Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

136.§. A hadronok multipólusmomentumai

136.§. A hadronok multipólusmomentumai

Vizsgáljuk most az átmeneti áramot , amely a (132,2)-vel megegyező

14.51. egyenlet - (136,1)


diagramnak felel meg, amelyben azonban a p1 és p2 vonalak különböző (M1 és M2 tömegű) részecskéket jelölnek; a k fotonvonalat itt célszerűbb kimenőnek választani: k=p1–p2. A foton ekkor virtuális és valódi egyaránt lehet: az egyetlen feltétel a k2<(M1–M2)2 teljesülése, azaz a k2=0 érték megengedett. Így a vizsgált diagram speciálisan a részecskék átalakulása mellett bekövetkező fotonemissziót is. magában foglalja. Ennek példája lehet a magállapotok bomlása is (ekkor a kezdeti és végállapot a mag két különböző állapota lesz).

A kitűzött feladattal kapcsolatban a legérdekesebb az az eset, amikor a foton hullámhossza nagy a részecske jellemző méreteihez képest (azokról a méretekről van szó, amelyeket alakfaktoruk definiál; magok esetén ezek természetesen megegyeznek a „sugárral”). Ekkor az átmeneti áramot k hatványai szerint sorba lehet fejteni.[479]

Először is megjegyezzük, hogy

14.52. egyenlet - (136,2)

Jfi=0,hak=0.


Valóban, a k→0 határesetnek a téridőben állandó potenciál felel meg. De ilyennek nincs fizikai jelentősége, nem hozhat létre semmiféle fizikaiátmenetet. Ugyanerre a következtetésre formális úton is eljuthatunk. A 132.§-ban vizsgált áramok k=0 esetén azért különböznek nullától, mivel P=p1+p2-vel arányos tagokat tartalmaznak. Ha M1≠M2, akkorPk≠0, azaz az ilyen tagokat az árammegmaradás, követelménye kiszűri.

A Jfi=(ϱfi,Jfi) áram transzverzalitási feltételét írjuk

14.53. egyenlet - (136,3)

kJfi=ωϱfi


háromdimenziós alakban. Ezt kétféle módon lehet kielégíteni:

14.54. egyenlet - (136,4)

Jfi=ωv(k,ω),ϱfi=kv(k,ω)


vagy

14.55. egyenlet - (136,5)

Jfi=k×a(k,ω),ϱfi=0


választással, ahol vés a valamilyen poláris, ill. axiális vektort jelöl. Az első esetben elektromos, a másodikban mágneses típusúáramról beszélünk. (136,2) szerint a k→0,ω→0 határesetben a vés az a vektor vagy eltűnik, vagy véges marad.

Legyen a foton energiája ω≪M1. Ekkor a visszalökődés effektusa elhanyagolható. és (az M1 részecske nyugalmi rendszerében) nyugvónak tekinthető az M2 részecske is ekkor ω adott: ω=M1–M2. A nyugvó M1 és M2 részecskék állapotait a w1 és w2 háromdimenziós spinorokkal (2s1 és 2s2 rendűek) írhatjuk le, ahol s1 és s2 a részecskék spinjei. Az átmeneti áramnak w1 és w2∗ bilineáris kombinációjának kell lennie. E spinorok szorzatából l=s1+s2,…,|s1–s2| rendű irreducibilis tenzorokat lehet összeállítani (adott l-re ezek valódi vagy pszeudotenzorok lesznek aszerint, hogy milyen M1 és M2 belső relatív paritása). E tenzorok mellett csak a k vektor áll rendelkezésünkre. Mivel az áram k szerinti sorfejtésének első tagját kívánjuk megalkotni; e mennyiségekkel a lehető legalacsonyabb k hatványt tartalmazó vektoriális kombinációt kell elkészíteni. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy a legalacsonyabb rendű tenzort skalárisan (l–1)-szer szorozzuk. Ez lesz a v poláris vagy az a axiális vektor kifejtésének első tagja.

Legyen Qlm a részecskék hullámamplitúdóiból összeállított tenzor gömbi komponense . A k komponensekből összeállított l–1 rendű tenzor komponensei |k|l–1Yl–1,m(n) alakúak (ahol n=k∕ω). A gömbi tenzorok összeadásának általános szabályai szerint [l. III. (107,3)] a v vektor gömbi komponensei a

ϑλ =(–1)λ+1il(√(4π)/(2l–1)!!)√((2l+1/l))|k|l–1× ×∑m(l–1 1 l / λ+m –λ –m)Ql,–mYl–1,λ+m(n)

alakban írhatók, ahol λ a 0,±1 értékeket veheti fel (a számtényező megválasztását l. később). A (7,16) összefüggéseket felhasználva v-t a gömbi vektorokkal is kifejezhetjük:

14.56. egyenlet - (136,6)

v=il4π|k|l1(2l1)!!l(2l+1)m(1)lmQl,m[l+1Ylm(e)(n)+lYlm(l)(n)].


(136,4)-be behelyettesítve kapjuk az átmeneti elektromos áramot (El-áram):

14.57. egyenlet - (136,7)

Jfi=il4πω|k|l1(2l1)!!l(2l+1)m(1)lmQl,m(e)[l+1Ylm(e)(n)+lYlm(l)(n)].


14.58. egyenlet - (136,8)

ϱfi=il4π|k|l(2l1)!!2l+1m(1)lmQl,m(e)Ylm(n)


[mindenütt különbséget teszünk |k|és ω között, hogy mind a valódi, mind a virtuális fotonokra (melyekre e két mennyiség nem azonos) való alkalmazás lehetőségét nyitva hagyjuk].

(136,7)-ben és (136,8)-ban feltételeztük, hogy a Qlm gömbi tenzor (melyet Qlm(e)-vel jelöltünk) valódi tenzor . Ha ez pszeudotenzor (ekkor Qlm(m)-mel jelöljük), akkor a (136,6) összefüggés az a vektor definíciója lesz. Ezt (136,5)-be helyettesítve adódik az Ml-áram (az átmeneti mágneses áram):

14.59. egyenlet - (136,9)

Jfi=il4π(2l1)!!l+1l(2l+1)|k|lm(1)lmQl,m(m)Ylm(m)(n),ϱfi=0.(136,9)


A Qlm(e) és Qlm(m) mennyiségek a hadronátmenetet jellemző elektromos, illetve mágneses multipólusmomentumok. Szerepük a hadronok elektrodinamikájában teljesen hasonló az elektronok elektrodinamikájának analóg mennyiségeivel. Míg viszont elektronrendszerre ezeket a momentumokat elvben ki lehet számolni a hullámfüggvények segítségével (mint a megfelelő operátorok mátrixelemeit), a hadronok elektrodinamikájában fenomenologikus mennyiségekként jelennek meg, melyek értékét a kísérletből kell vennünk.

E mennyiségek normálását (136,7)(136,9)-ben úgy választottuk, hogy az a 46. §-beli definíciónak megfeleljen. A norma e tulajdonságáról meggyőződhetünk, ha a (136,7)(136,9) áramokat a koordinátareprezentációbeli átmeneti áram Fourier-komponenseiként tekintjük. Ekkor az e–ikr tényezőt a

14.60. egyenlet - (136,10)

ϱfi(k)=ϱfi(r)eikrd3x


integrálban sorba fejtve, a (46,3)összefüggés révén

ϱfi(k)=4πil∑l,mYlm(n)∫ϱfi(r)Ylm∗((r/r))gl(|k|r) d3x

adódik. Az összegnek azt a legkisebb l értékű tagját tartjuk meg, amelyre az integrál nullától különböző. A gl(|k|r) függvényt |k|r≪1-re a (46,5)-beli sorfejtésének első tagjával helyettesítve, a (136,9) képletet kapjuk vissza, ha

14.61. egyenlet - (136,11)

Qlm(e)=4π2l+1rlϱfi(r)Ylmrrd3x,


ami megegyezik a (46,7)-beli definícióval.

Beláthatjuk azt is, hogy valódi foton emissziójának esetére a kapott összefüggések a már megismert eredményekbe mennek át.

Az átmenet valószínűségi amplitúdója a k=ωn impulzusú és e=(0,e) polarizációjú foton kibocsátásakor:

14.62. egyenlet - (136,12)

Mfi=e4πeJfi.


Ha a kezdeti és a végállapotban a magnak határozott spinvetülete van (MiésMf), akkor a (136,7)-(136,9) képletekben az m szerinti összegben csak egyetlen tag marad:m=Mi–Mf. Minthogy (16,23) szerint az Ylm(e)e(λ)∗ vagy Ylm(m)e(λ)∗ szorzatok (aholλ=±1 a foton helicitása és e(λ)⊥n) arányosak Dλml-lel, így visszakapjuk a 48.§-ban levezetett képleteket.

A sugárzás differenciális valószínűsége :[480]

14.63. egyenlet - (136,13)

dw=2πδ[ω(EiEf)]|Mfi|2d3k2ω(2π)3


(Ei,Ef a mag kezdeti és végenergiája). A teljes valószínűséget a polarizációraösszegezve és d3k szerint integrálva kapjuk. (136,7)-et vagy (136,9)-et (136,12)-be, majd ezt (136,13)-ba helyettesítve és az említett műveleteket elvégezve, a (46,9) [vagy a (47,2)]összefüggést kapjuk.

A (136,7)-(136,9) képletek az összes valódi foton kibocsátásának megfelelő esetet leírják. Virtuális fotonokra még egy eset lehetséges, melyet ezek a képletek nem tartalmaznak (R. H. Fowler, 1930).

Ha a kezdeti és végső magállapotok spinjei és paritásai megegyeznek; akkor hullám-amplitúdóikból előállítható egy Q0 skalár, ennek segítségével pedig egy

14.64. egyenlet - (136,14)

ϱfi=Q0k2,Jfi=Q0ωk


alakúátmeneti áram. A Q0 mennyiséget az átmenet monopólus-(E0) momentumának hívják. Valódi foton emissziója esetén az átmeneti áram megfelelő mátrixeleme eltűnik (mivel e∗k=0). A monopólus áram azonban a virtuális fotonok emissziójával kísért átmenetek forrása lehet. Sőt az s1=s2=0 esetben ez az egyetlen ilyen forrás, minthogy ekkor a többi multipólusmomentum eltűnik.

A (136,14) monopólus áram ω és k függését tekintve analóg az elektromos kvadrupólusárammal . Ennek megfelelően a Q0 momentum azonos nagyságrendű a kvadrupólusmomentummal. Ugyanerre a következtetésre jutunk, ha (136,14)-et a koordinátareprezentációbeli áram Fourier-transzformáltjaként tekintjük. (136,10)-ben az

e–ikr=1–ikr–(1/2)(kr)2+…

sorfejtést elvégezve, és feltéve, hogy az első két tag integrálja zérus, azt kapjuk, hogy

ϱfi(k)=–(1/2)∫ϱfi(r)(kr)2d3x,

vagy ϱ(r)-et gömbszimmetrikusnak véve,

ϱfi(k)=–(1/6)k2∫ϱfi(r)r2d3x.

Ezt (136,14)-gyel összehasonlítva,

14.65. egyenlet - (136,15)

Q0=16ϱfi(r)r2d3x.


E mennyiség rokonsága a kvadrupólusmomentummal nyilvánvaló.

Feladatok

1. Számítsuk ki az atom K-héjáról a mag ω gerjesztési energiájának rovására végbemenő ionizáció valószínűségét (a γ-sugarak belső konverziója) Ml-magátmenet esetén, elhanyagolva az elektron kötési energiáját és a mag erőterének hatását az elektron hullámfüggvényeire.[481]

Megoldás. A folyamatot a

14.66. egyenlet - (1)


diagram írja le, ahol p1 és p2 a mozdulatlan mag különböző állapotainak, p=(m,0) és p′=(m+ω,p′) pedig a kezdeti és a végső elektronoknak a négyesimpulzusa. E diagramhoz az

Mfi=e2(4π/q2)ū(p′)Ĵfiu(p)

amplitúdó tartozik, ahol Jfi az átmeneti áram. Az elektron végső polarizációira való összegezés a kezdetiekre való átlagolás után:

(1/2)∑polar|Mfi|2=e4(16π2/(q2)2){q2(JfiJfi∗)+4(Jfip)(Jfi∗p)}

(felhasználtuk, hogy Jfiq=0 így Jfip=Jfip′). A konverzió valószínűségét

dwkonv=2|ψi(0)|2((|p|/m)dσ)p→0

adja, ahol dσ az (136.1.1) diagramon ábrázolt szórás hatáskeresztmetszete, p=(ε,p), és ψi az atomi elektron hullámfüggvénye [K-elektronra |ψi(0)|2=(Zαm)3∕π]. A 2 szorzótényező a K-héjon elhelyezkedő két elektront veszi számba. A dσ hatáskeresztmetszetet a

dσ=2πδ(ε+ω–ε′)|Mfi|2(d3p′/2|p|2ε′(2π)3)

(vö. XIV. fejezet10. lábjegyzetével) összefüggéssel számíthatjuk ki.

M l átmenetekre a Jfi áramot (136,9)-ből kell vennünk. A dwkonv differenciális mennyiség dε′ szerinti integrálása eltünteti a δ-függvényt, a dΩ′ integrálás után viszont |Ylm(m)|2→1. Végeredményben a konverzió valószínűsége |Ql,–m(m)|2-tel fejezhető ki. (46,9) szerint azonban ugyanezzel a mennyiséggel fejezhető ki azonos magátmenet esetén a foton spontán emissziójának valószínűsége. Így végül

(wkonv/wγ)=2α(Zα)3(m/ω)(1+(2m/ω))l+1∕2

(ezt a hányadost konverziós együtthatónak nevezik).

2. Ugyanez, El átmenet esetére.

(136,7)-ből és (136,8)-ból vett átmeneti áram révén azonos módszerrel adódik, hogy

(wkonv/wγ)=2α(Zα)3(1+(l/l+1)(m2/ω2))(1+(2m/ω))l–1∕2.

3. Ugyanez, a mag monopólusátmeneteire.

Megoldás. A (136,14) átmeneti árammal adódik, hogy

wkonv=16α2(Zα)3m3ω3(1+(2m/ω))3∕2|Q0|2.

Minthogy foton monopólusemissziója nem lehetséges, |Q0|2 nem küszöbölhető ki.



[479] Az alábbiakban V. B. Bereszteckij módszerét követjük (1948).

[480] A 2πδ szorzó, amely e képletekben a (65,11)-beli (2π)4δ(4) helyett áll, abból származik, hogy a visszalökődést elhanyagolva, az impulzus nem marad meg, csak az energia.

[481] Ez a közelítés megköveteli a mag töltésének kicsiny voltát, valamint az ω gerjesztési energia elegendően nagyra választását (ugyanakkor feltesszük, hogy 1∕ω elég nagy a mag méreteihez képest). Valójában ez a közelítés nem kielégítő, a pontosabb számítás a mag Coulomb-terének figyelembevételét is megköveteli.