bizonyos anyagok a rendelkezésükre álló gáz- vagy folyadéktérben elôbb-utóbb szétoszlanak. Jól érzékelhetô ez például akkor, amikor kávénkat cukorral édesítjük. Itt a kávéba tett cukor az oldódást követôen eloszlik a teljes térfogatban, amit például keveréssel felgyorsíthatunk. Az egyensúlyi (egyenletes) eloszlás kialakulásának folyamata is megfigyelhetô, ha például a környezetével egyensúlyban lévô pohár vízbe egy kevés tintát csöppentünk. A folt lassan szétterjed és megfesti az egész folyadékot. Más érzékszerveink is jelezhetik ezt a fajta jelenséget: például a vázába tett rózsa illata is elôbb-utóbb érezhetô az egész helyiségben. Az említett esetekben mindig vannak, vagy lehetnek olyan makroszkopikus áramlások, amelyek a molekulák szétterjedését segítik, gyorsítják. Az éppen kifôtt forró kávéban ezek az áramlások valószínûleg erôsebbek, mint a nyugodt, egyensúlyban lévô pohár vízben. A rózsaillat is másként terjed attól függôen, hogy nyitva van-e az ablak, vagy hogy van-e fûtés stb. Azonban ha ilyen áramlások nincsenek, a részecskék szétterjedése a véletlenszerû hômozgás révén akkor is végbemegy, csak lassabban. Ezt a szétterjedési folyamatot nevezzük diffúziónak, ami termikus egyensúly esetén mindaddig tart (addig észlelhetô), amíg a részecskék eloszlása többé-kevésbé egyenletes nem lesz az egész térfogatban. A diffúzió rendkívüli jelentôséggel bír az élô szervezetekben, például az anyagcsere-folyamatok egyes lépéseiben, a sejtek közötti és a sejtekben megvalósuló molekulamozgásokban.

A diffúzió jelensége és a Brown-mozgás között nincs lényegi különbség. A legtöbbször ugyanis a diffúzió kétkomponensûnek tekinthetô rendszerekben zajlik: például az A-val jelölt komponens az, ami diffundál, a B-vel jelölt pedig az, amiben „A” diffundál. Így az elôbbi példáink szerint, illetve Brown eredeti megfigyelését alapul véve „A” jelentheti a cukrot, a tintát, a virágillatanyagot, valamint a virágport, „B” pedig a kávét, vizet, levegôt stb. (A „kétkomponensûnek tekinthetô” kitétel arra vonatkozik, hogy „A” illetve „B” önmaga is lehet összetett anyag, elég csak a levegôre gondolnunk.) A diffúzió valójában mindkét komponensre nézve zajlik, de általában csak az egyik komponens jellemzôit tanulmányozzuk. A diffúzió akkor is lejátszódik, ha „A” és „B” ugyanaz az anyag, de valamilyen módon meg tudjuk különböztetni ôket. Ilyen értelemben beszélhetünk az ún. öndiffúzióról.

A diffúzió „erôsségét” legszemléletesebben a részecske-áramerôsséggel (IN) jellemezhetjük. Ha az adott („A”) anyagból Δt idô alatt ΔN darab részecske vándorol át egy kijelölt A felületen keresztül, akkor ott

I N = Δ N Δ t (III.28)

a részecske-áramerôsség, ami az egész A felületre jellemzô mennyiség, mértékegysége 1/s (lásd még III.2. megjegyzés). Mérési szempontból kedvezôbb az anyagáram-erôsség használata, amikor darabszám helyett mólokban fejezzük ki az anyagmennyiséget. Mivel Δν = ΔN/NA, ahol NA az Avogadro-szám, ezért az anyagáram erôssége (Iν) ugyanazon az A felületen keresztül:

I ν = Δ ν Δ t (III.29)

aminek mértékegysége mol/s. A továbbiakra való tekintettel célszerû bevezetni az A felület nagyságától független anyagáram-sûrûséget (Jν) is:

J ν = Δ I ν Δ A (III.30)

ami azt adja meg, hogy egységnyi idô alatt egységnyi felületen hány mólnyi („A”) anyag jut keresztül, mértékegysége mol/(m2·s).

A diffúzióval kapcsolatosan az egyik alapvetô kérdés az, hogy mitôl függ a diffúzió „erôssége”, azaz például az imént definiált anyagáram-sûrûség? Ezt a kérdést tanulmányozta Fick német fiziológus a III.13. ábrán bemutatott kísérlet segítségével.

Fick a kísérletben tapasztalt diffúziót az akkor már ismert Brown-mozgás alapján úgy értelmezte, hogy minden egyes vízben oldott festékmolekula mozgását a rendezetlen hômozgás jellemzi, és az egyes molekulák egyforma valószínûséggel mozdulhatnak el a tér minden irányába. Ha ebbôl indulunk ki és x-szel jelöljük a vizestartály hossztengelyébe esô irányt, akkor az x tengely mentén egy (INfel-lel jellemzett) felfelé mutató és egy (INle-vel jellemzett) lefelé mutató részecskeáram is kialakul. Tekintettel arra, hogy a festékmolekulák számossága a folyamat elején lényegesen nagyobb az edény alján, mint a tetején, emiatt INfel > INle, így eredôképpen egy INfelINle, felfelé mutató részecskeáramot, illetve nettó anyagáramot tapasztalunk.

III.13. ábra. Fick kísérlete. Fick kék színû festékmolekulákat tartalmazó tömény oldatot helyezett el egy tartályba, amelyet csappal választott el egy másik tiszta vizet tartalmazó tartálytól. A csap megnyitásával a közvetlen keveredést elkerülve meghatározott mennyiségû festéket juttatott a vizet tartalmazó tartály aljába. Kezdetben a két oldat érintkezésénél éles határvonalat figyelt meg, majd a rendszert magára hagyva néhány nap múlva azt tapasztalta, hogy az éles határvonal elmosódik, a felsô rész is megfestôdik. Végül, néhány hét elteltével, a tartály tartalma egyenletesen kék színû lett.

Adolf Eugen Fick (1829–1901) német fiziológus az anatómia és fiziológia tanára volt több svájci, illetve német egyetemen. Orvos volt, de jól értett a matematikához is, az 1856-ban Braunschweigben megjelent „Medizinische Physik” címû könyvének elôszavában megfogalmazott véleménye ez ügyben érdekes lehet ma is. Fick érthetetlen kultúrtörténeti kuriózumnak mondja, hogy az orvosi pályára készülôk elôképzettségénél a fô súlyt a latin és a görög nyelvben való jártasságra fektetik, s nem a matematikára. Fick érdeklôdése széles körû volt, megemlítjük még, hogy az elsô viselhetô kontaktlencse az ô tervei nyomán készült 1887-ben. Kísérleteihez nyulakat használt, késôbb az emberi szemen is kísérletezett, de az akkori technika fejletlensége miatt nem sikerült jelentôs mértékben elôrehaladnia.

III.2. megjegyzés. A (III.28) definíció felhasználásával egyszerûen megadható a tömeg-áramerôsség (Im), illetve töltött részecskék esetén az elektromos áramerôsség (Iq) is: Im = mIN, Iq = qIN, ahol m egyetlen részecske tömege, q pedig a töltése.

A fentiek alapján (lásd Fick I. törvényének származtatása a Fick kísérlet egyszerûsített modellje alapján) tehát megkaptuk, hogy mekkora az x irányú diffúziót jellemzô anyagáram-sûrûség:

J ν = D   Δ c Δ x (III.31)

Ez Fick I. törvénye. A Δcx jelentése az egységnyi távolságra esô koncentrációváltozás vagy koncentrációesés. (Emlékeztetünk arra, hogy ennek meghatározásakor kihasználtuk azt a feltételezést, hogy a koncentráció a vizsgált hely környezetében lineárisan változik, ami általában csak rövid szakaszokra vonatkozóan érvényes.). A törvény legfontosabb mondanivalója az, hogy a diffúzió „erôsségét” jellemzô anyagáram-sûrûség a koncentrációeséssel arányos. A D arányossági tényezô az ún. diffúziós együttható. Ennek szemléletes jelentése kiolvasható a (III.31) összefüggésbôl: D megadja az egységnyi idô alatt egységnyi felületen átdiffundált anyag mennyiségét, ha a koncentrációesés is egységnyi volt. Mértékegysége a

D = 1 3 ν l (III.32)

definíciós összefüggésnek megfelelôen: m2/s.

Bár a kiindulásul szolgáló Fick-kísérlet egyszerûsített modelljében a diffundáló anyag gáz volt, a törvény folyadékokra is érvényes.

A Fick-kísérletbôl az is kiderül, hogy a diffúzió során a koncentráció nemcsak helyrôl helyre különbözik, hanem idôben is változik (lásd a 2. ábrát a keretben). Fick I. törvénye azonban nem ad felvilágosítást a folyamat idôbeli lefolyásáról. Ez a tény a törvény érvényességét nem, csak gyakorlati alkalmazhatóságát korlátozza.

Fick I. törvényét olyan esetekben alkalmazhatjuk hatékonyan a diffúzió jelenségének leírására és a diffúziós együttható meghatározására, amikor a Δcx koncentrációesés idôben nem változik lényegesen, azaz a diffúzió kvázistacionárius. Ilyen helyzet élô rendszerekben hosszú távon viszonylag ritkábban fordul elô, ehhez például arra lenne szükség, hogy a nagyobb koncentrációjú oldalon „elfogyó” anyagot valami folyamatosan pótolja, és a kisebb koncentrációjú oldalon lévô anyagot valami „elfogyassza”. Ez néha azért megvalósulhat, például sejteken belüli diffúziónál, ahol a nagyobb koncentrációjú térbôl elfogyó anyagot enzimreakciók képesek pótolni. Ha az idôtartamot viszonylag rövidre választjuk (például néhány percre), akkor ez a feltétel közelítôleg teljesülhet más esetekben is, mint például a tápanyagfelvételt és emésztést követôen a vékonybél hámsejtjeinek membránjánál mutatkozó glükóz- vagy aminosav-koncentrációesések esetén (lásd facilitált diffúzió III/4.1.2. rész).

Fick I. törvényének származtatása a Fick-kísérlet egyszerûsített modellje alapján

A kvantitatív leírás kedvéért egy tovább egyszerûsített modellt használunk. Vegyünk egy egyenes hasáb alakú tartályt, benne m tömegû részecskékbôl álló termikus egyensúlyban lévô gázzal (1a. ábra). A tartályt a hossztengelye (x) mentén, középen (x0-nál) osszuk ketté egy válaszfallal, majd a bal oldali részben lévô részecskéket jelöljük meg (például kék színnel, 1b. ábra). A Fick- kísérlet analógiájára építve a start pillanatában távolítsuk el a válaszfalat és próbáljuk meghatározni, hogy hogyan változhat a kék színû részecskék sûrûsége n (azaz az egységnyi térfogatban található kék részecskék száma) az x tengely mentén az idô (t) függvényében. A várható kiegyenlítôdési folyamat két további pillanatképét tüntettük fel az 1c és az 1d. ábrán. A 2. ábra a modellkísérlet eredményét mutatja be, nevezetesen azt, hogy az n(x) függvény hogyan változik az idôben a kezdeti (t = 0) kettéosztott állapottól az „új” egyensúly beálltáig (t = ∞).

1. ábra. A Fick-kísérlet egyszerûsített modellje

2. ábra. Az 1. ábrán látható modellkísérlet eredményének grafikus ábrázolása. A kék színû részecskék sûrûsége (n(x)) változása az x tengely mentén az idô függvényében (t1<t2).

Ezek után visszatérhetünk eredeti problémánkhoz, nevezetesen ahhoz, hogy mitôl függ a diffúzió „erôssége”, azaz mekkora lesz a kék színû részecskék anyagáram-sûrûsége (Jν). Kézenfekvô feltételezés, hogy a kiegyenlítôdési folyamat elején nagyobb, azután egyre kisebb lesz, így válaszunk mindig csak egy adott idôpontra vonatkozhat. Képzeljünk el egy A felületet az x tengelyre merôlegesen az x0 helyen, és vegyünk egy olyan rövid Δt idôszakaszt, hogy ennyi idô alatt n(x) még változatlannak tekinthetô legyen. Határozzuk meg, hogy hány részecske lép át az A felületen ezen idô alatt balról jobbra (ΔNbal), illetve jobbról balra (ΔNjobb). A kettô különbsége lesz a nettó részecskevándorlás: ΔN = ΔNbal – ΔNjobb. Csak azok a (balra, illetve jobbra tartó) részecskék fognak az adott idô alatt átlépni a „falon”, amelyek elég közel vannak hozzá. Pontosabban közelebb, mint v·Δt (v itt is a részecskék átlagos sebességét jelöli), hiszen maximálisan ekkora utat tudnak megtenni a részecskék Δt idô alatt. Tehát azok a részecskék juthatnak át az A felületen, amelyek a felület két oldalán a v·ΔtA térfogatú vonalkázott térrészekben találhatók (lásd 1c. ábra).

A „faltól” balra elhelyezkedô részecskékre, ha ebben a térrészben a részecskesûrûség nbal, akkor ezek száma: nbal·v·Δt·A. Feltételezhetjük azonban, hogy a részecskék a tér különbözô irányaiban egyforma valószínûséggel mozognak, és csak egy részük indul éppen a fal felé. Itt egy egyszerû becsléssel élhetünk, és azt mondjuk, hogy a háromdimenziós térben (±x, ±y, ±z) a részecskék egyhatoda fog jobbra indulni. Hasonlóképpen írhatjuk fel a jobbról balra igyekvô részecskék számát is (itt a megfelelô térrészben a részecskesûrûség njobb), így a nettó érték:

Δ N = Δ N bal Δ N jobb = 1 6 n bal ν Δ t A 1 6 n jobb ν Δ t A = 1 6 ν Δ t A ( n bal n jobb ) (1)

A kérdés már csak az, hogy a fenti kifejezés zárójeles tagját, azaz a megfelelô részecskesûrûség különbséget hogyan adhatjuk meg ennél pontosabban. A 2. ábra tanúsága szerint n(x) függvény az x0 hely környékén lineárisan változik (elég rövid szakaszon a lineáris közelítés helyénvaló). Az egyenes rész meredeksége Δnx, aminek segítségével a fenti különbség egyszerûen megadható, amennyiben azt is tudjuk, hogy x0-tól (szimmetrikusan) milyen távolságra indultak el a részecskék közvetlenül a felületen való áthaladásuk elôtt. Ez a távolság nem más, mint l, azaz az átlagos szabad úthossz, ezt szemlélteti a 3. ábra. Látható, hogy nbal - njobb = 2l·tgα. Az iránytangens definícióját felhasználva:

n bal n jobb = 2 l   Δ n Δ x (2)

A negatív elôjelre azért van szükség, mert a meredekség negatív, viszont az egyenlet bal oldalán álló különbség pozitív. A (2) összefüggést a (1)-be beírva és Δt-vel átosztva:

I N = Δ N Δ t = 1 6 ν A ( 2 l   Δ n Δ x ) =   1 3 ν l A   Δ n Δ x

Ha elosztjuk az egyenlet mindkét oldalát az Avogadro-számmal, akkor a bal oldalon a nettó részecskeáram- erôsség (IN) helyett az anyagáram-erôsséget (Iν) kapjuk, míg jobb oldalon a részecskesûrûség (n) helyett a koncentrációt (c):

I ν = 1 3 ν l A Δ c Δ x

Vezessük be a D=13νl (3)

jelölést és osszuk el az egyenlet mindkét oldalát A-val is. Így a keresett anyagáram sûrûség az x0 helyen:

I ν A = J ν = D Δ c Δ x

3. ábra. A lineáris függvény megváltozásának meghatározásához

III/2.1.3. A diffúziós együttható további jellemzôi

A diffúziós együtthatóról még többet tudunk meg, ha a (III.32) definiáló képletet több lépésben átalakítjuk a következôképpen. Elôször behelyettesítjük az átlagos szabad úthosszra vonatkozó (III.25) összefüggést, majd az így kapott kifejezést szorozzuk és osztjuk is a részecskék tömegével, m-el. Ezután felhasználjuk a (III.23), valamint a (III.27) összefüggéseket:

D = 1 3 ν l = 1 3 ν ν τ = 1 3 m ν 2 τ m = 1 3 3 kT u = ukT (III.33)

Láthatjuk, hogy a diffúziós együttható és azon keresztül a diffúzió „erôssége” több tényezôtôl függ. Elsôsorban a hômérséklettôl, ami, tekintve hogy a diffúzió a molekulák hômozgása révén zajlik, nagyon is érthetô. Függ még a molekula mozgékonyságától, ami, érezzük, bizonyára jellemzô a molekulára, és a közegre, amiben a molekula mozog. Ezt, legalábbis viszkózus folyadékban diffundáló gömb alakú részecskékre, pontosabban is meg tudjuk fogalmazni a korábbi III/1.5. szakaszban megismertek szerint, ahol a részecske mozgékonyságát megadtuk. Az ott nyert (III.19) összefüggést felhasználva:

D = kT 6 π η r (III.34)

Ez a diffúziós együtthatóra vonatkozó Einstein–Stokes-féle összefüggés (lásd III.14. ábra). Gömb alakú nagyobb részecskékre érvényes, de becslésként a gömbtôl eltérô alakú és kisebb részecskékre, molekulákra is alkalmazhatjuk. Az összefüggés szerint a hômérsékleten kívül a részecske mérete és a közeg viszkozitása befolyásolja még D értékét. Megjegyezzük, hogy a (III.33) vagy (III.34) összefüggésekbôl elsô ránézésre azt hihetnénk, hogy D és T között egyenes arányosság áll fenn. Ez nem így van, ugyanis a (III.33)-ben u, illetve a (III.34)-ben η is függ a hômérséklettôl. A diffúziós együtthatót befolyásoló tényezôk összefoglaló áttekintésére szolgál az III.3. táblázat, amely különbözô anyagok azonos hômérsékleten (20 ºC) meghatározott diffúziós együtthatóit mutatja be, esetenként különbözô közegekben.

III.14. ábra. Az „erôsebb” (barna) és a „gyengébb” (kék) diffúziót a nagyobb, illetve kisebb diffúziós együttható, azaz gömb alakú részecskék feltételezése mellett (azonos hômérsékleten és azonos közegben) a kisebb, illetve nagyobb részecskesugár eredményezi

3.3. táblázat - III.3. táblázat. Néhány anyag diffúziós együtthatója 20 ºC-on.

diffundáló részecske (mol. tömeg)

közeg

D (m 2 /s)

H2 (2)

levegô

6,4·10–5

O2 (32)

levegô

2·10–5

CO2 (44)

levegô

1,8·10–5

H2O (18)

víz

2,2·10–9

O2 (32)

víz

1,9·10–9

glicin (75)

víz

0,9·10–9

szérum albumin (69 000)

víz

6·10–11

tropomiozin (93 000)

víz

2,2·10–11

dohánymozaik-vírus (40 000 000)

víz

4,6·10–12


A táblázat adataiból jól látható a (III.34) összefüggés érvényesülése: a diffúziós együttható jelentôsen csökken a molekulatömeg (méret), illetve a közeg viszkozitásának növekedésével. A molekulák alakja is befolyásolja a diffúzió sebességét, amit az tükröz, hogy a közel gömb alakú szérumalbumin-fehérje diffúziója körülbelül háromszor gyorsabb, mint a hozzá méretben közel álló, de megnyúlt, szál alakú (fibrilláris) tropomiozin fehérjéé (feltehetôen az utóbbi nagyobb közegellenállása miatt). (Lásd még A diffúziós együttható mérése.)

A diffúziós együttható mérése

A diffúziós együttható mérésére elvben minden olyan fizikai méréstechnika alkalmas, amellyel egy adott tér jól definiált helyén a kérdéses anyag koncentrációjának idôfüggése nyomon követhetô. Ilyen célra használhatjuk például a dinamikus fényszórás mérést (lásd a X/1.3.2. részt). Színes anyagok esetén a fényelnyelés, illetve emisszió mérését alkalmazhatjuk a pillanatnyi koncentráció detektálására, míg töltéssel rendelkezô ionok vagy molekulák esetén az elektromosvezetôképesség-mérés módszerét is használhatjuk e célra. Ha a diffúziós együtthatót valamely közegben (oldószerben) oldott molekulák esetén a diffúzió kinetikájának követésével határozzuk meg, tekintettel kell lenni arra a tényre, hogy a diffúzió sebessége bizonyos anyagoknál és koncentrációtartományban koncentrációfüggést mutathat (azonos koncentrációesés esetén is!). Ez abból adódik, hogy egyes molekulák töményebb oldataiban az oldott molekulák között kölcsönhatások léphetnek fel, aminek következtében kisebb-nagyobb aggregátumok (például dimerek, oligomerek stb.) jelennek meg. Mint ahogy a gázok rendezetlen hômozgásánál is láttuk, a mozgási sebesség a molekulatömeg négyzetgyökével fordítottan arányos, így a fenti molekuláris kölcsönhatások is befolyásolhatják a diffúzió sebességét. Ezért a diffúziós együttható meghatározásakor célszerû azt több különbözô kiindulási koncentrációnál megmérni és a 0 koncentrációra (a „végtelen híg oldatra”) extrapolált értéket megadni, amely így az egyedi molekulák diffúziós tulajdonságait fogja jellemezni. A III.3. táblázat ilyen értékeket tartalmaz.

III/2.1.4. Fick II. törvénye

Az elôzô részben a diffúzió legegyszerûbb esetét vizsgáltuk, és a koncentrációnak csak az x tengely menti térbeli változását vettük figyelembe. Legtöbbször azonban a diffúziós folyamat leírásához a koncentrációidôtôl való függését is pontosan kellene ismernünk, méghozzá mindhárom dimenzióra vonatkozóan. Erre példa az orvosi gyakorlatban, amikor fájdalomcsillapító vagy egyéb gyógyszerinjekciók célzott bejuttatása történik egy viszonylag kis térfogatba (fogínybe, izomba stb.), amit a bejuttatott gyógyszermolekulák háromdimenziós diffúziója, térbeli szétoszlása, azaz a célsejtekhez való eljutása követ. Ilyen esetekben gyakorlati szempontból fontos tudni, hogy ez a diffúzió körülbelül mennyi idôt vesz igénybe a koncentráció állandó változása mellett. Egy másik orvosi példát említve, az anyagcsere-folyamatok sebességének meghatározása szempontjából is fontos kérdés az, hogy milyen gyorsan megy végbe a diffúzió.

Fick II. törvénye a diffúzió folyamatának idôbeliségérôl is számot ad, tehát a koncentráció térbeli-idôbeli változását írja le. Az összefüggést viszonylag egyszerûen megkaphatjuk Fick I. törvényébôl, ha elôbb általánosítjuk a III/1.1.1. részben már szereplô kontinuitási egyenletet. (Az egyszerûség kedvéért továbbra is csak egy dimenzióban vizsgálódunk.)

III.15. ábra. Szemléltetés a kontinuitási egyenlet általánosításához

A kontinuitási egyenlet egyik legegyszerûbb megfogalmazása az volt, hogy merev csô esetén a térfogati áramerôsség a csô hossza mentén mindenütt ugyanakkora: IV = konst. Mivel az összenyomhatatlan folyadékokra ez a törvény úgyis a tömegmegmaradás, illetve az anyagmennyiség-megmaradás következménye, fogalmazzuk meg a törvényt az anyagáram-erôsség (Iν), illetve az anyagáram-sûrûség (Jν) segítségével! Az egyszerûség kedvéért maradjunk a mindenütt A keresztmetszetû merev csô példájánál (III.15. ábra):

I ν = J ν A = konst .   , vagy J ν ( a ) A   = J ν ( b ) A , (III.35)

ami azt fejezi ki, hogy az a helyen az A felületen idôegység alatt beáramlott anyagmennyiség ugyanannyi, mint a b helyen kiáramlott. Ezt úgy is felírhatjuk, hogy

J ν ( a ) A   J ν ( b ) A = 0, (III.36)

tehát az a és b közötti hengertérfogatba nettó anyagbeáramlás, illetve kiáramlás nem történt. Most azonban olyan eseteket is tárgyalni szeretnénk, ahol ez a feltétel nem teljesül, hiszen éppen a koncentráció idôbeli változását akarjuk leírni. Ha például nettó anyagbeáramlás történik az a és b közötti tartományba, akkor a beáramlott anyagnak meg kell jelennie az adott térfogaton belül, így ott az anyag koncentrációja (c) a nettó beáramlás ideje alatt növekedni fog. Ezt kell valahogy kifejezésre juttatnunk egyenletünkben is.

Legyen a = x és b = x + Δx nagyon közel egymáshoz. Ez a választás két okból is célszerû. Egyrészt az így létrejövô kis térfogaton belül (ΔV = AΔx) a koncentráció a helytôl már függetlennek tekinthetô, tehát csak az idôtôl való függést kell figyelembe vennünk. Másrészt a henger palástja igen kis felületû A-hoz képest, így amennyiben a csövet képzeletben el is távolítanánk, és térfogatelemünket a csôtôl elvonatkoztatva képzeljük el, a paláston keresztüli anyagáramlás a kis felület miatt akkor is elhanyagolható lenne. (Amit eddig a csôfal automatikusan biztosított számunkra, azt most az igen kis felületû palásttal érjük el.)

Igen rövid Δt idô alatt a ΔV térfogatba beáramlott anyagmennyiség kétféleképpen is felírható (és ezek természetesen egyenlôk egymással):

[ J ν ( x ) A J ν ( x + Δ x ) A ]   Δ t = [ c ( t + Δ t ) c ( t ) ] A Δ x . (III.37)

Felhasználva hogy

[ J ν ( x ) J ν ( x + Δ x ) ]   Δ J ν     ,      valamint        [ c ( t + Δ t ) c ( t ) ] Δ c .

átrendezés után a következô egyenlethez jutunk:

Δ J ν Δ x = Δ c Δ t (III.38)

Ez az általánosított kontinuitási egyenlet. Helyettesítsük ezután a (III.31) összefüggést (Fick I. törvényét) a (III.38) egyenletbe (Jν helyére):

D Δ Δ c Δ x Δ x = Δ c Δ t (III.39)

Ez Fick II. törvénye. Elsô ránézésre is látható, hogy ez meglehetôsen bonyolult egyenlet (lásd III.3 megjegyzés). (Különösen ha még azt is tekintetbe vesszük, hogy egy általános probléma megoldásakor mind a három dimenziót (x, y, z) figyelembe kell vennünk.)

Az egyenlet megoldása elméletileg azt jelentené, hogy megkeressük azt a c(x,t) függvényt, amit a (III.39) összefüggésbe „helyettesítve” azonosságot kapunk. Amellett hogy ilyen függvény általánosan nem is adható meg, a fô problémát az jelenti, hogy az egyébként egyszerûen hangzó „behelyettesítés” is magasabb matematikai ismereteket igényelne. (Mit kezdjünk például mindjárt az egyenlet bal oldalán álló emeletes törttel? )

Bizonyos speciális esetekben közelítô megoldások azért adhatók, de a gyakorlati problémák megoldására legtöbbször csak numerikus (számítógépes) módszereket alkalmaznak. Ilyen módszerek eredményeként a kiindulási feltételek ismeretében, Fick II. törvényének felhasználásával, kellô pontossággal meghatározható a koncentráció térbeli és idôbeli változása is (lásd „Fick II. törvényének szemléletes jelentése”).

III.3. megjegyzés. A (III.39) egyenletet a matematika formalizmusával élve a következô alakban szokás felírni:

D 2 c x 2 = c t

Ezt a felírást azonban szándékosan kerüljük, mert megértése csak magasabb matematikai ismeretek birtokában lehetséges.

Fick II. törvényének szemléletes jelentése

A számítógépes módszerek gondolatmenetét követve az alábbiakban – valódi megoldás helyett – megmutatjuk Fick II. törvényének a szemléletes jelentését egy konkrét esetre, nevezetesen az egyszerûsített Fick-kísérletre alkalmazva. Induljunk ki a (III.39) összefüggésbôl és próbáljuk meg visszakapni az egyszerûsített Fick-kísérlet eredményeit csupán elméleti megfontolások alapján. Felelevenítésképpen az 1. ábrán megismételtük a Fick I. törvényének származtatása során már bemutatott kísérleti eredményeket azzal a kis különbséggel, hogy a függôleges tengelyen a részecskesûrûség (n(x)) helyett a koncentrációt (c(x)) tüntettük föl. Célul csak annyit tûzzünk ki, hogy a t1 idôpontban ismert c(x) függvénybôl Fick II. törvényének felhasználásával határozzuk meg c(x)-et egy késôbbi, mondjuk t2 idôpontban. Ennek érdekében alakítsuk át a (III.39) összefüggést célunknak jobban megfelelô formára:

D Δ Δ c Δ x Δ x + c ( t ) = c ( t + Δ t )

Így éppen azt kaptuk meg, hogy amennyiben a koncentráció (térbeli) eloszlását ismerjük egy adott t idôpontban, akkor egy kicsit késôbbi t + Δt idôpontban milyen lesz az új eloszlás.

1. ábra. A koncentráció eloszlása (c(x)) a t1 és t2 idôpontokban (t1 < t2) az egyszerûsített Fick-kísérlet szerint

Az eljárás során tehát c(x) ismert függvény, DΔt egy ismert szorzófaktor és minden nehézség forrása az emeletes tört, ami a következô utasítások végrehajtását jelenti:

1. határozzuk meg c(x) meredekségét helyrôl helyre az x tengely mentén (például úgy, hogy kis egyenes szakaszokra bontjuk, és azok meredekségét használjuk);

2. minden x-hez tartozó meredekség értékeket új függvényértéknek tekintve alkossuk meg a c’(x) függvényt;

3. ismételjük meg az elôzô két lépést ezen a c’(x) függvényen is, és alkossuk meg c’’(x) függvényt, ami esetünkben az emeletes törttel azonos.

A feladat végrehajtását lépésenként a 2. ábrán mutatjuk be. A 2a. ábrán a c(x) kiindulási eloszlás látható. A görbe meredeksége kezdetben 0, majd fokozatosan csökken egészen a minimális meredekségig (x0 hely, legnagyobb negatív meredekség), ezután szimmetrikusan, fokozatos növekedéssel visszajutunk a 0 meredekségig (2b. ábra). Ez a c’(x) függvény. Ennek a meredeksége kezdetben szintén 0, de a minimális meredekségig hamarabb elérünk, majd onnan növekedve az x0 helyen már ismét 0 a meredekség. Ennek az origóra vonatkozó tükörképe valósul meg a növekvô szakaszon (2c. ábra). Így megkaptuk az emeletes törtnek megfelelô c’’(x) függvényt.

A következô lépés az, hogy ezt megszorozzuk a DΔt mennyiséggel, ami a függvény jellegét nem, csak a függôleges tengely irányú változásait érinti (2d. ábra). Végül az így kapott függvényt hozzáadjuk a kiindulási c(x) függvényhez (2e. ábra). Végeredményként tehát azt kaptuk, hogy az új függvény (a t1 + Δt idôpontban) a közepén és a szélein változatlan marad, illetve csak kevéssé változik, a közbülsô részeken pedig ellapul, ami megegyezik a kísérleti tapasztalatokkal (vö. 1. ábra).

Ezt az eljárást megismételve az újonnan kapott (kék) függvényen, illetve ugyanígy folytatva, lépésrôl lépésre haladva nyomon követhetjük a diffúzió folyamatát.

2. ábra. Az egyszerûsített Fick-kísérlet magyarázata Fick II. törvényének „lépésenkénti”alkalmazásával

III/2.1.5. A bolyongási probléma és Fick II. törvényének kapcsolata

Már korábban említettük, hogy a diffúzió jelensége és a Brown-mozgás között nincs lényegi különbség. A jelenség oka a részecskék rendezetlen mozgása, azaz a hômozgás. Véletlen jellege pedig a környezô részecskékkel való állandó rendszertelen ütközések következménye. Próbáljuk most errôl az oldaláról megközelíteni a jelenséget, és vizsgáljuk meg közelebbrôl a részecskék szabálytalan zegzugos mozgását. Konkrétan arra a kérdésre keressük a választ, hogy bizonyos idô eltelte után milyen messzire jut el egy részecske a kezdeti helyétôl.

Amennyiben minden szükséges információ birtokunkban lenne (például gázok esetén ismernénk az ütközô részecskék aktuális helyét és impulzusát), akkor – bár igen sok számolás árán – elvileg a kérdésre egyértelmû válasz adhatnánk. Mivel ezek az adatok nem állnak rendelkezésünkre, ezért a mozgás véletlenszerûségét feltételezve csak arra tudunk válaszolni, hogy mekkora az az átlagos távolság, amekkora távolságra a részecske várhatóan eljut (lásd „A „részeg tengerész” problémája”).

A „részeg tengerész” problémája

(A fenti bolyongási problámát „a részeg tengerész” problémájaként emlegetik a tudományos köznyelvben:

a tengerész kijön a kikötôi kocsmából, és el akar indulni valamerre, de igen rosszul áll a lábán, ezért lépései véletlenszerûek. Minden lépése tetszôleges szöget zár be az elôzôvel. A kérdés végül is az, hogy ilyen feltételek mellett elég hosszú idô elteltével vajon meddig jut el a tengerész. Természetesen nem tudjuk, mert nem is lehet megmondani, azt azonban már kiszámíthatjuk, hogy ha naponta megismétlôdik az eset, akkor tengerészünk átlagosan milyen távolságra jut el a kocsmától.)

Az 1. ábrán a részecske cikcakkos mozgását tüntettük fel a kiindulási A ponttól F-ig. Ez annyiban különbözik a III.12a. ábrától, hogy itt minden két ütközés közötti távolság egyforma, éppen átlagos szabad úthossznyi (l), tehát ezzel egyfajta átlagolást már elvégeztünk. Egy ilyen útszakasz megtételét nevezzük a továbbiakban egy lépésnek, ami korábbi megfontolásainknak megfelelôen τ ideig tart (így jelöltük a két ütközés között eltelt átlagos idôt). Az N-edik lépés megtétele utáni eltávolodás mértékét jelöljük RN-nel, amivel arra utalunk, hogy a mozgásnak nincs kitüntetett iránya, tehát a részecske egy RN sugarú gömbön bárhol lehet, de persze RN akár 0 is lehet. Azt, hogy R1 = l nem kell magyaráznunk, R2 viszont φ tetszôleges megválasztása esetén 0 (φ = 0 vagy 2π) és 2l (φ = π) között már akármekkora is lehet, de mekkora ennek a távolságnak a „várható” értéke. Ennek meghatározása érdekében elôször felírjuk R22-tet egy adott φ szögre úgy, hogy alkalmazzuk a koszinusz tételt az ABC háromszögre:

R 2 2 = l 2 + l 2 2 l 2 φ (1)

1. ábra. Egy véletlen bolyongást végzô részecske útvonala N lépés megtétele után. (Az egyszerûbb tárgyalás kedvéért minden lépés éppen átlagos szabad úthossznyi)

Az átlagolást ezek után úgy hajtjuk végre, hogy a (1) kifejezést kiszámítjuk, mondjuk n különbözô véletlenül kiválasztott φ esetén, összeadjuk ôket, majd elosztjuk n-nel:

ahol φi (i = 1,2,...,n) jelenti a véletlenül kiválasztott szögeket és az átlagolást felülvonással jelöltük. Mivel az összegben n darab egyforma tag is szerepel (2l2) ezeket n-szer összeadva n2l2-tet kapunk. A koszinuszos tagok mindegyikébôl 2l2 kiemelhetô. Az átalakítások elvégzése után kapjuk:

R 2 2   = 1 n   n 2 l 2 2 l 2 1 n i = 1 n φ i (2)

Tudjuk, hogy a koszinuszfüggvény szimmetriájából adódóan olyan, hogy egy perióduson belül (0; 2π) úgy változik, hogy minden függvényértéket és annak ellentettjét is kétszer veszi föl (lásd 2. ábra). Mivel a szögek véletlen kiválasztásánál minden irány egyformán valószínû, ezért várhatóan a különbözô nagyságú szögek gyakorisága is azonos az n tagú összegben. Ebbôl viszont az következik, hogy a többé-kevésbé egymásnak megfelelô szögek koszinuszait összegezve azok páronként 0-hoz közeli értéket adnak (változó elôjellel), tehát a (2) kifejezésben szereplô összeg biztosan nagyon közel lesz 0-hoz (a hibahatáron belül 0 eredményt szolgáltat). (Amennyiben n = ∞, akkor be is bizonyítható, hogy az összeg egzaktul 0.) Így végül azt kapjuk, hogy

R 2 2   = 2 l 2 , vagy R 2 = l 2 . (3)

Ennek mintájára számítsuk ki most azt, hogy ha N-1 lépés után a bolyongó részecske RN-1-re távolodott a kiindulási helyétôl, akkor egy lépéssel késôbb mekkora RN átlagos távolságra található. Ismételten a koszinusztételt alkalmazzuk, most az AEF háromszögre (lásd 1. ábra):

R N 2 = R N 1 2 + l 2 2 R N 1 l γ .

Majd az átlagolás elvégzése után kapjuk:

R N 2 = R N 1 2 + l 2  . (4)

Látható, hogy ha N helyére 2-t írunk, visszakapjuk a (3) összefüggés eredményét, hiszen R1 = l. Ezen túlmenôen, a (4) rekurziós formula segítségével tetszôleges N lépésre is megadhatjuk a várható eltávolodás mértékét. Így folytatva a sort:

R 3 2 = 3 l 2   , és   végül R N 2 = N l 2   . (5)

Az összefüggést tovább alakíthatjuk, ha felhasználjuk azt, hogy minden lépés (l) τ ideig tart, illetve, hogy eközben a részecske sebessége v = l/τ. Eszerint a bolyongás teljes ideje t = Nτ, ahonnan N-et kifejezve beírhatjuk a (5) összefüggésbe. Azt is tudjuk, hogy RN nem más, mint a várható eltávolodás t idô elteltével, azaz R(t), így:

R ( t ) ¯ = N l 2 = t τ l 2 = tvl = 3 Dt   . (6)

Az átalakítás utolsó lépésénél felhasználtuk a diffúziós együttható korábban megadott definícióját (D = (1/3)vl, lásd a (III.32) összefüggést).

2. ábra. A koszinuszfüggvény görbéje néhány fontos tulajdonságának hangsúlyozásával

A feltett kérdésünkre tehát a következô választ adhatjuk: egy részecske tidô elteltével a kezdeti helyétôl R(t) távolságra jut, aminek átlagos értéke az idô négyzetgyökével arányosan növekszik (R(t) ~ √–t). Ha sok részecske eltávolodását vizsgáljuk (azonos kezdôpontból), akkor lesznek olyan részecskék, amelyek az átlagos értéknél kevésbé távolodnak el (esetlegesen az N lépés megtétele után visszatérnek kiindulási helyük környékére), de lesznek olyanok is, amelyek sokkal jobban eltávolodnak. A részecskék valódi eltávolodását tehát egy eloszlásfüggvénnyel írhatjuk le. A részecskék egyik fele a kiszámított átlagos értéknél közelebb, a másik fele pedig távolabb fog elhelyezkedni. (A bolyongási problémával Maryan Smoluchowski (1872–1917) lengyel fizikus és Albert Einstein (1879–1955) német fizikus foglalkozott behatóan, és a probléma megoldása is tôlük származik.) (Lásd még A diffúzió mint „bolyongás”.)

A diffúzió mint „bolyongás”

A szemléletesség kedvéért vegyük azt a példát, amikor egy kis darab kálium-permanganát- (KMnO4) szemcsét kevés vizet tartalmazó lapos edénybe dobunk. (A kísérlet cukorral vagy konyhasóval is elvégezhetô, de kevésbé látványos.) A vízben a kálium-permanganát gyorsan oldódni kezd, majd diffúzió útján körkörösen szétterjed. A folt méretének változását az 1. ábrán tüntettük föl. A foltnak valójában nincs éles határa. Jellemzésére legalkalmasabb egy olyan eloszlás függvény, ami azt adja meg, hogy egy adott (x, y) koordinátákkal megadott pont környezetében mekkora a kálium-permanganát-koncentráció. Ezt szemlélteti a 2. ábra, ami geometriailag egy szimmetria tengelye körül megforgatott Gauss-görbe.

1. ábra. A vízbe dobott kálium-permanganát körkörös szétterjedése diffúzió útján. (A modell pillanatképek „azonos idôközönként” készültek.)

2. ábra. A kálium-permanganát koncentrációjának eloszlását egy szimmetriatengelye körül megforgatott Gauss-görbével jellemezhetjük

Ha a koncentráció eloszlását csak az egyik (mondjuk x) tengely mentén vizsgáljuk, akkor az egy „egyszerû” 0 várható értékû (μ = 0) Gauss-görbével adható meg (normális eloszlás):

c ( x ) = c 0 Δ x 2 π σ x 2 e x 2 2 σ x 2 , (1)

ahol σx a görbe szélességére jellemzô adat (elméleti szórás), c0 pedig a diffúzió kezdetekor, a diffúzió kiindulási helyén egy kis Δx tartományon belüli koncentráció (kiindulási koncentráció). Fick II. törvénye ugyanilyen alakú megoldáshoz vezet, ha a diffúzió során az alábbi feltételek teljesülnek.

Tegyük fel, hogy a diffúzióban részt vevô molekulák száma mindvégig állandó, és hogy a t = 0 idôpillanatban a teljes anyagmennyiség (azaz minden molekula) a koordináta-rendszer x = 0 pontja körüli Δx szélességû keskeny tartományon belül van, ahol a koncentráció állandó (c0). Innen valamennyi molekula szabadon elmozdulhat az x tengely mentén, és mozgását késôbb sem gátolja semmi (leszámítva a többi részecske, illetve a közeg jelenlétét). Más megfogalmazás szerint tehát az egydimenziós szabad diffúzió esetével állunk szemben.

Ilyenkor Fick II. törvényének megoldásaként azt kapjuk, hogy a (1) összefüggésben szereplô, a Gauss-görbe szélességét megadó elméleti szórás a következô alakú:

σ x = 2 Dt   . (2)

ahol D a diffúziós együttható. Eszerint az idô elôrehaladtával a Gauss-görbe fokozatosan szétterül az x tengely mentén, ahogy az a 3. ábrán látható. Tehát végeredményként Fick II. törvényét az egydimenziós szabad diffúzióra alkalmazva az ábrán látható c(x, t) függvényhez jutunk, ami jól egyezik kísérleti tapasztalatainkkal.

3. ábra. Az egydimenziós szabad diffúzió szemléltetése Fick II. törvényének megoldásaként. A koncentráció eloszlás változása az idô függvényében, c(x,t)

A 3. ábrán látható c(x, t) függvény tehát Fick II. törvényének egy speciális megoldása. Ha a keretben lévô legutóbbi (2) és az elôzô (6) összefüggéseket összehasonlítjuk, szembetûnô a hasonlóság. A koncentrációeloszlás szélessége és a részecskék várható eltávolodása ugyanúgy változik az idôben. (Mindkettô az idô négyzetgyökével arányosan növekszik. A szorzófaktorbeli eltérés csak onnan származik, hogy a kétféle paramétert másként definiáltuk:

σ x R(t) Dt . (III.40)

Ha a bolyongás szempontjából tekintjük az eredményeket, azt mondhatjuk, hogy az 3. ábrából a szétterülés mellett jól látszik a folyamat statisztikus jellege is, hiszen egy adott idôpillanatban a részecskék között találunk olyanokat, melyek az átlagosnál kisebb, illetve annál nagyobb eltávolodással rendelkeznek.

III/2.1.6. A diffúziós folyamatok idôtôl való függésének elemzése

Ha tekintetbe vesszük, hogy a diffúziós jelenségek a rendszert alkotó részecskék bolyongómozgásának következményei, akkor az elôzô rész legfontosabb gyakorlati mondanivalója az, hogy a részecskéknek a diffúzió miatt bekövetkezô várható elmozdulása a kiindulóponttól az idô négyzetgyökével arányos, vagy másképpen mondva a diffúzióhoz szükséges idô a diffúziós távolság négyzetével arányosan növekszik.

A III.16a. ábrán példaként az idôtôl való négyzetgyökös függést a lineáris összefüggéssel hasonlítottuk össze. (Az fgyök függvény például f(t) = k1√–t alakú, az flin függvény pedig f(t) = k2t , ahol k1 és k2 két állandó.) Megfigyelhetô, hogy egy bizonyos tküszöb ideig egy adott függvényértéket mondjuk f*-ot az fgyök függvény rövidebb idô alatt ér el, mint az flin (t*gyök < t*lin), tehát ilyen értelemben fgyök gyorsabban változik, mint flin. A tküszöb-nél hosszabb idôkre ez a tendencia megfordul. A III.16b. ábrán két konkrét diffúziós együttható (10–5, illetve 10–9 m2/s) esetében a (III.40) összefüggés alkalmazásával kiszámított „elmozdulás”-idô értékpárokat mutatunk be. (A III.3. táblázatból kitûnik, hogy a két megadott diffúziós együttható nagyságrendileg a levegôben, illetve vízben történô diffúziót jellemzi.) Ezek szerint például ahhoz, hogy egy oxigénmolekulánál alig nagyobb részecske a levegôben egy kiszemelt irányban egy métert haladjon diffúzió útján, hozzávetôlegesen egy teljes napra van szükség. Ugyanennyi idô alatt ugyanez a részecske vízben csak körülbelül egy centiméterre juthatna. (Lásd még Egy élettani példa a diffúzió kiemelt jelentôségére.)

Összefoglalva a diffúzió rövid távon, (vizes oldatokban körülbelül 100 μm-ig) viszonylag gyors (szobahômérsékleten kevesebb mint néhány másodperc az ekkora távolság megtételéhez szükséges idô), hosszú (néhány centiméteres) távolságra azonban már rendkívül lassú folyamat (napokig is eltarthat). Ennek oka az, hogy a diffúziós idô a távolság négyzetével arányos, tehát annak növelésével rohamosan növekszik.

III.16. ábra. Az idôtôl való négyzetgyökös függés és konkrét eredménye az egydimenziós szabad diffúzió esetében. Az ábra b) részében mindkét tengely logaritmikus beosztású

Egy élettani példa a diffúzió kiemelt jelentôségére

Az emlôsök életmûködéséhez, sejtanyagcseréjéhez nélkülözhetetlen az oxigén felvétele és eljuttatása a sejtekhez, valamint az anyagcsere-végtermék szén-dioxid eltávolítása a szervezetbôl. Ezen két fontos gázmolekula a tüdô és a szövetek sejtes állománya közötti közlekedése a vérkeringés segítségével, az abban megtalálható „szállítóegységek”, a vörösvértestek (és a bennük található hemoglobinfehérje) közvetítésével valósul meg. A tüdôhólyagocskákban az oxigén koncentrációja lényegesen magasabb, mint az e terület közelében a kapillárisokban elhaladó vérben lévô vörösvértestekben. A tüdôtôl távol esô (perifériás) szöveti részekben ez a viszony fordított irányú. A szén-dioxid-gázra nézve pedig mindkét helyen ellentétes irányú koncentrációviszonyok állnak fenn. Így ezen gázok felvétele és leadása diffúziós gázcsere révén valósulhat meg.

Ha közelebbrôl szemügyre vesszük a tüdôhólyagocskák és a vér közötti gázcserét, akkor, mint azt az ábrán bemutatott leegyszerûsített sémából is láthatjuk, a gázoknak több határoló rétegen is át kell haladniuk. Például az oxigénmolekuláknak a tüdô felôl haladva át kell jutniuk a hólyagocskákat határoló hámszöveten (alveoláris epithelium), a kapilláris belsô hámrétegén (kapilláris endothelium), a köztük levô téren (intersticiális tér), majd a vérplazmán s végül a vörösvértesteket határoló membránon. Ezen struktúrák együttesen hozzávetôlegesen 1 μm diffúziós távolságot határoznak meg a fenti gázmolekulák számára. A diffúziós együtthatók ismeretében (D[O2] ≈ 10–9 m2/s; D[CO2] ≈ 6·10–9 m2/s) megbecsülhetô az az idô, ami ahhoz szükséges, hogy a gázmolekulák diffúzió révén megtegyék az elôbbiekben meghatározott körülbelül 1 μm távolságot (egy adott irányban) a hatékony gázcsere érdekében. Ez az átlagos idôtartam körülbelül 500 μs az oxigén, illetve 80 μs a szén-dioxid esetében.

A tüdôkapillárisokban a véráramlás viszonylag gyors, így a vörösvértestek átlagos tartózkodási ideje ebben a térben legfeljebb 0,5 s. A diffúziós tér speciális felépítésébôl adódó igen rövid diffúziós távolság és az ehhez tartozó nagy diffúziós sebesség teszi lehetôvé azt, hogy ez alatt az igen rövid idô alatt is hatékony gázcsere valósulhasson meg.

A vér és a tüdô közötti gázcsere egyszerûsített vázlata

III/2.1.7. A diffúzió által szabályozott kémiai reakciók

A kémiai reakciók sebességérôl már a Boltzmann-eloszlás tárgyalásánál (I/3.1.2. rész) ejtettünk néhány szót. Itt a diffúziós folyamatoknak a kémiai reakciókra gyakorolt hatását elemezzük.

A sejtekben az anyagcsere-folyamatok során kémiai reakciók ezrei zajlanak ugyanabban az idôpillanatban, s ezek között több olyan is akad, ahol a diffúzió határozza meg a reakció sebességét. Annak belátására, hogy hogyan is történik ez, tekintsünk egy egyszerû bimolekuláris reakciót, amely igen gyakori az élô rendszerekben. E reakció során reagálhat egymással két tetszôleges molekula A és B, például egy enzimfehérje és szubsztrátja. A reakciót megelôzôen a komponensek diffúzió révén kerülnek egymás közelébe, majd ütközést követôen egy adott élettartamú, ún. ütközési komplexet (AB) képeznek. Az ütközési komplexben zajlik le a tulajdonképpeni kémiai reakció, amely végül a termék (P) képzôdéséhez vezet. Az ütközési komplexben nemcsak kémiai reakciólépés játszódhat le, hanem egyéb folyamatok is, mint például energiaátadás a komponensek között, ami szintén megváltozott végállapotot eredményez. Az említett bimolekuláris reakciókat a következô reakcióséma szemlélteti:

A + B k D k D AB   P k 1 . (III.41)

Ahhoz, hogy a reakció végbemenjen, a reakciópartnereknek aktivált állapotba kell kerülniük az ütközési komplexben, azaz át kell jutniuk azon az „energiagáton”, amely a kiindulási és a végállapot között van.

Az ilyen reakciók során az ütközési komplex képzôdésének sebessége:

Δ AB Δ t = k D A B (III.42)

ahol [AB] az ütközési komplex, [A] és [B] a kiindulási komponensek koncentrációi, míg kD a (III.41) reakciósémában a felsô nyíl irányába végbemenô folyamat sebességi állandója. Az ütközési komplex disszociálhat is az alsó nyíl irányában, k–D sebességi állandóval. A végtermék pedig k1 sebességi állandóval képzôdik az AB komplexbôl. A reakciók kvázi-stacionárius állapotára, amikor az ütközési komplex koncentrációja idôben állandó, felírható a következô egyenlet:

k D A B k D AB k 1 AB = 0 (III.43)

amibôl kifejezhetô az ütközési komplex egyensúlyi koncentrációja:

AB = k D k D + k 1 A B (III.44)

A sémából leolvasható, hogy a bimolekuláris kémiai vagy enzimatikus reakció sebességét (ami tulajdonképpen a termék képzôdésének sebessége) az elôzô egyenlet (III.44) felhasználásával a következôképpen írhatjuk fel:

Δ P Δ t = k 1 AB = k D k D + k 1 A B (III.45)

A folyamat sebességére jellemzô másodrendû sebességi állandó, k2 a következô kifejezéssel lesz egyenlô:

k 2 = k 1 k D k D + k 1 (III.46)

A reakció végsô sebességét meghatározó tényezôket vizsgálva két szélsôséges esetet különböztethetünk meg. Ha k–D << k1, akkor:

k 2 k 1 k D k 1 = k D (III.47)

azaz a reakció sebessége diffúziókontrollált lesz, vagyis az ütközési komplex komponenseinek diffúziós sebessége szabja meg azt. Ha a reakció aktiválási energiája, azaz energiagátja nagy, akkor k1 << k–D. Ilyenkor aktivációkontrollált reakciókról beszélünk, mert

k 2 k 1 k D k D k 1 K e (III.48)

ahol Ke az egyensúlyi állandó, amely a tömeghatás törvénye alapján a következô módon definiálható:

K e   = AB A B (III.49)

Diffúziókontrollált reakciókkal találkozhatunk például a sejtek mitokondriumának elektrontranszport láncánál vagy a baktériumok légzési láncánál, és olyan enzimreakciók során, amelyeknél a szubsztrát strukturális okoknál fogva lassan tud eldiffundálni az ütközési komplexbôl.

III/2.2. A diffúzió néhány különleges esete

III/2.2.1. Az ozmózis jelensége, Van’t Hoff-törvénye

Az eddigiekben csak a szabad diffúzióval foglalkoztunk, azaz olyan esetekkel, amikor a részecskék mozgását semmi sem gátolta a közegben fellépô súrlódási erôn, illetve az egymással való ütközéseken kívül. A III/2.1.2. részben azt is említettük, hogy a diffúzió során valójában legalább két diffundáló komponens („A” és „B”) van jelen, csak az egyikrôl általában nem veszünk tudomást. Ebben a részben olyan eseteket tanulmányozunk, ahol egy ,,szûrô’’ megakadályozza az egyik komponens szabad diffúzióját. Az ilyen ,,szûrô’’ az ún. féligáteresztô (idegen szóval szemipermeábilis) hártya vagy fal. Sok vizes oldat számára féligáteresztô falat alkotnak az állati eredetû hártyák (például disznóhólyag), az élô sejtek falai, de egy lyukacsos agyaglemez vagy a celofán is. Féligáteresztônek mondjuk a biológiai membránokat is, amelyeken keresztül lejátszódó transzportfolyamatokkal majd a III/4. részben foglalkozunk részletesen.

Annak érdekében, hogy a jelenség lényegét megragadjuk, végezzük el a következô kísérletet gondolatban. Egy kisméretû, féligáteresztô hártyából készült zsákot töltsünk meg cukoroldattal, majd helyezzük egy tiszta vízzel teli tartályba. (A cukor és víz helyett bármilyen más, egymással jól keveredô viszonylag nagy molekulájú oldott anyag és kis molekulájú oldószer megfelel.) Bizonyos idô elteltével azt figyelhetnénk meg, hogy a zsák egyre jobban megduzzad. Arról is meggyôzôdhetnénk, hogy a zsákon kívül továbbra is tiszta víz, míg a zsákon belül hígabb cukoroldat lenne található.

A jelenség azzal magyarázható, hogy a féligáteresztô hártya csak az oldószer (víz) molekuláit ereszti át, az oldott anyagéit (cukor) nem, így ,,szabad’’ diffúzióra csak az oldószer-molekuláknak van lehetôségük. Bár a féligáteresztô hártyán az oldószer-molekulák mindkét irányban szabadon áthaladhatnak, mivel az oldószer koncentrációja a zsákon kívül nagyobb, ezért a tiszta oldószer oldaláról (kívülrôl) másodpercenként több molekula érkezik a féligáteresztô hártyához, mint az oldat oldaláról (belülrôl), aminek az a következménye, hogy nettó oldószer-beáramlás megy végbe (lásd ismét a III/2.1.2. részt is). Ez a diffúzió útján történô egyirányú anyagáramlás az ozmózis.

Az oldószer beáramlása maga után vonja a zsákon belüli nyomás növekedését (ettôl duzzad meg a zsák, lásd a III.17. ábrát is). A belsô nyomás fokozatos növekedése viszont az oldószer kiáramlását segíti. Ezért a nyomás csak addig emelkedhet, amíg ennek hatására le nem áll a nettó anyagbeáramlás, és a rendszer dinamikus egyensúlyi állapotba nem kerül. Ez akkor áll be, ha idôegység alatt ugyanannyi oldószer diffundál a zsákba, mint amennyi onnan a nyomáskülönbség hatására kipréselôdik (Jν,be = Jν,ki). Ez az ún. ozmotikus egyensúly, az egyensúlynak megfelelô nyomáskülönbség pedig az ozmózisnyomás (lásd Az ozmózisnyomás meghatározása).

III.17. ábra. Az ozmózis szemléltetése. Babszemek a) szárazon és b) vízben történô egynapos áztatás után. (Derka István felvétele)

Ezt a nyomást esetünkben a zsák fala, azaz a féligáteresztô hártya kompenzálja. Ha a falak teherbírása nem elegendô ahhoz, hogy az egyensúlyhoz szükséges ,,túlnyomást’’ elviselje, a zsák megrepedhet, kipukkadhat. Ez történhet például akkor is, ha az érett cseresznye vagy szôlô túl sok esôt kap, vagy ha túl hosszú ideig áztatjuk ôket a gyümölcs mosásakor. Ugyanezt a jelenséget tapasztalhatjuk sejtek esetében is, ha a sejt belsejében és környezetében nagyon eltérôek a koncentrációviszonyok. (Például a vörösvértestek könnyen kerülhetnek ilyen helyzetbe). Ilyenkor a sejtbe beáramló víz szétfeszítheti magát a sejtet. Ha a citoplazmamembrán megreped, a sejt szétesése, lízise elkerülhetetlen. Erre a problémára a következô részben még visszatérünk.

Bár a fenti (2) összefüggéshez az ábrán is bemutatott egyszerûsített modell segítségével jutottunk, így szigorúan véve csak gázokra érvényes, azonban a tapasztalat azt mutatja, hogy híg oldatokra is alkalmazható. Ebben az esetben az összefüggést Van’t Hoff-törvénynek szokás nevezni:

p ozmózis = cRT . (III.50)

ahol c az oldat koncentrációja. Ezek szerint híg oldatok ozmózisnyomása – függetlenül az oldószer és az oldott anyag minôségétôl – közelítôleg ugyanakkora, mint amekkora nyomást az oldott anyag kifejtene, ha az oldattal egyenlô térfogatot ugyanazon hômérsékleten gáz alakban töltené ki. (A törvény ebben a formában nem érvényes olyan oldatokra, amelyekben az oldott anyag molekulái erôsen disszociált állapotban vannak.)

Az ozmózis jelensége természetesen akkor is fellép, ha a féligáteresztô hártya két oldalán különbözô koncentrációjú oldatok vannak. Mindig a töményebb oldat hígul fel. Az egyensúlyi nyomást a különbözô koncentrációjú oldatok ozmózisnyomásának különbsége adja. Az is lehetséges, hogy a hártya két oldalán különbözô anyagok vannak oldva, amelyek számára a hártya átjárhatatlan. Az ozmózis szempontjából az oldott anyag minôsége közömbös. Adott hômérsékleten csak a koncentráció játszik szerepet, és ha ez a két oldalon különbözô, akkor felléphet az ozmózis jelensége.

Jacobus Hendricus van’t Hoff (1852–1911) holland vegyész, a fizikai kémia és a sztereokémia egyik megalapítója. 1901-ben kémiai Nobel-díjat kapott.

Az ozmózisnyomás meghatározása

Modellkísérlet az ozmózisnyomás meghatározásához

Az ozmózisnyomás nagyságát könnyûszerrel meghatározhatjuk, ha az elôbbi kísérletben a zsákot és környezetét egy egyszerûsített modellel helyettesítjük (lásd az ábrát). Vegyünk egy tartályt, amit egy fallal két egyenlô V térfogatú részre osztottunk. Az egyik rész (I, bal oldal) fog megfelelni a zsákon belüli, a másik rész (II, jobb oldal) a zsákon kívüli térfogatnak. Kövessük a Fick-kísérlet magyarázatánál bevált módszert, és folyadék helyett most is (bonyolultabb molekuláris kölcsönhatásoktól mentes) gázzal töltsük meg tartályunkat. Az I térrészbe (a cukoroldatnak megfelelôen) nagyobb (piros) és kisebb (kék) molekulákból álló gáz keveréke, míg a II részbe (a tiszta víznek megfelelôen) csak a kisebb (kék) molekulákból álló gáz kerüljön [az ábra a) része]. Tegyük fel, hogy a rendszer termikus egyensúlyban van (T = állandó), és, hogy mindkét térrészben (I, II) a gáznak ugyanakkora a nyomása. (Ilyen kiindulási állapot valósul meg az eredeti kísérletben is.)

Ha ezután a falat eltávolítjuk [az ábra b) része] a diffúzió végeredményeként mindkét gáz (a nagyobb és a kisebb molekulájú is) egyenletes eloszlású lesz a tartályban. Amennyiben az elválasztó falat eltávolítás helyett (,,egy varázsütéssel’’) féligáteresztô falra cseréljük [az ábra c) része], az ily módon korlátozott diffúzió végeredményeként az összes nagyobb méretû (piros) molekula továbbra is az I térrészben marad, míg a kisebb méretûek (kékek) ugyanúgy egyenletes eloszlásúak lesznek, mint az elôzô esetben. A térfogatok egyenlôsége miatt anyagmennyiségük megegyezik a két oldalon (νkékI = νkékII). Ennek megfelelôen a bal oldalon (I) összesen νpiros + νkékI anyagmennyiségû, a jobb oldalon (II) νkékII anyagmennyiségû gáz lesz található.

Az ideális gázokra vonatkozó állapotegyenlet (pV = NkT, lásd I/3.2.1. rész) segítségével felírhatjuk a gáz nyomását mindkét térrészben. Használjuk az állapotegyenlet mólokra vonatkozó alakját (pV = νRT):

p I = ν piros + ν kék I V RT , p II = ν kék II V RT (1)

E két nyomás különbsége pedig éppen az ozmózisnyomással egyenlô:

p ozmózis = ν piros V RT = c piros RT (2)

ahol cpiros a nagyobb méretû molekulák (az eredeti kísérletben cukor, illetve oldott anyag) koncentrációja, R az egyetemes gázállandó, T pedig az abszolút hômérséklet.

III/2.2.2. Az ozmózisnyomás gyakorlati jelentôsége

A diffúzió, az ozmózis, az anyagszállítás és anyagfelhasználás legkülönbözôbb folyamatai túlnyomó többségükben vizes közegben játszódnak le. Az emberi test ismert tulajdonsága, hogy 55-60%-át víz képezi. Ha általában élôlényekrôl beszélünk, akkor elmondhatjuk, hogy az élô anyag alkotórészeinek több mint a fele, némely tengeri állat esetében 90%-a víz. A földi élet nélkülözhetetlen elôfeltétele bizonyos mennyiségû víz jelenléte. A protoplazma víztartalmának 10-20%-os csökkenése már halálos lehet. A szomjazást, a vízelvonást minden élôlény nehezebben bírja a táplálékelvonásnál, az éhezésnél. Az ozmózis gyakori jelenség az élô szervezetekben, ahol az ozmotikus egyensúly megbomlása komoly, esetenként káros következményekkel járhat.

Itt térünk vissza a korábbiakban már említett sejtlízis (sejtszétesés) kérdésére (lásd a III/2.2.1. részt). Ez a probléma általános érvényû, a szervezet valamennyi sejtjét érintheti. Ahhoz, hogy egy sejt környezetével ozmotikus egyensúlyban legyen, az szükséges, hogy a sejt belsejének (citoplazma) ozmózisnyomása egyenlô legyen a külsô tér ozmózisnyomásával. (Nagyobb belsô túlnyomás esetén a sejt kipukkadhat, lizálhat.) Általánosságban, ha két különbözô oldat ozmózisnyomása egyenlô, izotóniás oldatokról beszélünk. A sejtek belsejével, illetve a vérrel izotóniás oldat például a 3,8%-os Na-citrát, a körülbelül 5,5%-os glükóz vagy a körülbelül 0,15 M-os (0,87%-os) NaCl-oldat. Az utóbbit fiziológiás sóoldatnak is nevezzük (lásd III.4. megjegyzés).

Ha vörösvértestet vagy egyéb sejtet helyezünk izotóniás oldatba, ozmózis nem lép fel. Ha azonban ennél kisebb koncentrációjú (hipotóniás) oldatba helyezzük ôket, akkor az ozmózis révén víz áramlik a sejt belsejébe, ami a sejt duzzadásához vezet, s mivel a sejthártya (plazmamembrán) rugalmassága véges, végül a sejt kipukkadhat. (A vörösvértestek esetében ekkor beszélünk hemolízisrôl.) Az izotóniásnál nagyobb koncentrációjú (hipertóniás) oldatba helyezve a sejteket a víz a sejtekbôl a környezet felé áramlik, ami a sejt térfogatcsökkenését, zsugorodását eredményezi. Ezért fontos, hogy az injekciók, illetve infúziós oldatok izotóniásak legyenek, mert az ozmózis által okozott túlnyomás fájdalmat és komoly sejtkárosodást okozhat. (Lásd még Néhány ozmotikus hatáson alapuló kezelési mód az orvosi gyakorlatban.)

Az ozmózis jelensége rendkívül fontos a növények vízfelvételében is. A talajvíz általában kisebb sókoncentrációjú, mint a gyökérnedv, így víz áramlik a növénybe a talaj felôl, amely aztán a növény sejtjeiben túlnyomást (turgort) biztosít. Sok lágyszárú növény kiegyenesedése például ennek köszönhetô. A fák gyökereinél fellépô ozmózisnyomás értéke elérheti az atmoszferikus nyomás 20-szorosát is.

III.4. megjegyzés. Az 5,5%-os glükóz oldat koncentrációja 0,3 M-nak felel meg. Ez éppen kétszer akkora, mint a fiziológiás sóoldat koncentrációja. Az ellentmondás azzal oldható fel, ha tudjuk, hogy a NaCl ilyen koncentrációban teljesen disszociált állapotban van, és így az oldatban kétszer annyi részecskét jelent, mint ahány molekulát feloldottunk.

Néhány ozmotikus hatáson alapuló kezelési mód az orvosi gyakorlatban

Ödémák és a végtagi gyulladásos területek külsô kezelésére alkalmaznak dextránoldatot, illetve keserûsót (MgSO4-oldat), amelyek a testfolyadékokhoz képest hipertóniás természetüknél fogva képesek az érintett területekrôl a felgyülemlett felesleges vizet eltávolítani. Ugyancsak az ozmotikus egyensúly átmeneti befolyásolásával hatnak a különbözô hashajtó sók, amelyek a vastagbélbôl nehezen szívódnak fel, így ott hipertóniás közeget hoznak létre. Ez a bélbe történô vízáramlást idéz elô, ami a béltartalom hígulását és könnyebb üríthetôségét segíti elô.

E hatásokkal ellentétes értelmû az a kóros állapot, amelyet a vér glükózszintjének tartós megemelkedése, a hiperglikémia idézhet elô cukorbetegeknél. A vérben megemelkedett cukorszint ugyanis megbontja a vér és a környezô szövetek sejtjei közötti ozmotikus egyensúlyt, vizet vonván el a sejtektôl. Ez a folyamat a szervezet teljes kiszáradásához is vezethet.

Végezetül meg kell említeni a súlyos vesebetegek kezelésére alkalmazott eljárást, az ún. hemodialízist, amely szintén az ozmózis jelenségén alapul. Dialízisnek nevezzük általában azt a folyamatot, amelynek során például különbözô molekulákat, illetve makromolekulákat egymástól elválasztunk, az elôzôkben már említett féligáteresztô hártyákon (membránokon) keresztül történô ozmózissal. A membránok pórusméretének megválasztásával megszabhatjuk, hogy milyen molekulatömeg-határig ,,engedjen át’’ a membrán. A hemodialízis során is ezt az elvet használjuk ki a vérben felhalmozódott oldható, a vese számára toxikus salakanyagok eltávolítására (lásd az ábrát).

Az eljárás egy ún. mûvese-berendezés alkalmazásán alapul, amelynek lényegi része egy meglehetôsen hosszú, féligáteresztô, csô alakú hártya (például celofán), amelyet gondosan testhômérsékletre termosztált dializálóoldat vesz körül. Ennek az oldatnak az összetételét a betegség konkrét jellemzôitôl függôen határozzák meg, igen nagy precizitással. Ezt követôen a véráramot összekapcsolva a celofántekerccsel, a vért átáramoltatják azon, majd visszajuttatják a beteg vénájába. A vízben oldódó fehérjelebontási termékek, sejtmérgek és egyéb salakanyagok ozmózis révén (a vízzel együtt) eltávoznak a vérbôl, a nélkülözhetetlen plazmafehérjék (albuminok, globulinok stb.) és a vérsejtek a vérben maradnak. A kezelés átlagos idôtartama alkalmanként 4-8 óra, ami alatt a dializálóoldatot cserélni is kell. Természetesen itt is rendkívül fontos az oldat ionkoncentrációinak és az esetleges fémion-szenynyezôdések jelenlétének állandó ellenôrzése, mert ezek káros hatással lehetnek a szervezet ionháztartására.

A hemodialízis vázlata

III/2.2.3. Laterális diffúzió biológiai membránokban

Diffúzió nemcsak a biológiai membránokon keresztül zajlik (lásd a III/4. részt), hanem maguk a membránt alkotó molekulák (lipidek, fehérjék) is mozognak, diffundálnak a lipid kettôs rétegben. Ez a folyamat a membrán speciális szerkezete miatt eléggé eltér a vízbeli diffúziótól.

A membrán mint diffúziós közeg speciális tulajdonságai a következôkbôl adódnak. Egyrészt, bár a lipid kettôs réteg fiziológiás hômérsékleteken túlnyomórészt folyékony (fluid) fázisban van, a membránok viszkozitása még ebben az állapotban is jelentôsen (200–1000-szer) nagyobb, mint a vízé azonos hômérsékleten. Másrészt a membránok szerkezete ezen a hômérsékleten is inhomogén, benne rendezetlen fluid és erôsen rendezett (fluid vagy gél állapotú) területek, ún. domének váltakoznak.

Egy másik, diffúziót érintô speciális tulajdonság abból következik, hogy a biológiai membránok vastagsága (5–8 nm) elhanyagolhatóan kicsiny felszínükhöz képest (néhány μm2), ami a membránt alkotó molekulák mozgási lehetôségét gyakorlatilag két dimenzióra korlátozza. E molekuláknak a membrán síkjában történô kétdimenziós mozgását laterális diffúziónak nevezzük (III.18. ábra). (A lipidek és a fehérjék laterális diffúziója a molekulák forgó és a lipidek zsírsavláncainak ,,csapkodó’’ mozgásaival együtt biztosítják a membrán ,,fluiditását’’, ami fizikai definíció szerint a membrán átlagos viszkozitásának reciprokaként (1/η) adható meg.) E fluiditásnak fontos szerepe van a sejtek mechanikai tulajdonságainak kialakításában (alak, képlékenység, deformálhatóság). Ez sok esetben a legkritikusabb tulajdonság is, hiszen például a kapillárisokban nagy sebességgel áramló vérben található vörösvértestek igen komoly igénybevételnek (nyíróerôk, súrlódás stb.) vannak kitéve. A plazmamembránok biztosítják többek között a biológiai folyamatok változatosságát és specificitását, például a látás, a légzés, a fotoszintézis, a sejt-sejt felismerés folyamataiban. Ezeken túlmenôen elsôdleges ,,támadáspontjai’’ a vírusoknak, az allergéneknek, a baktériumoknak és a gyógyszereknek. A specifikus felismerés, megkötés és ezt követôen a biokémiai ,,jeleknek’’ a sejtek belsejébe való továbbítása tehát mind a membránokhoz kapcsolt folyamat, és ezekben fontos szerepet játszanak a membránkomponensek mozgásai. E mozgások biztosítják például a felsorolt folyamatokban részt vevô, a fajlagosságot biztosító ún. receptorfehérjék megfelelô komplexekbe való rendezôdését, majd a sejtekbe való felvételét (internalizációját). Meg kell jegyezni, hogy a membránkomponensek, különösen a fehérjék a membrán nagy viszkozitása miatt több nagyságrenddel lassabban diffundálnak a membránokban, mint vízben (lásd még A laterális diffúzió vizsgálata).

III.18. ábra. Fehérjék és lipidek laterális diffúziója biológiai membránokban

A laterális diffúzió vizsgálata

A hetvenes évektôl a sejtek vizsgálatára alkalmas mikroszkópos technikák gyors fejlôdésének köszönhetôen lehetôvé vált a membránfehérjék és a lipidek laterális mozgásainak, diffúziójának nyomon követése. E vizsgálatok a sejtek szerkezeti felépítésére vonatkozó ismereteink szempontjából komoly ,,áttörést’’ jelentettek. A membránfehérjék mikroszkopikus laterális diffúziós tulajdonságainak megismerése segített abban, hogy számos fontos membránfehérje esetén sikerült kideríteni ezek kapcsolatrendszerét a sejteket ,,összekapcsoló’’ extracelluláris mátrixrendszerrel, a sejt belsejében elhelyezkedô vázrendszerrel, a citoszkeletonnal vagy egyéb membránfehérjékkel.

Napjainkban speciális ultragyors videokamerák révén e laterális mozgások közvetlen nyomon követése is lehetôvé vált. Így akár egyetlen membránfehérje vagy a membránhoz kötôdô nagyobb (például vírus) részecske mozgási nyomvonalának megjelenítése is lehetséges. A vizsgált fehérjéket (részecskéket) 30-40 nm átmérôjû kolloidális aranygömbökhöz kapcsolt vagy fluoreszkáló antitestek segítségével jelölik.

Az 1. ábrán egy ilyen ,,részecske-nyomkövetési’’ (Single Particle Tracking, SPT) vizsgálat eredményét mutatjuk be. A 2. ábrán az egyedi nyomvonalak több részecskén, idôben többször megismételt megfigyelésébôl megszerkesztett, átlagos négyzetes elmozdulás – megfigyelésiidô függvény (Sr2(t), illetve az ezzel becsült elméleti szórásnégyzet σr2(t)) látható. A (III.40) összefüggés alapján szabad laterális diffúzió esetén e mennyiségek között lineáris függvénykapcsolatot várunk, hiszen például kétdimenziós mozgásra:

σ r 2 = σ x 2 + σ y 2 = 4 Dt

A III/2.1.5. részben tárgyaltak szerint az átlagos eltávolodás mértéke az idô négyzetgyökével arányos. Itt azonban az átlagos elmozdulás négyzetérôl van szó, ami már természetesen lineáris függvénye az idônek. A gyakorlatban ettôl pozitív vagy negatív irányba eltérô függvények is adódhatnak (lásd a 2. ábrát), ami arra utal, hogy a vizsgált fehérjék mozgását a membránban aktív anyagcsere-folyamatokhoz kapcsolt mechanizmusok gyorsíthatják (irányíthatják), illetve hogy a molekula mozgását valamilyen mechanizmus gátolhatja is.

1. ábra. Membránfehérjék laterális diffúziójának nyomon követése (Single Particle Tracking, SPT módszerrel)

2. ábra. A kiértékelés lehetséges grafikonjai

Az elôzôkben bemutatott módszerek segítségével kiderült, hogy a lipidek diffúziója a membránokban általában gyors (Dlaterális ~ 10–12 m2/s) és a mobilis hányad is nagy (> 90%). Ezzel szemben a fehérjék igen nagy változatosságot mutatnak a Dlaterális értékét (10–13-10–17 m2/s), illetve a mobilis hányadot (10–90%) illetôen egyaránt. Ez azt jelenti, hogy egyes fehérjék szabadon diffundálnak a membránban, míg más fehérjék laterális diffúziója gátolt. A laterális diffúziót gátolhatja például a lipidanyagcsere változásaihoz kapcsolható membránviszkozitás-változás vagy a membránfehérje citoszkeleton vagy extracelluláris mátrix komponensek általi ,,kihorgonyzása’’. Ugyancsak gátolt a membránfehérjék laterális diffúziója például polarizált hámsejtek illeszkedésénél a membránokban található struktúrák (például ,,a szoros illeszkedés’’) révén. Mindezek a példák jól szemléltetik, hogy a laterális diffúziós vizsgálatok igen hatékony eszközt jelentenek a sejtbiológia számára a sejtek szerkezetének molekuláris szintû megismerésében.