Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

135.§. Alacsonyenergiás tétel foton-hadron ütközés esetére

135.§. Alacsonyenergiás tétel foton-hadron ütközés esetére

A kis frekvenciák határesetében bármilyen rögzített töltött részecskén kialakuló fényszórás hatáskeresztmetszete a megfelelő klasszikus értékhez tart, melyet a Thomson-képlet ad meg. Ennek a határesetnek egy ω-tól független, Mfi(0)-lal jelölhető amplitúdó felel meg. Kiderül azonban, hogy a fotonszórás esetében (akárcsak az előző szakaszban vizsgált fékezési sugárzás esetén) nemcsak ez az első, hanem az ω szerinti sorfejtés következő tagja sem függ a hadron elektromágneses szerkezetének részleteitől:

14.40. egyenlet - (135,1)

Mfi=Mfi(0)+Mfi(1),


ahol M(1)∼ω (F. E. Low , 1954, M. Gell-Mann , M. L. Goldberger , 1954).

A vizsgált folyamatot három típusú diagram írja le:

14.41. egyenlet - (135,2)


amelyek közül az első kettőt ismét az egyrészecskés közbenső állapot jellemzi, és ennek megfelelően járulékuknak pólusszingularitása van.

A számítások során követett gondolatmenet és elvi eljárás ugyanaz, mint a 134. §-ban volt. Elegendő csak a (135,2)a–b diagramok pólusainak járulékát kiszámítani, miközben a bennük szereplő elektromágneses alakfaktorokat sztatikus értékeikkel helyettesítjük (a Ze töltéssel és a μan anomális mágneses momentummal) (134,15)-nek megfelelően.

A fékezési sugárzás esetétől eltérően azonban a bennünket érdeklő, a Compton-effektus hatáskeresztmetszetéhez adódó korrekció csak spines részecskékre nem tűnik el. A dolog lényege az, hogy fékezési sugárzásnál a spinnel kapcsolatos járulékok mellett olyanok is fellépnek, amelyek a „rugalmas” amplitúdó energiafüggésével kapcsolatosak. De a jelen esetben ez utóbbi szerepét az alakfaktorok játsszák, melyek „fizikai végekre” az energiától független állandók. Ezért fotonszórás esetén korrekciók csak a mágneses momentumból származnak, amely spintelen részecskékre mindig nulla. Az alábbiakban a fotonnak (1/2) spinű hadronon való szóródását vizsgáljuk.

A pólusdiagramok Mfi járulékára a következő kifejezést kapjuk [vö. (86,3), (86,4)]:

14.42. egyenlet - (135,3)

Mfi=4π(Ze)2eμeν(ūQμνu),


ahol

14.43. egyenlet - (135,4)

Qμν=(γμ+Sμ)p̂+k̂+MsM2(γνSν)+(γνSν)p̂k̂+MuM2(γμ+Sμ),s=(p+k)2=(p+k)2,u=(pk)2=(pk)2,(135,4)


és a rövidség kedvéért bevezettük a

14.44. egyenlet - (135,5)

μanσμλkλ=ZeSμ,μanσμλkλ=ZeSμ


jelöléseket. A p̂+M operátorokat a spinorokig cserélve és figyelembe véve azū′(p̂′–M)=(p̂–M)u=0 egyenleteket, a fenti kifejezést a következő alakra lehet hozni:

14.45. egyenlet - (135,6)

Qμν=(γμ+Sμ)k̂γν+2pν2pk+γνk̂2pν2pk(γμ+Sμ)γμk̂+2pμ2pkSν+Sνγμk̂2pμ2pkSμp̂+k̂+M2pkSνSνp̂k̂+M2pkSμ.(135,6)


Ez az írásmód (és hasonlóan a k és k′ felcserélésével kapott alak) szemmel láthatóvá teszi a (135,3) kifejezés mértékinvarianciáját, amelynek feltételei:

14.46. egyenlet - (135,7)

kμ(ūQμνu)=(ūQμνu)kν=0


(az igazolás során vegyük figyelembe, hogy k̂k̂=0,kS=k′S′=0).

Minthogy az amplitúdó pólusrésze már magában mértékinvariáns, ilyennek kell lennie a reguláris résznek is [amely tartalmazza (135,2)c) diagram járulékát is]. Ebből következik, hogy e rész k és k′ hatványai szerinti kifejtésének négyzetes tagokkal kell kezdődnie [vö. a (124,5) feltételre vonatkozó hasonló megjegyzéssel]. Más szavakkal, az amplitúdó reguláris része csak ωω′∼ω2-tel arányos tagokkal kezdődő sorból áll, azaz nem ad járulékot a bennünket érdeklő tagokhoz, melyek ω0-lal és ω1-gyel arányosak. Ez utóbbiakat következésképpen (135,3) teljességgel tartalmazza.

Kiszámításukra válasszuk a laboratóriumi vonatkoztatási rendszert, amelyben a kezdeti elektron nyugszik. A fotonokra válasszuk a háromdimenziós transzverzális mértéket, melyben e0=e0′=0. Ekkor pe=0,p′e′∗∼|p′|∼ω, és (135,6)-ból azonnal látható, hogy Mfi sorfejtésének első tagjai ω0-lal, a μan-t tartalmazó tagok pedig csak ω1-gyel arányos járulékot adnak.

A kezdeti és végső hadronok hullámamplitúdói a laboratóriumi rendszerben a szükséges pontossággal a következők:

u=√(2M)(w / 0) ū′=√(2M)(w′∗,–(w′∗/2M)(k–k′)σ),

ahol w és w′ háromdimenziós spinorok.

Közvetlen számítással jutunk a következő eredményre:

14.47. egyenlet - (135,8)

Mfi(0)=8π(Ze)2(ee)(ww),


14.48. egyenlet - (135,9)

Mfi(1)=16πiMμan2ω(wσw)(n×e)×(n×e)4πiZeμanω(wσw){n[(n×e)e]+(n×e)(ne)n[(n×e)e](n×e)(ne)2e×e},(135,9)


ahol n=k∕ω,n′=k′∕ω′.

A hatáskeresztmetszet

14.49. egyenlet - (135,10)

dσ=164π2|Mfi|2ω2M2ω2dΩ


[vö. (65,19)]. Töltött részecskén való szórásra mind Mfi(1) mind Mfi(0) nullától különböző. A megkövetelt pontosság az |Mfi(0)|2és aℜ(Mfi(0)Mfi(1)∗) tagok megtartását engedi meg |Mfi|2-ben. Az első tag adja a Thomson-hatáskeresztmetszetet , a második tag 0 lesz a fotonok és hadronok spinjére valóösszegezés után. Ezért a töltött hadronokon való szórás esetében a korrekciók csak a polarizációs effektusokban jutnak kifejezésre.

Elektromosan semleges hadronokon való szórásnálMfi(0)=0, és a hatáskeresztmetszetet|Mfi(1)|2 adja meg. A végső polarizációkra összegezve, a kezdetiekre átlagolva ez (a szokásos egységekben) a

14.50. egyenlet - (135,11)

dσ=2μ4ω22c4(2+ sin2𝜗)dΩ


eredményt adja, ahol ϑ a foton szórási szöge, az anomális mágneses momentum pedig egybeesik a μ teljes mágneses momentummal. Megjegyezzük, hogy szögfüggése szerint ez a hatáskeresztmetszet az antiszimmetrikus szórás esetének felel meg (l. a 61. § 2. feladatát).