Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

133.§. Elektronok szóródása hadronokon

133.§. Elektronok szóródása hadronokon

Alkalmazzuk az előző szakasz képleteit az elektron–hadron rugalmas szórásra. Jelöljük a hadron kezdeti és végső impulzusát rendre ph-val és ph′-vel, az elektronét pedig pe-vel és pe′-vel; ekkor

14.12. egyenlet - (133,1)

pe+ph=pe+ph.


A vizsgált folyamat diagramja:

14.13. egyenlet - (133,2)


Az elektron által kibocsátott virtuális fotonhoz a szokásos γ vertexoperátor , a hadron által történő elnyeléshez pedig a Γ operátor tartozik.

Tekintsük a legérdekesebb esetet, az (1/2) spinű hadronokét (pl. elektron–proton vagy elektron-neutron szórás).

A (133,2) diagramnak az

14.14. egyenlet - (133,3)

Mfi=4πe21q2(ūeγμue)(ūhΓμuh)


mátrixelem felel meg. A hatáskeresztmetszet kiszámítása ennek az amplitúdónak a segítségével, nem különbözik lényegesen a 82. §-ban végzett számításoktól; ennek során a Γ operátort célszerű a (132,7)-ben felírt első alakjában használni.

Polarizálatlan részecskék szórására a következő eredményt kapjuk:

14.15. egyenlet - (133,4)

dσ=πα2dt[s(M+m)2][s(Mm)2]t21t4M2××Fe2[(su)2+(4M2t)t]t4M2Fm2[(su)2(4M2t)(4m2+t)].(133,4)


Itt M a hadron, m az elektron tömege,

s=(pe+ph)2, t =q2=(pe–pe′)2, u=(pe–ph′)2, s +t+u=2m2+2M2.

Vizsgáljunk néhány határesetet.

Az elektronok nehéz magon való szóródásakor az az érdekes eset, amikor a magnak átadott |q| impulzus kicsi a mag tömegéhez, de nem kicsi 1∕R-hez képest (a mag sugara R); ekkor a mag nem tekinthető pontszerűnek. Ebben az esetben a tömegközépponti rendszer közelítőleg megegyezik a mag nyugalmi rendszerével, a mag visszalökődése elhanyagolható, és az elektron energiája változatlan. Ekkor

–t =q2≪M2, π |dt|=pe2dΩe′, s –M2≈M2–u≈2Mεe,

és a (133,4) összefüggés a

14.16. egyenlet - (133,5)

dσ=α2dΩeq4(4𝜀e2q2)Fe2(q2)


alakra egyszerűsödik. Ebben a közelítésben a hatáskeresztmetszetben csak az elektromos alakfaktort tartalmazó tag marad vissza, és (133,5) a (81,5) képletnek felel meg, amely az elektron sztatikus töltéseloszláson való szóródását írja le.

Az elektronnak mozdulatlan neutronon való szóródásakor ugyanebben az ε≪M határesetben (M a neutron tömege) az alakfaktorok helyettesíthetők a q=0 helyen felvett értékeikkel, mivel, ahogy már megjegyeztük, a különálló nukleonra a töltéseloszlás karakterisztikus „sugara” 1∕M-mel összemérhető.[476] A neutron elektromos semlegessége miatt Fe(0)=0, és a hatáskeresztmetszet

14.17. egyenlet - (133,6)

dσ=αμ24(𝜀e2m2)q2+1dΩe=αμ21sin2𝜗2+1dΩe


ahol μ=(e/2M)Fm(0) a neutron mágneses momentuma, ϑ a szórási szög. Ez a képlet az elektron rögzített mágneses momentumon történő szóródásának felel meg.

Végül írjuk le az ultrarelativisztikus elektron ütközését nukleonnal a |q|≫m határesetben. q2 továbbra is a tömegközépponti rendszerbeli impulzusátadás, így t=–q2. A kezdeti nukleon nyugalmi rendszerében (laboratóriumi rendszer):

–t≈2(pepe′)=2εeεe′(1–cosϑ),

ahol εe és εe′ az elektron energiája a kezdeti, illetve a végállapotban, ϑ pedig az e rendszerbeli szórási szög. Ultrarelativisztikus esetben εe′ a ϑ-val ugyanúgy fejezhető ki, mint a fotonszórás esetében [vö. (86,8)]:

(1/εe′)–(1/εe)=(1/M)(1–cosϑ).

Így

14.18. egyenlet - (133,7)

t=4𝜀e2 sin2𝜗21+2𝜀eM sin2𝜗2,


14.19. egyenlet - (133,8)

πd|t|=𝜀e2dΩe1+2𝜀eM sin2𝜗22=𝜀e21q22𝜀eM2dΩe,


ahol dΩe′=2πsinϑdϑ. A (133,4)összefüggésben az elektron m tömege mindenütt elhanyagolható; ezután az összes mennyiséget t-vel és s–M2=2Mεe-vel kifejezve, azt kapjuk, hogy

14.20. egyenlet - (133,9)

dσ=πα2d|t|𝜀e2t2Fe2(t)(4M𝜀e+t)24M2t+tt4M2Fm2(t)(4M𝜀e+t)24M2tt,


vagy (133,7)és (133,8) felhasználásával,

14.21. egyenlet - (133,10)

dσ=dΩeα24𝜀e2 cos2𝜗2 sin4𝜗211+2𝜀eM sin2𝜗2Fe2t4M2Fm21t4M2t2M2Fm2 tg2𝜗2


(M. Rosenbluth, 1950).

Figyeljünk fel arra, hogy az Fe és Fm alakfaktorok függetlenül adnak járulékot a hatáskeresztmetszetbe, interferenciatagjaik nincsenek jelen. Ez igazolja az alakfaktorok fenti választásának célszerűségét.

Feladat

Adjuk meg a 0 spinű hadron elektronnal való rugalmas ütközésének hatáskeresztmetszetét.

(132,5)-öt használva, (133,3) helyett

Mfi=(4πe2/q2)(ūP̂hue)F(q2)

adódik. A hatáskeresztmetszetre pedig

dσ=(πα2dt[(s–u)2+(4M2–t)t]/[s–(M+m)2][s–(M–m)2]t2)F2(t)

[a jelölések a (133,4)-beliekkel azonosak]. Ha |t|≫m2, akkor

dσ=dΩe′(α2/4εe2)(cos2(ϑ/2)/sin4(ϑ/2))(F2(t)/1+(2εe/M)sin2(ϑ/2))

[a jelölések megegyeznek a (133,10)-ben használtakkal].



[476] Az empirikus, négyzetátlagolt „sugárérték” a nukleonra ≈(3,5/M)≈(1/2mπ)(mπ a pion tömege).