Ugrás a tartalomhoz

KÍSÉRLETI FIZIKA, II. KÖTET (ELEKTROMOSSÁGTAN ÉS MÁGNESSÉGTAN)

Dr. Budó Ágoston

Nemzeti Tankönyvkiadó Rt.

2. fejezet - VI. RÉSZ. A STACIONÁRIUS ELEKTROMOS ÁRAM (EGYENÁRAM)

2. fejezet - VI. RÉSZ. A STACIONÁRIUS ELEKTROMOS ÁRAM (EGYENÁRAM)

A) ÁRAMERŐSSÉG, FESZÜLTSÉG, ELLENÁLLÁS

172. §. Az elektromos áram fogalma; áramerősség

1. Az elektromos áram. Az elektrosztatikából ismeretes, hogy ha két, különböző potenciálra feltöltött fémgömböt (elektroszkópot) vezetővel összekötünk, akkor a potenciálkülönbség kiegyenlítődik, a gömbök közti feszültség zérussá válik. Hasonló jelenség észlelhető pl. egy feltöltött leideni palack „kisütésekor” is: a palack A pólusa és a leföldelt Β pólus közti feszültség, amelyet az Ε elektrométer jelez (172.1a ábra), igen rövid idő alatt megszűnik, ha A és Β között a D fémrúddal összeköttetést létesítünk; fémrúd helyett pl. farudat vagy kenderzsinórt alkalmazva, Ε kitérése jóval lassabban csökken zérusra. Az A és Β gömbök közötti feszültség eme lecsökkenését az eddigiek alapján csak úgy érthetjük meg, ha feltételezzük, hogy a D vezetőn keresztül az érintkezés létrejöttekor töltések áramlása indult meg, és ez mindaddig tartott, amíg D végpontjai között a feszültség el nem tűnt.

172,1. ábra -

kepek/172_1_abra.jpg


Az elektromos töltések (töltéshordozók) ilyen mozgása, az elektromos áram a szóban forgó esetben a 172,1b ábrán feltüntetett folyadékáramláshoz hasonlítható: az U feszültségnek a h nívókülönbség, ill. a ϱgh nyomás felel meg. Mint ahogyan a folyadék áramlása a D' csőben (172,2b ábra) állandósítható, ha a B'-nél kilépő folyadékot alkalmas szivattyúval visszavezetve, az A' és B' közti ϱgh nyomáskülönbséget állandó értéken tartjuk, ugyanígy az elektromos áram is folytonosan fenntartható, ha valamilyen feszültség- vagy áramforrás segítségével gondoskodunk arról, hogy D végpontjai közt állandó feszültség álljon fenn. Ez pl. a D farúd vagy kenderzsinór esetében megvalósítható úgy, hogy a rúd vagy zsinór A, Β végeit megosztógép P1 Ρ2elektródjaival kötjük össze (172,2a ábra): a gép megfelelő ütemű forgatásakor az Ε elektrométer állandó feszültséget jelez. Ekkor a D farúdra erősített 1, 2, ... elektroszkópok útján (vagy az Ε elektrométer fémdrót kivezetésének a rúdon való elcsúsztatása révén) arról is meggyőződhetünk, hogy a rúd mentén a feszültség, az A-tól a leföldelt Β vég felé haladva, helyről helyre fokozatosan csökken, hasonlóan, mint ahogyan a folyadék áramlásánál az 1', 2', ... manométerek egyre kisebb nyomást mutatnak.

172,2. ábra -

kepek/172_2_abra.jpg


Ha áramforrásként influenciagép helyett galvánelemet, pl. zseblámpa-telepet alkalmazunk, ez az áramforrás már a (hosszabb, vékony) D fémdrótbanis képes gyakorlatilag állandó áramot fenntartani (172,3. ábra). Erre abból lehet következtetni, hogy az érzékeny Ε elektrométer által jelzett feszültség időben változatlan, az AB szakasz mentén pedig folytonosan csökken, éppúgy, mint az előző kísérletben.

172,3. ábra -

kepek/172_3_abra.jpg


Az elektromos áram jelenléte, amelyre az eddigi kísérletekben a feszültségből, ill. ennek az idővel vagy a hellyel való változásából következtethettünk, sokkal közvetlenebbül kimutatható az áram alább említendő hatásai alapján.

2. Az elektromos áram hatásai közül a hőhatás pl. a 172,4. ábrán vázolt egyszerű kísérletnél abban nyilvánul meg, hogy a Tk termoszkóp üvegedényében az áram átjárta drótspirális s ezzel a levegő is felmelegszik, és az így keletkező túlnyomást a folyadékmanométer jelzi. Ha az észak-déli irányba beállt Mt mágnestű felett a huzalon áram folyik át, akkor a mágnestű kitér; ez az áram mágneses hatásának egyik megnyilvánulása. Az áram kémiai hatása mutatkozik a Vb vízbontó készülékben: a megsavanyított vízbe merülő elektródokon hidrogén-, ill. oxigéngáz keletkezik, és Vb kémcsövében durranógáz gyűlik össze. Ε kísérletből látható, hogy elektromos áram nemcsak szilárd vezetőkben, hanem folyadékokban is folyhatik, sőt áramnak kell tekintenünk a megosztógép sarkai között átütő szikrát is. A ritkított gázokon áthaladó áram hatására a gáz fényt bocsát ki anélkül, hogy észrevehetően felmelegednék; ezt a (közvetett) hatást az Áram fényhatásának nevezhetjük.

172,4. ábra -

kepek/172_4_abra.jpg


Mindezek a hatások kimutathatók egy eléggé nagy kapacitású leideni palack kisütése útján is. Ha a palackot igen vékony dróton keresztül sütjük ki, a drót a hőhatás folytán elég; sokmenetű tekercsen való kisütéskor a tekercs belsejében torziós szálon függő mágnestű elfordul; a kisütéskor keletkező szikra hatására a káliumjodid-oldattal megnedvesített papiros lila színűvé válik; a ritkított gázt tartalmazó cső elektródjait a palackkal összekötve, a cső felvillan.

Az áram hatásai pl. a 172,4. ábra szerinti elrendezésben erősebben jelentkeznek akkor, ha a néhány elemből álló Τ telep helyett több elemből álló telepet alkalmazunk. Kézenfekvő feltételeznünk, hogy az erősebb hatásoknak nagyobb „áramerősség” felel meg. Ezt a fogalmat pontosabban kell definiálnunk.

3. Áramerősségen vagy az áram intenzitásán (I)értjük – egyelőre huzalszerű vagy lineáris vezetőkre (vezetékekre) szorítkozva – a vezető tekintetbe vett q keresztmetszetén a kis Δt időköz alatt átáramló ΔQ töltésnek és Δt-nek a hányadosát, pontosabban ennek a Δt → 0-hoz tartozó határértékét:

I = Δ Q Δ t , pontosabban I = d Q d t . ((1). egyenlet)

Az áramerősséget – nem szabatos kifejezéssel „az időegység alatt átáramló töltést” – röviden áramnak is szokás nevezni. Megállapodás szerint az áram irányán a pozitív töltések mozgásirányát, vagy a negatív töltések mozgásával ellentétes irányt értjük. Ha a vezetőben nemcsak egynemű töltések mozognak, akkor az (l)-ben szereplő ΔQ a q keresztmetszeten áthaladó pozitív és (az ellentétes irányban áthaladó) negatív töltés abszolút értékének összegét jelenti: ΔQ = ΔQ+ +| ΔQ_ |.

A fenti definíció alapján I dimenziója: töltés/idő, és ezért (153,4–5)-re való tekintettel

a z á r a m e r ő s s é g   C G S - e g y s é g e : 1  cm 3 / 2 g 1 / 2 s 2 =   1  Fr s 1 , M K S A - e g y s é g e : 1 a m p e r ( A )   =   1  C s 1 =   3 10 9 CGS-egység . ((2). egyenlet) [53]

1 CGS-egységnyi, ill. 1 A erősségű tehát az az áram, amelynek esetében a vezető kérdéses keresztmetszetén 1 s alatt 1 franklin, ill. 1 coulomb töltés halad át. Mindjárt itt megjegyezzük, hogy ha egy lineáris vezetőszakasz valamely q1keresztmetszetén átfolyó áram erőssége I, és ez az időben nem változik, akkor a vezető bármely q keresztmetszetén is I intenzitású az áram, mert egyébként a vezető egyes helyein töltések gyülemlenének össze (1. 174. §).

Az áramerősség gyakran használatos egységei még: a kiloamper (1 kA = 103 A), a milliamper (1 mA = 10–3 A) és a mikroamper (1 μΑ = 10–6 A).

Az áramerősség mérésére az áram különböző hatásainak felhasználásával sokfajta műszer szerkeszthető (részletesebben l. később), pl. a mágneses hatáson alapuló érzékeny galvanométer mutatója ugyanolyan okból tér ki nyugalmi helyzetéből, mint előbbi kísérleteinkben a mágnestű. Hogy az áramerősséget CGS-egységben, ill. amperben megadhassuk, a műszer skáláját valamelyik egységben hitelesíteni kell. Eddigi tárgyalásunk alapján a hitelesítés CGS-egységben valósítható meg (amperben csak közvetve, a közölt 1 A = 3·109 CGS-egység összefüggés elfogadásával), a 172,5. ábrán vázolt módon. A T telep, amelynek U feszültsége az Ε elektrométerrel megmérhető (161. § 3.), az óraszerkezettel mozgatott Κ kontaktus 1 helyzetében U feszültségre tölti fel az ismert C kapacitású kondenzátort, és ez K-nak 2 helyzetében a G galvanométeren át kisül.

172,5. ábra -

kepek/172_5_abra.jpg


Minden kisüléskor CU töltés halad át G-n, tehát K-nak ν frekvenciával való mozgatása esetén az áramerősség (mint „az időegység alatt áthaladó töltés”):

I = v C U . ((3). egyenlet)

Ha a v, C vagy U változtatásával nyert különböző I értékeket G skáláján megjelöljük,[54] a műszer ezután felhasználható ismeretlen erősségű áramok mérésére. A gyakorlatban a skálát amperban vagy törtrészeiben (mA, μΑ) hitelesítik, az előzőnél sokkal pontosabb módszerekkel.

Galvanométer és más árammérő műszer – amperekben való hitelesítés esetén ampermérő (A)a mérendő áramot az F „fogyasztóhoz” (pl. izzólámpához) vivő vezetékbe a 172,6a ábra szerint, az F-fel sorba kapcsolva iktatandó be. A fogyasztó két pólusa között fennálló feszültség mérésére a már ismert elektrométereken kívül alkalmasak az árammérőkhöz hasonló felépítésű feszültségmérő műszerek vagy voltmérők is; a voltmérőt (V) a fogyasztó pólusaihoz a 172,6b ábra szerint, az F-fel párhuzamosan kapcsoljuk.

172,6. ábra -

kepek/172_6_abra.jpg


4. A stacionárius áram (egyenáram). Az elektromos áram erőssége általában függ az időtől, pl. a 172,1a ábrán vázolt kondenzátorkisülésnél monoton csökken (az idővel exponenciálisan), a 172,5. ábra szerinti kísérletben az áram periodikusan „lüktet”, a „hálózati áram” pedig általában váltakozó áram, amelynek iránya és intenzitása periodikusan, többnyire az I = I0 sin ωt függvény szerint változik. A 172,2a és 3. ábrán vázolt kísérletekkel jól megközelíthető határesetben az áram intenzitása időben állandó, és a vezető bármely keresztmetszetén ugyanaz; az ilyen áram stacionárius áram vagy egyenáram: I = const.

Az áramerősség (1) definíciójából következik, hogy egy lineáris vezető valamely keresztmetszetén a dt idő alatt dQ = Idt töltés áramlik át, és így a t = 0-tól t = τ-ig terjedő időközben az adott keresztmetszeten a tetszőleges I = I(t)erősségű áram által átszállított töltés:

Q = 0 τ I ( t ) d t , egyenáram esetén Q = I τ . ((4a–b). egyenlet)

A (4b) egyenlet alapján könnyen kiszámítható pl., hogy a 4 V-os telepből táplált zseblámpa izzóján átfolyó, 0,2 A erősségű egyenáram 1 óra alatt akkora (ti. 720 coulomb) töltés áthaladásával jár együtt, amellyel a Földet mint vezető gömböt elméletileg csaknem 100 000 V pontenciálra lehetne feltölteni!

A változatlan irányú, de periodikusan (T periódusidővel) változó intenzitású „lüktető egyenáram” gyakran az egyenáraméhoz hasonló hatást vált ki. Ilyenkor az I = I(t)lüktető egyenáram a meggondolásokban, (4a) alapján, egyI=1T0TI(t)dtintenzitású stacionárius árammal helyettesíthető.

A következőkben lényegileg a stacionárius áram esetében észlelhető jelenségekkel és értelmezésükkel foglalkozunk.

173. §. Ohm törvénye és az ellenállás. A fémek fajlagos ellenállásának hőmérsékletfüggése

1. Ohm törvénye homogén vezetőre. Az előzők szerint egy vezetőben – pl. hosszabb konstantán drótban – a két vége közt létesített feszültség hatására áram folyik. Az áram erőssége (I)és a feszültség (U) közti összefüggés ampermérő és elektrométer (voltmérő[55]) segítségével a 173,1. ábrán vázolt módon tanulmányozható. Ha a D drót A és Β végpontjai közötti feszültséget az elemek (akkumulátorcellák) számának változtatásával 2-szeresre, 3-szorosra, ... növeljük, akkor – amíg a drótnak az áram hőhatásából származó felmelegedése nem jelentős, ill. a drót hőmérsékletét állandó értéken tartjuk – az ampermérő 2-szer, 3-szor, ... nagyobb áramerősséget jelez: I arányos U-val.

173,1. ábra -

kepek/173_1_abra.jpg


Ezt az egyelőre fémes vezetőkre vonatkozó tapasztalatot rögzíti le Ohm törvénye (1827): Egy homogén vezetőben (vezetőszakaszban) folyó áram erőssége – a hőmérséklet és más külső feltételek állandósága esetén – arányos a vezető két vége közti feszültséggel:

I = U R , vagy I = G U . ((1). egyenlet)

R a vezetőre jellemző, I-től és U-tól független állandó, a vezető ellenállása; G = 1/R a vezetőképesség (a műszaki irodalomban: vezetés). Az Ohm-törvény másik megfogalmazása: Ha homogén vezetőben I intenzitású áram folyik, a vezető két vége között az I-vel arányos

U = I R ((2). egyenlet)

feszültség vagy „feszültségesés” áll fenn, feltéve, hogy a vezető hőmérsékletét állandó értéken tartjuk.

A feszültség és az áramerősség közti összefüggést az elektrosztatikából jól ismert eszközökkel is tanulmányozhatjuk.

A 173,2. ábrán vázolt kísérletben a feltöltött leideni palack A belső fegyverzetéhez kötött f kender-fonálon keresztül a fonál Β végével összekapcsolt elektroszkóp feltöltődik, lemeze a földelt D fémlaphoz ér, majd visszaesik, és ez a jelenség periodikusan ismétlődik. A bizonyos idő alatti kiütések száma arányos a fonálon átfolyó áram intenzitásával, mert az elektroszkóp lemeze minden kiütés alkalmával ugyanazt a töltést adja át a földelt lapnak. így a kiütések gyakoriságának meghatározásával az f-en áthaladó áram I erősségét „mérhetjük”, az A és Β közötti U feszültség pedig – amely a kísérlet tartama alatt állandónak vehető, és eléggé érzékeny elektroszkóp alkalmazásakor az A és D közti feszültséggel gyakorlatilag egyenlő – a bal oldali elektrométeren olvasható le. Ε kísérletek (amelyek egyikében pl. 10 s alatt 1500 V feszültségnél 8, 3000 V feszültségnél pedig 16 kiütést észleltünk) szintén azt bizonyítják, hogy I és U között arányosság áll fenn.

173,2. ábra -

kepek/173_2_abra.jpg


Ha berendezésünkben az elektroszkópot ismert C kapacitású fonalas elektrométerrel helyettesítjük, akkor az áramerősséget valóban – tehát nemcsak egy ismeretlen szorzó erejéig – meg is mérhetjük. A Δt idő alatt az elektrométerre áramló töltés a kapacitás definíciója szerint: ΔQ = CΔU, ahol ΔU, a Δt idő alatti feszültségnövekedés, az elektrométeren leolvasható. Így az áramerősség:

I = Δ Q Δ t = C Δ U Δ t . ((3). egyenlet)

(Ha U-t és C-t CGS-egységekben mérjük, I-t is CGS-egységben kapjuk, ha pedig (U-t voltban, C-t faradban fejezzük ki, I amperben adódik; Δt mindkét esetben secundumban fejezendő ki.) Ez a módszer, az áramerősség-mérés elektrométer feltöltődése alapján, még ma is használatos igen gyenge áramok mérésére.

2. Az elektromos ellenállás; fajlagos ellenállás és vezetőképesség. Definíció szerint egy vezető ellenállása avezető két vége közötti U feszültségnek és az átfolyó áram I erősségének a hányadosa:

R = U I . ((4). egyenlet)

Ez a mennyiség, ha a vezetőre érvényes Ohm törvénye, állandó hőmérsékleten független az intenzitástól és a feszültségtől. Dimenziója: feszültség/áramerősség, s így (157,4–5) és (172,2) alapján

a z e l l e n á l l á s   C G S - e g y s é g e : 1  cm 1 s , M K S A - e g y s é g e : 1  V/A = 1 o h m ( Ω ) = 1 9 10 11  CGS-egység ((5). egyenlet)

[pontosabban: 1 Ω = 1/(8,987·1011) CGS-egység]. 1 CGS-egység, ill. 1 ohm annak a vezetőnek az ellenállása, amelyben a két végpont közti 1 CGS-egységnyi, ill. 1 volt feszültség esetén 1 CGS-egységnyi, ill. 1 amper erősségű áram folyik. Gyakran használt nagyobb egységek: 1 kiloohm (1 kΩ = 103Ω), 1 megohm (1 ΜΩ = 106Ω). A G = 1/R vezetőképesség CGS-egysége: l cm s–1; MKSA-egysége: 1 siemens (S) = 1 A/V ≈ 9·1011cm s–1.

Az ellenállás mérése elvileg legegyszerűbben az R = U/I definíció alapján, volt- és ampermérővel lehetséges. Ha pl. a 173,1. ábra szerinti kísérletben a gyakorlatilag állandó hőmérsékletű konstantán dróton U = 2Vmellett I = 0,1 A (4 V-nál pedig 0,2 A) erősségű áram folyik át, a drót ellenállása: R = 20Ω. További mérési módszerekről a 177. §-ban.

Különböző hosszúságú, keresztmetszetű és anyagi minőségű vezetők ellenállásának mérése útján megállapíthatjuk, hogy egy lineáris vezető ellenállása arányos a hosszúsággal (l), és fordítva arányos a keresztmetszettel (q):

R = ϱ l q . ((6). egyenlet)

A ϱ arányossági tényező a vezető méreteitől független, az anyagi minőségre jellemző állandó, neve fajlagos (specifikus) ellenállás. Dimenziója: ellenállás × hosszúság, és így (6) alapján

a   f a j l a g o s e l l e n á l l á s   C G S - e g y s é g e : 1  s , M K S A - e g y s é g e : Ω 1 9 10 9  CGS-egység . ((7). egyenlet)

Az Ωm-ben kifejezett fajlagos ellenállás számértéke, mint (6)-ból látható, az 1 m hosszú és 1 m2 keresztmetszetű vezető Ω-ban megadott ellenállását jelenti. Mivel a vezetékek keresztmetszetét célszerűbb m2 helyett mm2-ben kifejezni, a táblázatok rendszerint a 106ϱ [Ωm]-t vagy – ami ugyanaz – az

1 Ω mm 2 m = 10 6 Ω m ((8). egyenlet)

egységben kifejezett fajlagos ellenállást adják meg,[56] amely számértékben az 1 m hosszú és 1 mm2 keresztmetszetű vezető Ω-ban kifejezett ellenállása. Ez pl. a vörösréz esetében 0,017 Ω, 1. a 2. táblázatot.

A fajlagos ellenállás reciproka a fajlagos vezetőképesség (a műszaki irodalomban fajlagos vezetés):

σ = 1 ϱ . ((9). egyenlet)

σ egységei a specifikus ellenállás egységeinek reciprokai, tehát (7)–(9) alapján σ CGS-egysége az 1 s–1, MKSA-egysége az 1 Ω–1m–1, de e helyett inkább az 1 Ω–1 m/mm2 = 106 Ω–1m–1 egységet használják. Az utóbbi egységben kifejezett σ – vagy pedig 10–6σ [Ω–1m–1] – számértékben annak a kérdéses anyagból készült 1 mm2 keresztmetszetű vezetéknek m-ben számított hosszúsága, amely vezeték éppen 1 Ω ellenállású. A 2. táblázat szerint ez a hosszúság pl. a vörösréz esetében 59 m.[57]

2. táblázat - Néhány anyag fajlagos ellenállása (ϱ), fajlagos vezetőképessége (σ) és hőmérsékleti tényezője (α) 20 °C-on

Anyag

106ϱ[Ωm]

10–6σ[Ω–1m–1]

103α[l/°C]

Ezüst

0,016

62,5

4,1

Vörösréz

0,017

58,8

4,0

Arany

0,023

43,5

4,0

Alumínium

0,032

31,3

3,6

Vas

0,09-0,15

11,1-6,7

4,5-6,0

Platina

0,11-0,14

9,1-7,1

3,9-2,0

Higany

0,958

1,04

0,92

Szén

50-100

0,02-0,01

-0,8-(-0,2)

Sárgaréz

0,07-0,09

14-11

1,5

Manganin

0,42

2,38

≈ 0,02

Konstantán

0,50

2,00

≈ 0,03

Üveg

≈1017

≈10–17

 

Porcelán

≈1018

≈10–18

 

Borostyánkő

≈1022

≈10–22

 

A ϱ fajlagos ellenállás, ill. a σ vezetőképesség a legfontosabb anyagállandók közé tartozik. A 2. táblázat a jó vezetők és a jó szigetelők ϱ és σ értékeire tüntet fel néhány példát. Megállapodás szerint általában azokat az anyagokat hívják szigetelőknek (dielektrikumoknak), amelyek fajlagos ellenállása kb. 108 Ω m-nél nagyobb. Megjegyzendő, hogy a táblázatban szereplő fémek polikristályos tiszta fémek, ill. ötvözetek. A nem szabályos rendszerbe tartozó egykristályok esetében ϱ és σ erősen függ az áramnak a kristálytengelyekhez viszonyított irányától.

3. Az ellenállás hőmérsékletfüggése. Ha izzólámpával sorba kapcsolt vasdrót spirálist gázlánggal melegítünk (173,3. ábra), a lámpa halványabban ég, a vasdrót helyébe iktatott szénrúdnak a melegítésekor viszont erősebben izzik. Ezek és hasonló kísérletek tanúsága szerint az ellenállás általában függ a hőmérséklettől, éspedig növekvő hőmérséklettel a fémek ellenállása nő, a széné, a félvezetőké és az elektrolitoké pedig általában csökken.[58]

173,3. ábra -

kepek/173_3_abra.jpg


A most következőkben csak a fémekkel foglalkozunk, az elektrolitokkal és a félvezetőkkel a későbbi D és F fejezetekben.

Közönséges hőmérsékleten és nem nagyon nagy intervallumban – pl. 0 °C és 100 °C között – a legtöbb fém ϱ fajlagos ellenállásának (ill. R ellenállásának[59]) relatív megváltozása igen jó közelítésben arányos a hőmérséklet-változással:

ϱ ϱ 0 ϱ 0 ( R R 0 R 0 ) = α ( t t 0 ) , vagy ϱ = ϱ 0 [ 1 + α ( t t 0 ) ] . ((10a–b). egyenlet)

Itt ϱ a t, ϱ0pedig a (többnyire 0 °C-nak vagy 20 °C-nak választott) t0kiindulási hőmérséklethez tartozó fajlagos ellenállás, a fok–1 dimenziójú α együttható pedig az ellenállás hőmérsékleti tényezője (temperatúra-koefficiense), amelynek számértéke az l°-os melegedésre eső relatív ellenállás-változást adja meg.

A 2. táblázat 4. oszlopa α-nak a 0 °C–100 °C intervallumhoz tartozó átlagos értékeit tartalmazza: α = (ϱ100 ϱ0)/100ϱ0.

A tiszta fémek α-értéke sok esetben közelítőleg megegyezik a gáztörvényekben szereplő β = 1/273° hőtágulási tényezővel, ami azt jelenti, hogy ϱ durva megközelítésben arányos a Τ abszolút hőmérséklettel:

λ σ = const T , ((11). egyenlet)

azaz λ/σ arányos az abszolút hőmérséklettel (l. még 203. §).

174. §. Az áramsűrűség. Ohm törvényének mélyebb jelentése és általánosítása

1. Az áramsűrűség; Ohm törvényének differenciális alakja. Hosszú és keskeny üvegkádba öntött higanyon vezessünk át áramot (174,1. ábra), és az üvegrúdba forrasztott elektródok anyagával megegyező anyagú Κ fémkontaktus segítségével vizsgáljuk meg, hogyan változik helyről helyre az elektromos potenciál a vezető – a higany – belsejében.

174,1. ábra -

kepek/174_1_abra.jpg


Azt tapasztaljuk, hogy az áram irányára merőleges f1,f2, ... sík felületek ekvipotenciális felületek, és ebből a 157. § 3. alapján arra következtethetünk, hogy az áram átjárta vezető belsejében az áram irányával megegyező irányú Ε elektromos térerősség van jelen. (Áram hiányában az elektrosztatika egyik jól ismert törvénye szerint a térerősség a vezető belsejében zérus!) Az l hosszúságú és állandó q keresztmetszetű higanyoszlopra alkalmazhatjuk Ohm törvényét:

I = U R = U ϱ l q = σ E q , ((1). egyenlet)

ahol σ = 1/ϱ a vezetőképesség, E = U/l pedig a térerősség nagysága. (1) a J = I/q áramsűrűségnek, vagyis az egységnyi keresztmetszetre vonatkoztatott áramerősségnek a bevezetésével a következő alakot ölti:

J = σ E . ((2). egyenlet)

Kiterjedt (nem lineáris.) vezetők belsejében az ekvipotenciális felületek általában görbülteknek mutatkoznak (174,2. ábra), és az I áram iránya sem értelmezhető közvetlenül.

174,2. ábra -

kepek/174_2_abra.jpg


A kiterjedt vezető felosztható azonban olyan fonalszerű részekre, áramfonalakra (egy ilyent tüntet fel a 174,3. ábrán a vonalkázott rész), amelyek az ekvipotenciális felületekre merőlegesek. Ezek az áramfonalak a töltések áramlása szempontjából hasonló szerepet töltenek be, mint a folyadékáramlásnál értelmezett áramfonalak (75 § 2.): az áramló töltések az áramfonal oldalsó határán, az „áramcső” falán nem lépnek át. Most már az áramsűrűséget általánosabban, mint vektormennyiséget értelmezhetjük.

174,3. ábra -

kepek/174_3_abra.jpg


Ha egy igen keskeny áramfonalnak a Ρ pontot tartalmazó df keresztmetszetén (174,3. ábra) dI erősségű áram halad át, akkor a vezető Ρ pontjához tartozó J áramsűrűség-vektor nagysága:

J = d l d f , ((3). egyenlet)

iránya pedig a pozitív töltések áramlásának iránya (a negatív töltések áramlásáéval ellentétes irány). J mint a hely függvénye vektorteret jelent, amely az áramvonalakkal (J-vonalakkal) hasonlóan szemléltethető, mint pl. az Ε elektromos vagy a Η mágneses térerősség az erővonalakkal. A vezetőben felvett f felületdarabnak (a 174,3. ábrán a szaggatott vonal) egy n normálisú df elemén nyilván Jndf erősségű áram folyik át, úgyhogy a tetszőleges f felületen átfolyó áram erőssége:

I = ( f ) J n d f . ((4). egyenlet)

Az I tehát a J-nek az f felületen átmenő fluxusa, a (155,6) alatti erőfluxus analogonja.

Ezek után az Ohm-törvényből nyert (2) egyenletet a Ρ pont helyén felvett, df keresztmetszetű és dl hosszúságú elemi hengerre is alkalmazhatjuk, éspedig – mivel J és Ε egy irányú vektorok, ti. mindkettő a pozitív töltések áramlásának irányába mutat – vektori alakban:

J = σ E . ((5). egyenlet)

Ez Ohm törvényének differenciális alakja: homogén és izotrop vezető belsejének bármely pontjában az áramsűrűség az ottani elektromos térerősség és a fajlagos vezetőképesség szorzatával egyenlő.[60]Mint az a J = σΕ, D = εE és Β = μΗ egyenletekből látható, σ az ε dielektromos állandóhoz és a μ mágneses permeabilitáshoz hasonló fontosságú anyagállandó.[61] Az Ohm-törvénynek eleget tevő vezetőknél σ független az Εtérerősségtől (állandó hőmérsékleten); ez Ohm törvényének mélyebb jelentése.

2. A stacionárius áram J áramsűrűség-vektorának mint a hely függvényének – más szóval az áramvonal-eloszlásnak – számítás útján való meghatározása kiterjedt vezetők esetében általában nehéz feladat. Itt csak azt a számítás alapjául szolgáló szemléletes tételt említjük meg, hogy a Jvektor tere forrásmentes, vagyis J-nek egy tetszőleges zárt felületen átmenő fluxusa zérus [ugyanúgy, mint a Β mágneses indukcióé, 1. (170,9)]:

J n d f = 0. ((6). egyenlet)

Ez a tétel könnyen belátható: (6) azt fejezi ki, hogy a felület körülzárta térfogatba az időegység alatt kívülről ugyanannyi töltés áramlik be, mint amennyi a térfogatból kilép, és ennek így is kell lennie, mert különben a térfogatban foglalt töltés időben változnék, az állapot nem lehetne stacionárius. Pl. egy keskeny áramfonalra vagy lineáris vezetőre (174,4. ábra) alkalmazva, (6) arra az ismert tételre vezet, hogy az f1 keresztmetszeten befolyó J1f1 áram egyenlő az f2-n át kilépő J2f2 árammal, vagyis az I áram erősség bármely keresztmetszeten ugyanaz:

J 1 f 1 = J 2 f 2 ( = I ) . ((7). egyenlet)

Ez a folyadékáramlásnál talált (75,4) összefüggésnek, a kontinuitási egyenlet egyik speciális esetének a megfelelője.

174,4. ábra -

kepek/174_4_abra.jpg


A forrásmentességből következik, hogy a stacionárius áram áramvonalai mindig zárt görbék – a stacionárius áram mindig zárt –, ti. források hiányában az áramvonalaknak sem kezdetük, sem végük nincsen. Pl. a 174,3. ábrán a kiterjedt vezetőben futó áramvonalak a vezetéken és az U áramforráson át záródnak. Magában a kiterjedt vezetőben – általában egy homogén vezetőnek egyszeresen összefüggő tartományában (77. § 4.) – nincsenek zárt áramvonalak, azaz ott a J vektor tere nemcsak forrásmentes, hanem örvénymentes is.

Két különböző (σ 1 és σ 2 ) vezetőképességű vezető határfelületén az áramvonalak „törést” szenvednek (174,5. ábra), teljesen hasonlóan, mint két szigetelő határán a D-vonalak (164. § 5.): tg α/tg β =σ1/σ2.

174,5. ábra -

kepek/174_5_abra.jpg


Ez a reláció közvetlenül abból következik, hogy a határfelület átlépésénél az Ε vektor érintőleges és a, J = σE vektor normális komponense változatlan marad:

E 2t = E 1t , J 2n = J 1n (vagy σ 2 E 2n = σ 1 E 1n ) , ((8a–b). egyenlet)

e két utóbbi egyenlet pedig Ε örvénymentességének(Esds=0)és J forrásmentességének(Jndf=0)a folyománya, 1. 164. § 5.

3. A fémek áramvezetésének és Ohm törvényének korpuszkuláris értelmezésénél egyelőre abból a (későbbi 203. §-ban finomítandó) elképzelésből indulunk ki, hogy a fémekben az áramot a vezetési elektronok súrlódásos mozgása közvetíti. Ha egy lineáris fémvezetőre feszültséget kapcsolunk, a fémben gyakorlatilag azonnal kialakuló Ε térerősség folytán mindegyik ( – e töltésű) elektronra – eE erő hat, és így az elektron kezdetben gyorsulással mozog a térrel ellentétes irányban. Az elektron eme irányú ν sebessége addig nő, amíg a mozgást akadályozó súrlódási erő, amelyet hidrodinamikai analógiára a v-velvehetünk arányosnak, vagyis αv alakban írhatunk, az eE mozgató erővel egyenlő nagyságú lesz: eE = αv. Ettől kezdve, a stacionárius áramlásnál, v állandó:

v = e α E . ((9). egyenlet)

(Valójában v-nátlagos sebességet kell értenünk, ti. egy-egy elektron mozgása a fém rácsszerkezetét alkotó ionokkal való gyakori „ütközés” miatt nagyon is rendszertelen.) A (9)-ből láthatóan az elektronok áramlási vagy vándorlási sebessége arányos a térerősséggel. Az egységnyi térerősségre vonatkoztatott sebességnek, a μ = v/Ε = e/α elektronmozgékonyságnak a bevezetésével v = μΕ.

A lineáris fémvezető q keresztmetszetén (174,6. ábra) dt idő alatt nyilván a qv dt térfogatban levő elektronok lépnek át.

174,6. ábra -

kepek/174_6_abra.jpg


Ha a térfogategységben n elektron van (n a pl. cm–3-ben kifejezett elektronkoncentráció), akkor a q-nátlépő elektronok száma nqv dt, összes töltésük pedig: dQ = enqv dt. Így az áramsűrűség nagysága:

J = 1 q d Q d t = e n v = e n μ E . ((10). egyenlet)

Ez az egyenlet azonban nem más, mint Ohm törvényének differenciális alakja: J = σE, ahol

σ   = n μ e ; ((11). egyenlet)

a fémek fajlagos vezetőképessége a vezetési elektronok koncentrációjának, mozgékonyságának és az elemi töltésnek a szorzatával egyenlő.

Az áram a feszültség bekapcsolásakor gyakorlatilag a vezető minden részében azonnal megindul, mert az elektromos tér, amely az áramlást megindítja, közelítőleg fénysebességgel terjed a vezetőben (233. §). Miként azonban pl. a csövekben áramló folyadék részecskéinek sebessége is sokkal kisebb az áramlást megindító nyomás terjedési sebességénél, úgy a fémekben áramló elektronok v sebessége is sokkal kisebb, mint a fénysebesség. A v-re pl. az 1 A áramot vivő, 1 mm2 keresztmetszetű rézdrót esetében a (10) alatti J = env, ill. v = J/ne egyenlet alapján adhatunk becslést. J = 1 A/mm2 = 3·1011 CGS-egység, e = 4,8·10–10 CGS-egység, n-et pedig becslésünkben az 1 cm3-ben foglalt rézatomok számával vehetjük egyenlőnek. Mivel 1 mol = 63,57 g rézben 6·1023 atom van, és a réz sűrűsége 8,9 g cm–3, n = (8,9·6·1023/63,6) cm–3 = 8,4·1022 cm–3 . Így a szóban forgó esetben az elektronok áramlási sebessége:

v = J n e = 3 10 11 8,4 10 22 4,8 10 10 cm s 1 7 10 3 cm s 1 ((12). egyenlet)

4. Ohm törvénye inhomogén vezetőre és zárt áramkörre; az elektromotoros erő. Tegyük fel, hogy egy lineáris vezető – amelynek A és Β végeire majd később feszültséget kapcsolunk – a különböző anyagú 1 és 2 vezetőkből áll (174,7. ábra).

174,7. ábra -

kepek/174_7_abra.jpg


A 168. § szerint 1 és 2 között az érintkezési felületnél kialakult kis Δs vastagságú (az ábrán túlzottan vastagnak vett) kettősréteg miatt U12 Galvani-feszültség, és ennek megfelelően az a és b közti keskeny térben E0 = U12/Δs nagyságú elektromos térerősség keletkezik. Ugyanakkor, ha a vezetőn még nem viszünk át áramot, J = 0, tehát most a J = σΕ = σΕ0 törvény nem érvényes. Fenomenológiai szempontból kézenfekvő ezt a törvényt a szóban forgó inhomogén vezetőre (az a és b közti részre) úgy általánosítanunk, hogy az U12feszültséget létrehozó, nem elektromos természetű töltésszétválasztó erőket – amelyek a határfelületnél az ábra esetén a pozitív töltést 1-re, ill. a negatív töltést 2-re juttatják – formailag egy, a kettősréteg E0 elektromos térerősségével ellentétesen egyenlő E* (= – E0) „idegen térerősség” bevezetésével vesszük figyelembe.

174,8. ábra -

kepek/174_8_abra.jpg


Így egyelőre a J = 0 áramtalan esetre a J = σ(Ε0 + Ε*) = 0 egyenletet írhatjuk fel. Ha most a rendszeren áramot vezetünk át (174,8. ábra), az áram az E* idegen térerősséget a tapasztalat szerint nem befolyásolja, E0 helyébe viszont az áram által módosított Ε térerősség lép:

J = σ ( E + E * ) . ((13). egyenlet)

Ez Ohm törvényének általánosított differenciális alakja inhomogén vezetőre, ill. „idegen térerősség” jelenléte esetén.

Ebből a törvényből egyszerűen eljuthatunk az integrális Ohm-törvény általánosabb alakjához. A (13)-at vagy (σ = 1/ϱ miatt) a ϱJ = E + E* egyenletet szorozzuk meg skalárisán a vékony vezetőnek az áramfonal irányába mutató ds vonalelemével, és integráljuk a vezető A és Β végpontjai között:

A B ϱ J d s = A B E d s + A B E d s . ((14). egyenlet)

Mivel J egy irányú ds-sel, és J =I/q-ban az I áramerősség a vezető minden helyén ugyanaz, (14) így is írható:

I A B ϱ d s q = A B E s d s + A B E s d s . ((15). egyenlet)

A bal oldalon az integrál – az elemi szakaszok ϱ ds/q ellenállásainak az összege – az AB vezetőszakasz ellenállása, RAB. A jobb oldalon az első integrál az A és Β pontok közötti feszültség, UAB. A második integrál – szintén feszültség jellegű mennyiség – definíció szerint az AB szakaszon működő „elektromotoros erő” (e. m. e.):

E A B = A B E s d s . ((16). egyenlet)

Ez az ábra esetében, amikor E* csak az 1 és 2 vezetők érintkezési helyén, az a és b közti kis Δs szakaszon belül különbözik zérustól:EAB=Eab=EsΔs(a felvett esetben Es* = –|Es*|miatt negatív, nagyságra nézve az U12Galvani-feszültséggel egyenlő érték), általánosabb esetben pedig, akárhány első- vagy másodfajú vezető érintkezésénél, az egyes érintkezési helyeken fellépő e.m.e.-k algebrai összege. Ily módon Ohm törvénye az inhomogén AB vezetőszakaszra:

I R A B = U A B + E A B . ((17). egyenlet)

Ha (15)-ben az AB szakasz helyett az egész zárt áramkörre integrálunk – amikor is a (15)-bel integrálok helyébe a „körintegrálok” lépnek –, a stacionárius áram elektromos terére is érvényes Esds =0alapvető összefüggés miatt azt kapjuk, hogy a zárt áramkörre vonatkozó Ohm-törvény:

I R = E , ((18). egyenlet)

ahol R és Eaz egész zárt áramkör ellenállása, ill. e. m. e.-je,

R = ϱ d s q , E = E s d s . ((19a–b). egyenlet)

Ha megállapodunk abban, hogy mindig az áramvonalak irányában integrálunk (pl. a 174,8. ábra esetén az óra járásával ellentétes irányban), akkor (17)-ben RABés UABpozitív,EABviszont – miként az ábra esetében – negatív is lehet; (18)-ban R is ésEis pozitív (ill. E= 0, ha a zárt kör kizárólag elsőfajú vezetőkből áll, amelyek érintkezési helyei mind egyenlő hőmérsékletűek, 1. 168. §).

5. A stacionárius áram elektromos tere a vezető környezetében – eddig csak a vezetőn belüli erőtérről beszéltünk – a 155. § 3.-ból ismert erővonal-kísérlettel mutatható ki, ha igen nagy ellenállású vezetőt, pl. grafitporral bevont papírszalagot alkalmazunk, és ennek két végére influenciagép több tízezer voltos feszültségét kapcsoljuk. Példaként egy hosszú, egyenes és közepén földelt vezető E-vonalait a 174,9. ábrán a kihúzott görbék, az ekvipotenciális felületeket pedig a szaggatott görbék mutatják. A vezető bal feléből kiinduló és jobb felén végződő erővonalak – amelyek most, a sztatikus esettel ellentétben, nem merőlegesek a felületre – azt jelentik, hogy a hengeres vezető bal, ill. jobb oldali palástján pozitív, ill. negatív felületi töltés van jelen. Könnyen belátható, hogy ez a töltés az alatt az igen rövid idő alatt jut a felületre, amíg a feszültségnek az A és Β végpontokra való kapcsolása után a stacionárius állapot kialakul; ezután a felületi töltés már változatlan marad, mert a vékony henger belsejében az E-vonalak párhuzamosak a palásttal, és így nem visznek oda töltést. (Kettős vezeték erőterét illetően 1. a 233. §-t.)

174,9. ábra -

kepek/174_9_abra.jpg


175. §. Kirchhoff törvényei. Ellenállások (fogyasztók) soros és párhuzamos kapcsolása

1. Kirchhoff törvényei. Gyakran előfordul az a feladat, hogy ismert ellenállású vezetőkből – fogyasztókból – és ismert elektromotoros erejű áramforrásokból álló rendszernek, azaz egy hálózatnak az ágaiban folyó áramokat kiszámítsuk. A feladat megoldását a Kirchhoff-féle áramelágazási törvények (1847) teszik lehetővé, ti. e törvények alapján mindig elegendő számú egyenlet írható fel a keresett áramerősségekre vonatkozólag.

a) Kirchhoff első törvénye, a „csomóponttörvény” az áramelágazási pontokra vagy csomópontokra vonatkozik: Stacionárius árammal átjárt hálózat bármely Ρ csomópontjába befolyó áramok intenzitásainak összege egyenlő a P-ből kilépő áramok intenzitásainak összegével, azaz pl. a 175,1. ábra esetében

I 1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5 ((1). egyenlet)

175,1. ábra -

kepek/175_1_abra.jpg


Ha az intenzitásokat megfelelő előjelekkel látjuk el – pl. a befolyó áramokat pozitívoknak, az elfolyókat negatívoknak tekintjük –, akkor e törvényt úgy is kifejezhetjük, hogy a csomópontban találkozó áramok algebrai összege zérus:

I k = 0. ((1a). egyenlet)

Kirchhoff első törvénye közvetlenül folyik a töltések megmaradásának elvéből és abból, hogy az áramokat stacionáriusoknak tételeztük fel: ha (1) nem teljesülne, P-ben töltések halmozódnának fel, tehát nem állna fenn időben változatlan, stacionárius állapot.[62]

b) Kirchhoff második törvénye, a „huroktörvény”, amely Ohm törvényének általánosítása, zárt áramkörökre vonatkozik: Stacionárius árammal átjárt hálózat bármely zárt áramkörében az egyes szakaszokhoz tartozó IkRk feszültségesések összege egyenlő az áramkörben ható Ekelektromotoros erők összegével, ha az Ik-kat és az Ek-kat a választott körüljárási iránynak megfelelő előjellel látjuk el. Ez utóbbi azt jelenti, hogy Ik-t és Ek-takkor vesszük pozitív előjellel, ha Ik iránya és Ekiránya (amely az áramforrás negatív sarkától a pozitív felé mutat, vagyis ama áram iránya, amelyet I1R1I2R2+I3R3I4R4I5R5=E2E3E4,létrehozna!) megegyezik a körüljárási iránnyal.

175,2. ábra -

kepek/175_2_abra.jpg


Ezek szerint pl. a 175,2. ábrán vázolt ötszakaszú áramkörre[63] a huroktörvény:

E k ((2). egyenlet)

ahol valamennyi Ikés Ekpozitív. Ha viszont a megfelelő előjeleket magukba az Ik-kba és IkRk=Ek.-kba beleértjük, akkor a huroktörvény általános alakja:

E d s = 0 ((2a). egyenlet)

A huroktörvény – amelyet kísérletileg áram-és feszültségmérő műszerekkel igazolhatunk – könnyen levezethető a differenciális Ohm-törvény (174,13) alatti általános alakjából, ϱJ = E + E*-ből. Ezt az áramkör minden helyén érvényes egyenletet az egész zárt áramkörre integrálva, aϱJds=Eds.alaptörvény figyelembevételével kapjuk:

Σ E k

A (174,14) után mondottak szerint azonban a bal, ill. a jobb oldal éppen ΣIkRk-val, ill. Ek-val egyenlő, az Ik-kat és az (ΣEk-kat a megfelelő előjelekkel együtt értve. Abban az esetben, amikor az Α, Β, ... pontokban érintkező vezetők különböző anyagúak, e pontokban fellépnek érintkezési e. m. e.-k is, de ezek összege a 168. § 2. szerint zérus, ha az A, B,... pontokban a hőmérséklet ugyanaz; különböző hőmérsékletek esetén a Eösszeg magában foglalja a zárt körben fellépő termoelektromotoros erőt is (180. §).

Ha egy áramforrás vagy generátor feszültségén az e. m. e.-vel ellentétes irányú feszültséget értjük (UG = Ui=0.), akkor (2a) alakja: ΣIkRk + ΣUGk= 0. Eszerint a huroktörvény úgy is kifejezhető, hogy a zárt áramkörben fellépő összes feszültségek (ti. az ellenállásokra eső Uk= IkRkfeszültségek és a generátorfeszültségek) algebrai összege zérus:

E , ((2b). egyenlet)

Példaként alkalmazzuk a Kirchhoff-törvényeket a 175,3. ábrán látható egyszerű hálózatra!

175,3. ábra -

kepek/175_3_abra.jpg


A csomóponttörvény (az A vagy a Β pontra vonatkozólag) egy egyenletet ad: I0= I1 + I2, a huroktörvény pedig – mivel a hálózatban 3 zárt áramkör van – 3 egyenletet: I0R0 + I1R1 =E, I0R0 + I0R0 + I2R2 = I0=I1+I2, I1R1=I2R2, I0R0=I1R1=E, I2R2 I1R1 = 0. Az utóbbiak közül csak kettő lévén független egymástól, összesen három egyenletünk van, pl.

U 1 = I R 1 , U 2 = I R 2 , U 1 = U 1 + U 2 = I ( R 1 + R 2 ) . ((3). egyenlet)

és ezekből a keresett I0, I1, I2intenzitások könnyen kiszámíthatók.

2. Sorosan és párhuzamosan kapcsolt vezetők (ellenállások vagy fogyasztók) ellenállása Ohm és Kirchhoff törvényeinek felhasználásával egyszerűen megállapítható.

a) Sorosan vagy sorba kapcsolt, R1és R2ellenállású vezetőkön (175,4. ábra) – az ilyen esetekre hallgatólagosan már eddig is alkalmazott csomóponttörvény szerint – ugyanaz az I intenzitású áram folyik át.

175,4. ábra -

kepek/175_4_abra.jpg


Ohm törvényéből tehát következik, hogy az ábrán megjelölt U1, U2és U feszültségek:

R = R 1 + R 2 + = R k . ((4a–c). egyenlet)

A sorba kapcsolt két vezető „eredő ellenállása” az az R ellenállás, amellyel a két vezető helyettesíthető anélkül, hogy U és I megváltoznék, R-re nézve nyilván U = IR, és így (4c) miatt R = R1 + R2. Általánosabban, kettőnél több ellenállásra is fennáll, hogy soros kapcsolás esetén az eredő ellenállás az egyes ellenállások összege:

U i U k = R i R k , U i U = R i R = R i R k . ((5). egyenlet)

Az U1, U2és az U feszültségek (175,4. ábra) viszonyára (4a–c)-ből kapjuk: U1/U2 = R1/R2, U1/U = R1/(R1+ R2). Általánosabban:

I 1 = U R 1 , I 2 = U R 2 , I = I 1 + I 2 = U ( 1 R 1 + 1 R 2 ) . ((6). egyenlet)

soros kapcsolásnál az ellenállásokra eső feszültségek úgy aránylanak egymáshoz, mint a megfelelő ellenállások.

b) Párhuzamosan kapcsolt R1és R2ellenállású vezetőkre a 175,5. ábra és Ohm törvénye, majd a csomóponttörvény alapján:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + = 1 R k . ((7a–c). egyenlet)

175,5. ábra -

kepek/175_5_abra.jpg


A rendszer eredő R ellenállására nézve nyilván R = U/I, vagy 1/R = I/U,azaz (7c) miatt 1/R = 1/R1 + 1/R2. Általánosabban, kettőnél több ellenállásra is fennáll, hogy párhuzamos kapcsolás esetén az eredő ellenállás reciproka az egyes ellenállások reciprokainak az összege:

I i I k = R k R i I i I = R R i , ((8). egyenlet)

Az I1, I2és I intenzitások (175,5. ábra) viszonyára (7a–c)-ből és (8)-ból kapjuk: I1/I2 = R2/R1, I1/I = R/R1.Általánosabban:

((9). egyenlet)

azaz párhuzamosan kapcsolt vezetőkben az áramintenzitások fordítva arányosak a megfelelő ellenállásokkal.

175,6. ábra -

kepek/175_6_abra.jpg


175,7. ábra -

kepek/175_7_abra.jpg


Az (5), (6), (8) és (9) egyenletek tartalma a vezetőképesség (G=l/R) fogalmának felhasználásával így foglalható össze:

S o r o s a n P á r h u z a m o s a n } k a p c s o l t   v e z e t ő k b ő l   á l l ó   r e n d s z e r   { e l l e n á l l á s a v e z e t ő k é p e s s é g e } a z   e g y e s   v e z e t ő k e l l e n á l l á s á n a k v e z e t ő k é p e s s é g é n e k } ö s s z e g e ;   a z   e g y e s   v e z e t ő k ö n   { f e l l é p ő   f e s z ü l t s é g e s é s e k á t f o l y ó   á r a m o k   e r ő s s é g e i } e g y e n e s e n   a r á n y o s a k a   v e z e t ő k   { e l l e n á l l á s a i v a l v e z e t ő k é p e s s é g e i v e l } R = 1 1 / R 1 + 1 / R 2 + R 3 .

A kettőnél több vezető bármilyen összekapcsolásából keletkező rendszerek soros és párhuzamos kapcsolások kombinációjaként tekinthetők. Pl. a 175,6. ábrán vázolt, R1 R2, R3-bólálló rendszer ellenállása:

U 1 = U R 1 R 1 + R 2 ((10). egyenlet)

3. A feszültségosztó vagy potenciométer (175,7a-b ábra) a (6) összefüggésen alapszik. Ε készülékkel a sorba kapcsolt R1és R2ellenállások A és Β végei közti U feszültségnek törtrészét állíthatjuk elő, ti. az R1ellenállás A és C végpontjairól az

E , ((11). egyenlet)

feszültség vehető le. A feszültségosztást igen gyakran csúszó kontaktusos (K)ellenállás alkalmazásával oldják meg, amikor is az A és C pontok közötti feszültség 0-tól U-ig folytonosan változtatható.

176. §. Áramforrások belső ellenállása; áramforrások kapcsolása

1. Áramforrások belső ellenállása; elektromotoros erő és kapocsfeszültség. Elektrométerrel vagy nagy ellenállású voltmérővel mérjük meg egy nyitott galvánelem – vagy más áramforrás – sarkai közti feszültséget, más szóval az elem üresjárási feszültségét vagy elektromotoros erejét (e. m. e.-jét; jelölése U0vagyE-nél. l. 168. § 4.), majd mérjük meg az Rk külső ellenálláson keresztül zárt elem sarkai közti feszültséget, az Uk kapocsfeszültséget (176,1a, ill. b ábra).

176,1. ábra -

kepek/176_1_abra.jpg


Azt találjuk, hogy Ukkisebb az IRk+IRb=E, Ennek az oka abban rejlik, hogy az áramforráson az áram éppúgy átfolyik – a negatívtól a pozitív sarokig –, mint egy stacionárius vízáramlást fenntartó szivattyún a víz, és az áramforrásnak is van eme árammal szemben ellenállása: a belső ellenállás, Rb. A zárt áramkörre Kirchhoff második törvénye szerint

U k = E I R b , ((1). egyenlet)

az Ohm-törvény alapján pedig IRk = Uk,úgyhogy a kapocsfeszültség és az e. m. e. közötti összefüggés:

E - n é l ((2). egyenlet)

tehát U k mindig kisebb I=ERb+Rk(ha I ≠ 0). Az (l)-ből nyerhető áramerősség

E ((3). egyenlet)

értékének (2)-be való behelyettesítésével adódik az UkésUk=ERkRb+Rk.közti összefüggés másik alakja:

((4). egyenlet)

Ebből leolvasható, hogy az RkRbesetben UkEa belső ellenálláshoz képest igen nagy külső ellenállás esetén a kapocsfeszültség gyakorlatilag egyenlő az e. m. e.-vel. Ezért a megfelelően nagy ellenállású voltmérőkkel az (egyébként terheletlen) áramforrások sarkain mért feszültséget az e. m. e.-vel tekinthetjük egyenlőnek. Az áramerősségre vonatkozó (3) egyenlet értelmében egy adott Imax=ERb.e. m. e.-jű és Rb belső ellenállású áramforrás annál erősebb áramot ad, minél kisebb az Rkkülső ellenállás. Az Rk= 0 határesetnek, a „rövidzárnak” megfelelő maximális áramerősség, az ún. rövidzárási áram:

E ((5). egyenlet)

Nyomatékosan megjegyzendő azonban, hogy az áramforrásokat általában csak a rövidzárási áramnál lényegesen kisebb áramerősségek mellett szabad használni, mert a megengedettnél nagyobb intenzitások esetében az áramforrások tönkremehetnek!

A nyitott és a zárt áramforrás, ill. áramkör (176,1a-b ábra) hidrodinamikai analogonja a 176,2a, ill. b ábrán látható. Az a ábrán az E-neke. m. e.-nek nagyságra nézve az a maximális ϱghenyomás(különbség) felel meg, amellyel a működésben levő Sz folyadékszivattyú az áramlás nélküli sztatikus esetben egyensúlyt képes tartani. (Pl. szívókút esetében ez a nyomás elméletileg egy he10m magas vízoszlop nyomása, 1. 74. §). ERk,a Kirchhoff-féle huroktörvényben szereplő, az áraméval megegyezőnek tekintett irányát is figyelembe véve, az e. m. e. az a ábrán a jobbról balra irányuló 1 nyíllal – a q keresztmetszet jobb oldalára ható nyomással –, az e. m. e.-vel egyensúlyt tartó elektrosztatikai feszültség pedig a 2 nyíllal szemléltethető. Az Uk kapocsfeszültség megfelelője a b ábrán az a ϱghe-nél kisebb ϱgh nyomáskülönbség), amely a külső ellenállásnak megfelelő C cső A és Β vége közt mutatkozik akkor, amikor a szivattyú az ACBSzA zárt körben stacionárius folyadékáramlást tart fenn. A C csőhöz illesztett manométerek a cső mentén létrejövő nyomásesést, az Rkmentén az Ohm-törvény szerint fennálló feszültségesés megfelelőjét jelzik. Az analógiának további, az (1)–(5) egyenleteknek megfelelő részleteit az olvasó könnyen átgondolhatja.

176,2. ábra -

kepek/176_2_abra.jpg


Az áramforrás belső ellenállása a mérési adatokból könnyen kiszámítható. Pl. (4)-böl következik: Uk(Rb + Rk) =Rb=EUkUkRkés innen

R b = 1,5 1,3 1,3 10 Ω 1,5 Ω . ((6). egyenlet)

A 176,1. ábrán feltüntetett értékekből pl. E

a rövidzárási áram pedig ≈1 A.

A fizikai meggondolások szempontjából bármely egyenáramú áramforrás helyettesíthető egy olyan kétpólusú kapcsolási elemmel (az A, Β „aktív kétpólussa”, 176,3. ábra), amely egy Ee. m. e.-jű és zérus belső ellenállású, idealizált telepből és az ezzel sorba kapcsolt Rbellenállásból áll. A galvánelemek és akkumulátorok esetébenEés Rbcsaknem független a terheléstől, vagyis az I áramerősségtől, viszont pl. egy főáramkörű dinamó e. m. e.-je erősen függ az I-től (222. §).

176,3. ábra -

kepek/176_3_abra.jpg


2. Áramforrások kapcsolása. Ha egy elem vagy egyéb áramforrás – a következőkben a rövidség kedvéért csak elemet említünk – nem szolgáltathat elegendő nagy feszültséget vagy áramot, akkor több elemet teleppé kapcsolunk össze.

a) Soros kapcsolás esetén (176,4. ábra) a telepEie. m. e.-je, ill. Rbbelső ellenállása nyilvánvalóan az egyes elemek E=E i,Rb=Rbi.e. m. e.-inek, ill. Rbibelső ellenállásainak az összege: I=E iRbi+Rk, Így az Rk ellenállású fogyasztón átfolyó áram erőssége :

E 1 ((7). egyenlet)

176,4. ábra -

kepek/176_4_abra.jpg


speciálisan n számú egyforma elem (I=nE 1nRb1+Rk., Rb1) sorba kapcsolásánál

((8). egyenlet)

Ha RknRb1, akkor I /Rk, vagyis az áram közelítőleg n-szerese az egyetlen elemmel elérhető áramnak. Az RknRbesetben viszont I /Rb1azaz I gyakorlatilag ugyanakkora, mint egyetlen elem rövidzárási árama, tehát most a soros kapcsolás nem jár haszonnal. Eszerint a soros kapcsolás akkor előnyös, ha a külső ellenállás nagy a telep belső ellenállásához képest (RknRb1).

b) Párhuzamos kapcsolás, pontosabban n számú egyforma elem (E 1, Rb1)párhuzamos kapcsolása esetén (176,5. ábra)[64] a telep e. m. e.-je változatlanul I=E 1Rb1/n+Rk=E 1Rb1+nRk., belső ellenállása pedig nyilván Rb1/n, (175,8)-nak megfelelően. így az Rkellenállású fogyasztón átmenő áram erőssége:

((9). egyenlet)

176,5. ábra -

kepek/176_5_abra.jpg


Ha RkRb1/n, akkor I /Rk, úgy, mintha csak egy elemből állna a telep. Ha viszont RkRb1/n, akkor I ≈ n/Rb1, ami azt jelenti, hogy a párhuzamos kapcsolás akkor előnyös, ha a külső ellenállás kicsiny a telep belső ellenállásához képest (RkRb1/n).

c) Megfelelően nagy feszültségű és kis belső ellenállású telep gyakran csak kombinált kapcsolás (176,6. ábra) útján állítható össze. Ha adott külső ellenállás és adott számú egyforma elem esetében maximális áramerősséget kívánunk elérni, akkor – mint azt ki lehetne mutatni – az elemeket úgy kell összekapcsolnunk, hogy a telep belső ellenállása lehetőleg egyenlő legyen a külső ellenállással.

176,6. ábra -

kepek/176_6_abra.jpg


3. A potenciométer mint áramforrás. Több kapcsolási elemből összetett áramforrásra példa a 176,7. ábrán vázolt potenciométer. Az ennek A és C sarkai közé kapcsolt Rkellenállású fogyasztón áthaladó I áram az Ohm-törvény és a huroktörvény alkalmazásával könnyen kiszámítható, de még egyszerűbben juthatunk célhoz az alábbi módon.

176,7. ábra -

kepek/176_7_abra.jpg


Ha Rk egyelőre nincs bekapcsolva, akkor – a 175. § 3. értelmében – az Rbbelső ellenállású Τ telep Ee. m. e.-jéből az R1ellenállásra eső E=ER 1R1+R2+Rb.feszültség, amely úgy tekinthető, mint a szóban forgó AC áramforrás („aktív kétpólus”) e. m. e.-je, a következő:

1 R b = 1 R 1 + 1 R 2 + R b , R b = R 1 ( R 2 + R b ) R 1 + R 2 + R b . ((10). egyenlet)

Az AC áramforrás R'bbelső ellenállása az ábráról láthatóan az R1-nek és az ezzel párhuzamosan kapcsolt R2 + Rb-nek az eredője, azaz (175,8) alapján

I = E R b + R k = E R 1 / ( R 1 + R 2 + R b ) R 1 ( R 2 + R b ) / ( R 1 + R 2 + R b ) + R k , ((11). egyenlet)

Így az A és C pólusok közé kapcsolt Rk ellenállású fogyasztón áthaladó áram erőssége:

U k = E R  k R b + R  k . ((12). egyenlet)

az A és C közti kapocsfeszültség pedig: Uk = IRk, vagy

R 1 R 2 = R 3 R 4 ; ((13). egyenlet)

177. §. Ellenállás-készülékek. Ellenállásmérés Wheatstone-híddal. A feszültség és az áramerősség mérése kompenzációval

1. Az ellenállás-készülékek – röviden ellenállások – egyrészt az áramerősség és a feszültség szabályozására, másrészt különböző mérési célokra szolgálnak.

a) A szabályozó ellenállások (változtatható ellenállások, reosztátok) közé tartozó tolóellenállások (177,1. ábra) rendszerint porcelán hengerre csévélt, viszonylag nagy fajlagos ellenállású és kicsiny hőmérsékleti tényezőjű „ellenálláshuzalból” (krómnikkel, manganin vagy konstantán) állanak, amelyből a C csúszóérintkező segítségével hosszabb vagy rövidebb szakasz iktatható be az áramkörbe. A 177,2. ábrán vázolt a kapcsolásban közvetlenül az F fogyasztón átmenő áram erősségét, a b kapcsolásban viszont – az ismert potenciométerrel – közvetlenül az F-re jutó feszültséget szabályozzuk. A rádiótechnikában használatos potenciométerek egy része körívben meghajlított tekercsű tolóellenállás (177,3. ábra), a nagyobb ellenállású típusok pedig huzalellenállás helyett szénből vagy más „ellenállásanyagból” készült réteget tartalmaznak. Erős áramok esetén – amikor a csúszókontaktus és az ellenálláshuzal közvetlen érintkezése az erős helyi felmelegedés miatt nem engedhető meg – többnyire karos ellenállások (177,4. ábra) használatosak; ilyenek pl. az elektromotorok „indító ellenállásai”.

177,1. ábra -

kepek/177_1_abra.jpg


177,2. ábra -

kepek/177_2_abra.jpg


177,3. ábra -

kepek/177_3_abra.jpg


177,4. ábra -

kepek/177_4_abra.jpg


Rögzített értékű ellenállások gyanánt, pl. rádiótechnikai célokra, egyrészt huzalellenállásokat, gyakrabban pedig rétegellenállásokat (vékony grafit-, szilíciumkarbid- vagy porlasztott fémréteggel bevont porcelán rudacskákat, 177,5. ábra) alkalmaznak. Ezeken és a többi technikai ellenállásokon az ellenállás értéke mellett általában az ellenállás pontosságát és a terhelhetőséget is feltüntetik. Ha igen nagy ellenállásokra (>1010 Ω) van szükség, az említett rétegellenállásokon kívül tekintetbe jöhetnek alkalmas folyadékokból és elektródokból összeállított folyadék-ellenállások is.

b) A mérőellenállások – mérési célra használt ellenállások – közül rögzített értékűek a manganin drótból (bifiláris tekercseléssel, 211. §) készült, egy adott hőmérsékleten igen nagy pontossággal hitelesített normálellenállások (10–4 Ω-tól 105 Ω-ig; 177,6a-b ábra). A dugaszos ellenállásszekrény (117,7a-b ábra) A, B, C, D, ... dugaszainak kihúzásakor a gyakorlatilag elhanyagolható ellenállású vezető sínszakasz helyett a megfelelő (pl. 1, 2, 2, 5 Ω, ... nagyságú) ellenállásokat kapcsoljuk be az áramkörbe. A dekádellenállás-szekrény sorba kapcsolt karos ellenállásokból áll: a 177,8. ábra szerint az egymás után következő forgatógombokkal rendre 10n Ω (n = 1,2, ...; esetleg n =2, –1, 0, 1, ...) egész számú többszörösei állíthatók be, és így több nagyságrenden keresztül kényelmesen, 3–4 jegynyi pontossággal szabályozhatjuk a szekrény ellenállását. Kisebb pontossági igények esetén az utóbbi időben gyakorta alkalmazzák a különböző mérőpotenciométereket (177,9. ábra), amelyekben a csúszóérintkező tengelyéhez egy hitelesíthető skála előtt mozgó mutató csatlakozik.

177,5. ábra -

kepek/177_5_abra.jpg


177,6. ábra -

kepek/177_6_abra.jpg


177,7. ábra -

kepek/177_7_abra.jpg


177,8. ábra -

kepek/177_8_abra.jpg


177,9. ábra -

kepek/177_9_abra.jpg


2. Ellenállásmérés Wheatstone-híddal. Az ellenállás mérésére szolgáló több eljárás[65] közül – számos előnye miatt, pontos méréseknél – gyakran a Wheatstone-féle hídmódszer (1843) használatos. Elve a következő. A 177,10. ábrán vázolt elrendezésben a négy ellenállás egyikének változtatásával elérhető, hogy a CD vezetőszakaszba, a tulajdonképpeni hídba iktatott érzékeny galvanométer nem jelez áramot.

177,10. ábra -

kepek/177_10_abra.jpg


Ebben az esetben a C és D pontokra alkalmazott csomóponttörvény szerint I1 = I2és I3 = I4továbbá az ACD és a BCD zárt körökre vonatkozó huroktörvény értelmében R1I1 = R3I3 és R2I2 = R4I4. Az előbbi egyenletet az utóbbival elosztva, az imént talált I1 = I2és I3 = I4relációk figyelembevételével kapjuk, hogy a CD híd árammentességének feltétele:

R x = l 1 l 2 R . ((1). egyenlet)

három ellenállás ismeretében tehát a negyedik kiszámítható. A G műszernek, mivel azzal éppen az árammentességet állapítjuk meg, nem kell hitelesítettnek lennie: G mint „nullműszer” szerepel, maga a hídmódszer pedig tipikus nullmódszer.

A Wheatstone-híd egyik igen egyszerű kivitelezésénél (177,11. ábra), amely azonban csak kisebb pontosságú mérésekre alkalmas, R1és R2gyanánt egyenletes keresztmetszetű ellenálláshuzal l1és l2 hosszúságú szakaszai szerepelnek; rendszerint l1 + l2 = 1m. A C csúszókontaktus segítségével l1addig változtatandó, amíg G mutatója a Κ kapcsoló ki- és bekapcsolásakor mozdulatlanul nem marad. Ha ezt a helyzetet elértük, az ismeretlen Rx ellenállás (1) alapján és R1/R2 = l1/l2 miatt :

E ((2). egyenlet)

177,11. ábra -

kepek/177_11_abra.jpg


Az ismert R ellenállást, amelyet rendszerint ellenállásszekrényből veszünk, lehetőleg úgy választjuk meg, hogy l1 l2legyen, mert a mérés az l1 = l2esetben a legpontosabb. A Τ telep és a G galvanométer helye felcserélhető. (1) vagy (2) ekkor is érvényes.

Az l1/l2hányadost változtatjuk a viszonylag kis méretű „hengerhidakban” is (177,12. ábra), amelyeknek hengeres szigetelő testére spirálisan tekercselik fel az egyenletes keresztmetszetű ellenálláshuzalt; a csúszókontaktus többnyire kis gördülő kerék.

177,12. ábra -

kepek/177_12_abra.jpg


Pontosabb mérésekre a gyakorlatban sokszor a Wheatstone-hidak 177,13. ábrán látható formáját használják. A szekrény alakú eszközbe beépítik az R dekádellenállást és a A K kapcsolót, továbbá olyan R1és R2ellenállásokat, hogy az R1/R2viszonyt – a méréshatár kibővítése céljából – pl. 1/10, 1 és 10 értékűre lehet beállítani. Ily módon a mérésnél csupán a telepet, a nullműszert és a mérendő Rxellenállást kell a megjelölt helyen bekapcsolni, majd a dekádellenállásból a műszer nullhelyzetének megfelelő R értéket kikeresni. Az ismeretlen ellenállás: Rx = R·R1/R2.

177,13. ábra -

kepek/177_13_abra.jpg


Az eddigiekben feltételeztük, hogy a vezetődrótok ellenállása a többi ellenállásokhoz képest elhanyagolható. Igen kis ellenállások mérésénél ez nem valósul meg, de vannak olyan „hidak” – pl. a Thomson-féle „kettős híd”, – amelyekkel a vezetődrótok ellenállása kiküszöbölhető, s így nagyon kis ellenállások is pontosan megmérhetők.

A közelítő pontosságú, de gyors ellenállásmérésre használatos ohm-mérő egyik fajtája lényegében egy galvanométerből (G), beépített zseblámpatelepből és fokozatosan változtatható ellenállásokból összeállított Wheatstone-híd. A mérés most nem a híd kiegyenlítésén, hanem azon alapszik, hogy adott telep és adott R1, R2, R3ellenállások mellett a híd G műszerének kitérése az ismeretlen R4 ellenállásnak egyértékű függvénye, és ezért G skálája ellenállásra hitelesíthető.

3. A feszültség (e. m. e.) és az áramerősség mérése kompenzációval. A 177,14. ábra szerinti potenciométeres kapcsolásban, ha a mérendő Ee. m. e. kisebb a segédtelep konstans E-vel: E=IR.e. m. e.-jénél, a csúszókontaktussal mindig találhatunk az AB ellenállás(drót) mentén olyan C helyet, hogy a G galvanométer ne jelezzen áramot. Ekkor – az ACGA zárt körre alkalmazott huroktörvény szerint az A és C közti R ellenálláson fellépő IR feszültségesés egyenlő E 0Egy másik, ismert Ee. m. e.-jű áramforrást (pl. normálelemet, 193. §) kapcsolva az E 0=IR0.helyébe, a G nullhelyzetének megkeresésével adódó R0-ra nézve:EE 0=RR0,ill.EE 0=ll0,Így lehetővé válik az e. m. e.-k összehasonlítása:

E ((3a–b). egyenlet)

ha l és l0 az egyenletes keresztmetszetű AB „mérődrót” megfelelő szakaszainak hosszúságát jelentik. Ez a Poggendorff-féle kompenzációs módszer (1841), amely szintén nullmódszer, egzaktul az e. m. e.-t vagy üresjárási feszültséget szolgáltatja, mert hiszen a mérendő áramforrás a G nullhelyzetében nem ad áramot.

177,14. ábra -

kepek/177_14_abra.jpg


A fenti elven, azaz a kompenzáción vagy kiegyenlítésen alapszanak, de a pontosság növelése céljából rendszerint dekádellenállásokból állnak a feszültség, áramerősség és ellenállás igen pontos mérésére alkalmas kompenzátorok.

Pl. a Feussner-féle kompenzátor kissé egyszerűsített kapcsolását, amely pontosan megfelel a 177,14. ábra csekély módosítását jelentő 177,15. ábrán vázolt elvi kapcsolásnak, a 177,16. ábra mutatja. Az A és Β sarkok között állandóan, a K1és K2kettős forgókarok bármely állásánál RAB = 999,9 Ω az ellenállás, viszont a C és D pontok közötti RCD = R ellenállás a karok elforgatásával változtatható, az ábrán pl. R = 135,2 Ω. A feszültségmérésnél az állandó I áramerősség mellett C és D közé felváltva a mérendő E 0e. m. e.-jű elemet és az E=E 0R/R0.e. m. e.-jű normálelemet kapcsoljuk, és leolvassuk a kompenzációhoz – a műszer nullhelyzetéhez – tartozó R, ill. R0 értékeket. A keresett e. m. e., miként (3a)-ban:E

177,15. ábra -

kepek/177_15_abra.jpg


177,16. ábra -

kepek/177_16_abra.jpg


A nullműszer helyébe automatikus berendezést is lehet kapcsolni, amely R-etmindaddig változtatja, amíg a CGD ágban az áramerősség zérussá nem válik. Az ilyen típusú készülékek a kompenzográfok, amelyek alkalmasak az e. m. e. lassú változásainak a regisztrálására is.

A kompenzátorral való áramerősség-mérés egyik módja: az E 0helyébe ismert E 0e. m. e.-jű normálelemet kapcsolunk, és az R0kompenzációs ellenállást meghatározzuk; ekkor I = I=Ia+IsésIaIs=RsRa./R0 . Az ellenállásmérés úgy valósítható meg, hogy egy áramkörbe sorosan kapcsoljuk az ismeretlen R1és az ismert R2ellenállásokat, majd kompenzátorral megmérve az ezek mentén jelentkező U1és U2feszültségesést, R1-etaz R1/R2 =U1/U2aránylatból kiszámítjuk.

178. §. Az áram- és feszültségmérő műszerek kapcsolása és mérési határuk kiterjesztése

1. Az árammérők (ampermérők) a mérni kívánt áramot vivő vezetékbe az ismert módon, a kérdéses F fogyasztóval sorba kapcsolandók be (178,1a ábra). A műszernek, hogy beiktatása miatt az eredeti áramerősség minél kisebb változást szenvedjen, lehetőleg kis ellenállásúnak (Ra)kell lennie.[66]

178,1. ábra -

kepek/178_1_abra.jpg


Az árammérő mérési határa, azaz a műszerrel mérhető maximális intenzitás akként növelhető meg, hogy a 178,1b ábra szerint a műszerrel párhuzamosan megfelelő Rsellenállást, ún. söntöt (shunt-öt) kapcsolunk. Így ugyanis a mérendő I áramnak csak egy Ia nagyságú része halad át a műszeren, a többi része, Ispedig a söntön mint mellékáramkörön folyik keresztül. Az áramelágazási törvények – (175,1) és (175,9) – szerint fennáll:

R e = ( n 1 ) R v . ((1a–b). egyenlet)

Az Ι = nΙahelyettesítéssel (1a)-ból: Is = (n – 1)Ia,és így (1b)-ből: Rs = Ra/(n – 1). Ez azt jelenti, hogy az árammérő méréshatárának n-szeres megnöveléséhez szükséges sönt ellenállása:

U = E  0 R / ( R + R 0 ) ((2). egyenlet)

Pl. 1 A méréshatárú műszert 10, ill. 100 A-ig használhatunk, ha a sönt ellenállását a műszerénél 9-szer, ill. 99-szer kisebbre választjuk.

2. A feszültségmérők (voltmérők) – eltekintve most a sztatikus működésű elektrométerektől – lényegében nagy ellenállású árammérők, amelyeket tudvalevően párhuzamosan kapcsolunk azzal az F fogyasztóval, amelynek A és Β sarkai között a feszültséget mérni kívánjuk (178,2a ábra). A most mellékágat képező műszernek azért kell nagy ellenállásúnak lennie (a fogyasztó, pontosabban az AB kétpólus ellenállásához képest, l. alább), hogy bekapcsolása az eredeti áramerősség-és feszültségviszonyokat ne változtassa meg lényegesen. Ha az A, Β pontok közti feszültség U, akkor az Rv ellenállású műszer tulajdonképpen a rajta átfolyó I' = U/Ryáramot méri, de I' arányos U-val, s így a skála közvetlenül voltokra hitelesíthető.

178,2. ábra -

kepek/178_2_abra.jpg


A feszültségmérő mérési határa úgy terjeszthető ki, hogy a műszerrel sorba megfelelő Reértékű előtét-ellenállást kapcsolunk (178,2b ábra). így ugyanis a mérendő U feszültségnek csak egy része (Uv)jut a műszerre, a többi rész (Ue) az előtétre esik. A jól ismert

U = U R v R v + R b = U 1 + R b / R v ( ahol  R b = R R 0 R + R 0 ) ((3a–b). egyenlet)

egyenletekből az U = nUvhelyettesítéssel Re = (n – 1) Rvadódik, vagyis a feszültségmérő méréshatárának n-szeres megnöveléséhez szükséges előtét ellenállása:

((4). egyenlet)

Pl. 1 V méréshatárú műszert 10, ill. 100 V-ig használhatunk, ha az előtét ellenállását a műszerénél 10-szer, ill. 100-szor nagyobbra választjuk.

Gyakran használatosak olyan, áram- és feszültségmérésre egyaránt alkalmas kombinált műszerek, amelyek dobozába az alapműszeren kívül be vannak építve a söntök és az előtét-ellenállások is; ezek forgatható gombbal változtathatók, és a gomb különböző helyzeteihez a megfelelő mérési határokat tüntetik fel amperben, ill. voltban.[67]

Alapul véve pl. a 178,3. ábrát, a voltmérő bekapcsolása nélkül fennálló U és a voltmérő jelezte U'feszültség közti összefüggés a potenciométernél (176. § 3.) megismert módszerrel könnyen megállapítható. A voltmérő nélkül az R ellenállású fogyasztó A, Β sarkai úgy tekinthetők, mint egy Qcal=KUIt=(U=IR miatt)  KI2Rt=KU2Rt,e. m. e.-jű és (1/Rb = 1/R + 1/R0miatt) Rb = RR0/(R + R0)belső ellenállású áramforrás pólusai. Ha e két pólust az Rvellenállású voltmérővel mint külső ellenállással összekötjük, a feszültség az ismert (176,4) formula szerint Rv(Rv + Rb)arányban kisebb lesz: Az eredeti U feszültség a voltmérő bekapcsolásával az

K = 0,239 cal VAs ( = 0,239 cal joule = 0,239 10 7 cal erg ) . ((5). egyenlet)

értékre csökken; az eltérés akkor hanyagolható el ha a voltmérő R v ellenállása igen nagy az AB „kétpólus” R b ellenállásához képest.

178,3. ábra -

kepek/178_3_abra.jpg


A fenti eredményben rejlik a magyarázata pl. annak az első pillanatra meglepő tapasztalatnak hogy a 178,4. ábra esetében egy voltmérő az A és B, valamint a Β és C sarkok között nem az A, C sarkok közt mért 2V feszültség felét, azaz nem U = 1V-ot, hanem csak U' = 0,2 V-ot mutatott. A magyarázat: az AC kétpólus ellenállása az elem gyakorlatilag elhanyagolható ellenállása miatt igen kicsiny, az AB és a BC kétpólus ellenállása viszon egyenként Rb = 5000/2 Ω = 2500 Ω; így az (5) alatti U/U' = 5 = 1+Rb/Rvegyenletből Rv =Rb/4 = 625 Ω, vagyis az alkalmazott demonstrációs műszernél az RvRbfeltétel egyáltalán nem teljesült!

178,4. ábra -

kepek/178_4_abra.jpg




[53] Pontosabban: 1 A = 2,9979·109 CGS-egység (l. 153. §). Az ampernek mint egységnek a megválasztására és realizálására nézve l. a 181. és 183. §-t

[54] Pl. C = 900 cm (= 10–3 μF), v = 5 Hz és U = 1/30 CGS-egység (= 10 V) esetén I = 150 CGS-egység (= 5·10–8 A). – A (3) szerinti I egy „lüktető áram” idő szerinti átlagértéke, de ez a körülmény megfelelő felépítésű galvanométer hitelesítésénél nem játszik lényeges szerepet.

[55] Elektrométer helyett voltmérőt alkalmazva, az ampermérőn (I)nemcsak az AB vezetőszakaszt átjáró áram halad át, hanem a voltmérőn (U)átfolyó is de ez az utóbbi áram rendszerint elhanyagolható (ha ti. elég nagy a voltmérő „ellenállása”, 1. 178. §).

[56] A ϱ egységéül használatos az l Ωcm (= 10–2 Ωm = 104 Ωmm2/m),a σ egységéül az 1 Ω–1 cm–1 egység is.

[57] A rézhuzalok σ nagy értéke miatt igen alkalmasak vezetékekként, de az utóbbi időben elterjedtek a réznél kisebb sűrűségű alumíniumból készült vezetékek is. – A 0 °C hőmérsékletű, 106,300 cm hosszúságú és 1 mm2 keresztmetszetű higanyoszlop ellenállása, az ún. internacionális ohm, amely 1908-tól 1947-ig alapegységként szolgált, csak igen kevéssel tér el a jelenlegi 1 Ω vagy „abszolút ohm” egységtől (1 Ωint = 1,000 49 Ωabs).

[58] A fémek és a szén e szempontból való különböző viselkedése pl. abban is megnyilvánul, hogy a fémszálas izzólámpa közvetlenül a bekapcsolás után teljes fényerősséggel ég, a szénszálas viszont csak kb. 1 s múlva.

[59] A hőtágulásból származó kis méretváltozás miatt (ϱ–ϱ0)/ϱ0nem pontosan egyenlő (R–R0)/R0-lal, ti. R0 = ϱ0l0 /q0, R=ϱl/q.

[60] Az erőtérfelfogásnak az Ohm-törvény közvetlen kísérletekkel nyert U = IR alakja helyett az (5) alak felel meg, mert ez a vezető betöltötte tér bármely pontjára, ill. a pont közvetlen környezetére vonatkozó kijelentést tartalmaz (ezért „differenciális” alak).

[61] Anizotrop vezetők esetében J és Ε általában különböző irányúak; ekkor a két vektor közötti kapcsolat a skaláris σ mennyiség helyett a vezetőképességi tenzor segítségével fejezhető ki.

[62] Matematikailag az (1) vagy (1a) törvény a stacionárius áram J áramsűrűség-vektorának forrásmentességét kimondó; (174,6) alattiEktételből következik, ha ezt a tételt a Ρ pontot körülvevő zárt felületre alkalmazzuk.

[63] Mivel ebbe a zárt áramkörbe a hálózat többi részéből az A, B, ... csomópontokon át áramok folynak be (ill. lépnek ki onnan), az 1, 2, ... szakaszokban folyó I1 I2, ... áramok általában különböző erősségűek és irányúak. – A k-adik szakasz Rkellenállásába beleértendő az e szakaszban levő áramforrás belső ellenállása is (176. §)!

[64] Különböző e. m. e.-jű elemeket nem ajánlatos párhuzamosan kapcsolni, mert az elemeken ilyenkor már külső fogyasztó nélkül is áram folyik át.

[65] Ilyen pl. az ellenállásmérés volt- és ampermérővel (173. § 2.), továbbá az ellenállásmérés helyettesítéssel: Egy állandó e. m. e.-jű áramforrást, az ismeretlen Rxellenállást és egy árammérőt zárt körré kapcsolunk össze, megmérjük az abban folyó áram erősségét, majd az ismeretlen ellenállás helyébe átkapcsoló segítségével ellenállásszekrényt iktatunk be, és ebből kiválasztjuk azt az R0ellenállást, amelynél a műszer az előbbivel egyenlő áramerősséget jelez; ekkor nyilvánvalóan Rx = R0.

[66] A 178,1. ábra esetében az eredeti I =Rs=Ran1.intenzitás a műszer beiktatásával I' =U=Uv+UeésUeUv=ReRvcsökken, vagyis 1 + Ra/(R + R0)-szor lesz kisebb.

[67] Pl. a „Multavi” kombinált műszer alapműszerének ellenállása 10 Ω, az alapműszernek mint áram-, ill. feszültségmérőnek a végkitéréséhez 0,003 A, ill. 0,03 V tartozik.