Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

134.§. Alacsonyenergiás tétel a fékezési sugárzásra

134.§. Alacsonyenergiás tétel a fékezési sugárzásra

A 95. §-ban megvizsgáltuk a részecskék ütközése során bekövetkező fotonemisszió folyamatát abban a határesetben, amikor a foton frekvenciája nullához tart. Beláttuk, hogy a folyamat amplitúdója fordítva arányos ω-val, és egyszerűen kifejezhető ugyanennek, azonban lágy foton kibocsátása nélküli ütközésnek az amplitúdójával (ez utóbbit fogjuk az alábbiakban feltételesen a „rugalmas” szórás amplitúdójának nevezni, és Mfi(rug)-vel jelöljük).[477] Az ω szerinti következő közelítésben

14.22. egyenlet - (134,1)

Mfi=Mfi(1)+Mfi(0),


ahol az (∝ω–1) vezető taghoz az ω-tól független (∝ω0) korrekció adódik hozzá. Be fogjuk látni, hogy ez a korrekciós tag (csakúgy, mint a vezető tag) szintén kifejezhetőMfi(rug)-vel, függetlenül a hadron számunkra ismeretlen elektromágneses struktúrájának részleteitől. Ezt az állítást hívjákalacsonyenergiás tételnek a fékezési sugárzás esetében (F. E. Low , 1958).

A 95. §-ban láttuk, hagy a lágy foton emissziójának amplitúdójához a fő járulékot [amely (134,1) első tagjának felel meg] azok a diagramok adják, amelyeken a fotont közvetlenül a kezdő vagy a végső részecske emittálja. Ezek a diagramok a következő alakúak:

14.23. egyenlet - (134,2)


amiket a

14.24. egyenlet - (134,3)


típusú diagramokkal kell szembeállítanunk, amelyeken a fotonvonal a diagram belső részeiből indul ki. A (134,2) ábrákat az jellemzi, hogy két részre vághatók egy (kezdeti vagy végső) virtuális hadronvonal elvágásával . Más szavakkal, a mi szempontunkból lényeges tulajdonságuk: egyhadronos közbenső állapot lehet jelen. A 80. §-ban láttuk, hogy az unitaritási feltétel értelmében ez a tulajdonság egymagában elegendő az amplitúdó pólusszingularitásának megjelenéséhez.

0 spinű hadronok

Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy az ütköző részecskék közül csak az egyik elektromosan töltött (és így sugárzásra képes; legyen ez az első), és mindkét hadron spintelen. Az ilyen hadronok hullámamplitúdói skalárok, 1-nek vehetők.

A (134,2)a diagram pólusjáruléka az amplitúdóhoz

14.25. egyenlet - (134,4)

iMfi(a)=4πeμ(2p1μkμ)Z1eF1(p1k)2M2iΓ.


Az első tényező a k fotonnak felel meg (eμ a polarizáció négyesvektora). A második tényező a hadron elektromágneses csúcsa (a vastag pont az ábrán); ezt a(132,5) alakban írtuk fel, benne Z1e a hadron töltése, F pedig az alakfaktora. A harmadik tényező a virtuális hadron propagátor p1–k impulzussal (M a hadron tömege ). Végül az iΓ szorzó az egész maradék blokkot jelöli. Az utóbbi a „rugalmas” folyamat amplitúdójától

14.26. egyenlet - (134,5)


csak a p1 impulzusú valódi hadron p1–k impulzusú virtuális hadronra való cseréjében tér el.

(134,4) ω szerinti sorfejtésében az első tagok a következők lesznek: 1.ω-val fordítva arányos, 2.ω-tól független, de k irányától függő, 3.ω-tól és k-tól teljesen független tagok. A harmadik típusú tagok (és csakis az ilyenek) a „nemszinguláris” diagramoktól , azaz a (134,3) típusúaktól is származhatnak, melyeknek nincs pólusjárulékuk, valamint a (134,2) diagramok pólust nem tartalmazó járulékától. Meg fogjuk mutatni, hogy e tagok összességét a mértékinvariancia révén az első két típusú járulék meghatározza és így ezeket nem kell külön kiszámítani.

A „rugalmas” folyamat(134,5) amplitúdója csak két invariáns változótól függ:

14.27. egyenlet - (134,6)

s=(p1+p2)2=(p1+p2)2,t=(p2p2)2.(134,6)


A p1→p1–k helyettesítés nemcsak azt eredményezi, hogy s helyett(p1–k+p2)2-et kell írnunk, hanem egy

(p1–k)2–M2=–2p1k

új változótól való függést is bevezet, amely a p1–k impulzusnak a tömeghéjtól való eltérését jellemzi. De az amplitúdó e kicsiny paraméter szerinti sorfejtésének már elsőrendű tagja is kiküszöböli a (134,4) amplitúdó szingularitását, és így abba csak olyan tagokat ad, amelyek k-tól függetlenek. Ezek a fentebb említett okok miatt egyelőre nem érdekelnek bennünket, így arra a fontos következtetésre jutunk, hogy a (134,4)-beli Γ mennyiség helyett az Mfi(rug)(s,t) fizikai amplitúdót helyettesíthetjük be, abban csak az

14.28. egyenlet - (134,7)

s(p1+p2k)2=s2k(p1+p2)


helyettesítést végezve el. A sorfejtés első tagjai

Γ→Mfi(rug)(s,t)–2(kp1+kp2)((∂Mfi(rug)/∂s))t.

Hasonló okokból érdektelen az a tény, hogy az F elektromágneses alakfaktor olyan csúcshoz tartozik, amelynek két hadronvonala (p1 és p1–k) közül csak az egyik fizikai. Ezt nyugodtan helyettesíthetjük a 132. §-ban tekintett csúccsal, amelyhez két fizikai hadron csatlakozik alakfaktorával. Mivel ekkor a foton valódi, így F(k2)=F(0)=1.

Így (134,4)-ből kapjuk, hogy

14.29. egyenlet - (134,8)

Mfi(a)=Z1e4π2(ep1)2(kp1)Z1e4π2(ep1)12(kp1)2(p2k)Mfi(rug)s+,


ahol a pontozás a k-tól teljesen független tagokat jelöli [ugyanakkor (134,8) második tagja k irányától függ]. Hasonló módon kapjuk, hogy a (134,2)b) diagramMfi-be adott járuléka (134,8)-tól csak (p1,p2,k)-nak (p1′,p2′,–k)-ra való cseréjében különbözik. A sorfejtés vezető tagjára így az általunk már ismert

14.30. egyenlet - (134,9)

Mfi(1)=Z1e4πp1ep1kp1ep1kMfi(rug)


kifejezés adódik [vö. (95,5)].

A k-tól független tagokat meghatározhatjuk, ha a teljes amplitúdó mértékinvarianciáját követeljük meg. Nevezetesen, az amplitúdónak változatlannak kell maradnia az e∗→e∗+const⋅k helyettesítésre, azaz Mfi=eμ∗Jμ alakú kell, hogy legyen, teljesítve a kμJμ=0 mellékfeltételt. Könnyű belátni, hogy ennek elérésére (134,8)-hoz a

–2Z1e√(4π)(p2e∗)

k-tól független tagot kell hozzáadnunk, és hasonlóan kell eljárnunk a (134,2)b) diagram esetén is. Ennek eredményeként a következő végeredményt kapjuk:

14.31. egyenlet - (134,10)

Mfi(0)=2Z1e4πeμp1μ(p2k)(p1k)p2μ+p1μ(p2k)(p1k)p2μMfi(rug)s.


Ez az összefüggés a kitűzött feladat megoldása. Tömörebb alakban adható meg, ha elvégezzük a

2p2v((∂/∂s))t=((∂/∂p1v))p1′,p2,p2′

azonos átalakítást (hasonlóan ∂∕∂p1μ′-re is), és bevezetjük a

14.32. egyenlet - (134,11)

d1μ=p1μ(p1k)kνp1νp1μ


differenciáloperátorokat (hasonlóan d1μ′-re is). Ekkor[478]

14.33. egyenlet - (134,12)

Mfi(0)=Z1e4πeμ(d1μ+d1μ)Mfi(rug)


A hatáskeresztmetszetet |Mfi|2 határozza meg, amely a vizsgált pontossággal

14.34. egyenlet - (134,13)

|Mfi|2=|Mfi(1)|2+2(Mfi(1)Mfi(0)).


A második tag adja a sugárzási hatáskeresztmetszet keresett korrekcióját . A foton polarizációjára összegezve, erre a korrekcióra a következő kifejezés adódik:

14.35. egyenlet - (134,14)

4π(Z1e)2p(pk)p(pk)μ(d1+d1)μ|Mfi(rug)|2.


Tehát a sugárzás hatáskeresztmetszetéhez adódó korrekciót a „rugalmas” folyamat amplitúdójávalés s szerinti deriváltjával fejezhetjük ki.

(1/2) spinű hadronok

Legyen most a töltött részecske (1/2) spinű. Az előző számítások elvi menete változatlan marad, csak a vertexek és propagátorok konkrét alakja változik.

Az elektromágneses vertexoperátornak a (132,7) kifejezést vesszük, amely k2→0 esetén, kimenő fotonvonalra

14.36. egyenlet - (134,15)

Z1eγμ+μanσμνkν


lesz, ahol μan a hadron mágneses momentumának anomális része [vö. (132,8)]. A Γ vertexoperátor, amely a „rugalmas” folyamatot jellemzi az

14.37. egyenlet - (134,16)

iMfi(rug)=ū1iΓu1


alakban definiálandó, ahol u1=u(p1),u1′=u(p1′) a kezdeti, illetve a végső hadronok bispinor amplitúdói . A négyesimpulzusoktól való függése

14.38. egyenlet - (134,17)

Γ=f1(s,t)+(p̂2+p̂2)f2(s,t)


alakban adható meg, ahol f1és f2 invariáns amplitúdók [vö. (71,3)].

Ekkor a (134,2)a diagramnak a folyamat amplitúdójához adott járuléka,

Mfi(a)=ū1′Γ(p̂1–k̂+M/–2(p1k))√(4π)(Z1eê∗+μanσμveμ∗kv)u1,

Γ argumentumában s-et (134,7) szerint kell helyettesítenünk.

A számításokat elhagyva, a végeredményt közöljük:

14.39. egyenlet - (134,18)

Mfi(0)=4πZ1eū1(d1+d1)Γ+êk̂2(p1k)Γ+Γk̂ê2(p1k)u14πμanū1σμνeμkνMk̂(p1e)+ê(p1k)(p1k)ΓΓσμνeμkνM+k̂(p1e)ê(p1k)(p1k)u1.(134,18)


M f i (0) a hatáskeresztmetszethez adott korrekcióban (134,13) szerint lineárisan szerepel. Nyilvánvaló, hogy a μan mágneses momentum az eredményben csak μanζ1 vagy μanζ1′ alakban jelenik meg, ahol ζ a hadronok polarizációs vektora . Így a hadronok polarizációjára átlagolva a korrekciónak ez a része kiesik. Ha a foton polarizációjára is átlagolunk, akkor egyszerű átalakítások után kiderül; hogy újra csak a (134,14) képlet lesz igaz, amely a hatáskeresztmetszet korrekcióját a „rugalmas” szórás hatáskeresztmetszetén keresztül fejezi ki (T. N. Burnett , N. M. Kroll , 1968).



[477] A 95. §-ban az Mfi(0) jelölést alkalmaztuk.

[478] E képlet tetszőleges számú töltött részecskére való általánosítását a Z1(d1+d1′) mennyiségnek az összes kezdeti és végső részecskére vonatkozó analóg mennyiségek összegével való helyettesítésével kapjuk.