Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

14. fejezet - XIV. FEJEZET A HADRONOK ELEKTRODINAMIKÁJA

14. fejezet - XIV. FEJEZET A HADRONOK ELEKTRODINAMIKÁJA

132.§. A hadronok elektromágneses alakfaktorai

A hadronok elektrodinamikájának minden jelenségre kiterjedő megfogalmazása a jelenlegi elmélet kereteiben nem lehetséges. Világos, hogy a jóval intenzívebb erős kölcsönhatások figyelembevétele nélkül nem lehet felírni a hadronok elektromágneses kölcsönhatásait leíró egyenleteket. Ezek elmélete azonban nem létezik, és így nem lehetséges a hadronáram explicit felírása, amely pedig kvantumelektrodinamikai jellemzésük alapja. E helyzetben a hadronáramnak mint fenomenologikus mennyiségnek a bevezetésére kényszerülünk. Ennek szerkezetét csak általános kinematikai megkötések szorítják meg, amelyeknek semmi közük nincs a kölcsönhatás dinamikájához. Az elektromágneses kölcsönhatás operátora csakúgy, mint korábban,

14.1. egyenlet - (132,1)

e(JA)


alakú lesz, ahol az áramot J-vel jelöljük (eltérően az elektronáram j jelétől). Minthogy e kölcsönhatás nagyságrendjét ugyanaz az e töltés határozza meg,így a korábbiakhoz hasonlóan alkalmazhatjuk a perturbációszámítási módszereket .

Adjuk meg az átmeneti áramot a hadron két szabadon mozgó állapota között (melyet nem kísér magának a hadronnak semmiféle átalakulása). Ez az áram–részecske kölcsönhatás „háromágú” diagrammal írható le,

14.2. egyenlet - (132,2)


amely maga is része lehet bonyolultabb diagramoknak (pl. az elektron rugalmas szóródása a hadronon). A (132,2) diagramon a szaggatott vonal a virtuális fotont jelenti; ez nem lehet valódi foton, mivel szabad részecske nem nyelhet el (vagy nem emittálhat) ilyent. Ekkor

q2=(p2–p1)2<0.

Tekintsünk először 0 spinű hadronokat. Legyen u1 és u2 a hadron kezdeti és végállapotának hullámfüggvénye, ezek négyesimpulzusa p1 és p2; a 0 spinű részecskére ezek az amplitúdók skalárok (vagy pszeudoskalárok).[471] A Jfi átmeneti áramnak e két állapot között bilineárisnak kell lennie u1-ben és u2∗-ban. Írjuk ezt

14.3. egyenlet - (132,3)

Jfi=u2Γu1


alakban, ahol a Γ négyesvektor az ismeretlen vertexoperátor [a pont a (132,2) diagramon]. Hau1=u2=1, akkor egyszerűen Jfi=Γ.

Az elektrodinamikában az áram általános tulajdonsága, hogy megmaradó mennyiség, ami az elmélet mértékinvarianciájához kapcsolódik. Impulzusreprezentációban ez az átmeneti áramnak és a foton q=p2–p1 négyesimpulzusának ortogonalitásában fejeződik ki:

14.4. egyenlet - (132,4)

qJfi=0.


Az adott esetben ez Γ-ra vonatkozóan a következő alakot írja elő:

14.5. egyenlet - (132,5)

Γ=PF(q2),


ahol P=p1+p2és F(q2) az egyedüli invariáns változónak, q2-nek skalárfüggvénye. Minthogy a hadron fajtája az átmenet során változatlan,p12=p22=M2 (M a hadron tömege), így Pq=0.

A (132,3) mátrixelemeket a (132,5)-ből vett P-val képezve, valódi négyesvektorokat kapunk. Ez a J operátorra is igaz. Tehát a (132,1) kölcsönhatási operátor valódi skalár. Így a 0 spinű hadronok elektrodinamikája automatikusanP-invariáns. Hasonlóan belátható, hogy T-invariáns is. Ugyanis az időtükrözés először is felcseréli a kezdeti és végső négyesimpulzusokat; ekkor P=p1+p2 változatlan marad. Másodszor, a négyesimpulzusok térkomponenseinek előjelét megváltoztatja, az időkomponenst változatlanul hagyja; az A négyespotenciál komponensei ugyanúgy transzformálódnak, azaz a JA szorzat változatlan marad.

Az F(q2) invariáns függvényt elektromágneses alakfaktornak hívjuk. A fenomeno-logikus elmélet kereteiben alakja, érthető módon, nem határozható meg. Megmutatható azonban, hogy (a vizsgált q2<0 tartományban) valós függvény. Ez ugyanazokból a megfontolásokból következik, amelyeket a 113. §-ban az elektron alakfaktorára alkalmaztunk: q2<0 esetén olyan közbenső állapotok, amelyek az unitaritási egyenlet jobb oldalára kerülhetnének, nem léteznek, így az Mfi és ezzel a Jfi mátrix hermitikus lesz.

A q=0 pontban a kezdeti és a végállapot megegyezik, tehát Jfi diagonális mátrixelemmé válik. Speciálisan, e(J0)ii∕2εi=eF(0) a töltéssűrűséget adja, amely (az „1 részecske egységnyi térfogatban” normálás mellett!) a részecske teljes töltésével azonos.

Elektromosan semleges részecskére F(0)=0. Hangsúlyozzuk azonban, hogy ez egyáltalán nem jelenti még a részecske valódi semlegességét. Ha a részecske valódi semleges és határozott töltésparitású, akkor F(q2)≡0 minden q2-re: minthogy az áram operátora páratlan töltésparitású (13. §), így az azonos töltésparitású hadronállapotok között vett mátrixeleme eltűnik.[472]

Térjünk át a feles spinű hadronokra. Ekkor a hullámamplitúdók bispinorok és a hadronáram alakja a következő:

14.6. egyenlet - (132,6)

Jfi=ū2Γu1.


Az ū2 és u1, valamint a p1 és p2 négyesimpulzusok bilineáris kombinációiból valódi és pszeudovektor mennyiségek egyaránt képezhetők [melyek a (132,4) feltételt is kielégítik]. Így a P-invariancia követelménye nem teljesül automatikusan, hanem kiegészítésként kell kiróni.[473] Mint a 113. §-ban megmutattuk, ekkor a vertexoperátor két független, (q2<0 esetén) valós alakfaktort tartalmaz. Írjuk ezt a következő alakban:

14.7. egyenlet - (132,7)

Γμ=2M(FeFm)PμP2+Fmγμ=2MFeq24M2FmPμP2Fm2Mσμνqv==(4M2Feq2Fm)γμP2+2MP2(FeFm)σμνqv,(132,7)


ahol Fe(q2)és Fm(q2) az invariáns alakfaktorok (M a hadron tömege); a három alak ekvivalenciájáról a P2+q2=4M2összefüggés és (113,5) segítségével könnyen meggyőződhetünk.[474]

Az elektromágneses alakfaktorok az invariáns amplitúdók kategóriájába sorolhatók, amelyek fogalmát a 71. §-ban vezettük be. Olyan „reakció” amplitúdóiként is tekinthetjük ezeket, amelyek (a szétsugárzási csatornából nézve) a virtuális foton hadron–antihadron párra történő bomlását írják le. A virtuális foton 1 spinű „részecske”. Arról, hogy két (1/2) spinű részecskére való elbomlását két független amplitúdó írja le, könnyen meggyőződhetünk úgy is, ha megszámláljuk a független ⟨λbλc|SJ|λa⟩ helicitásamplitúdókat (l. 70. §). Valóban, a P-invariancia következtében az S-mátrix négy, nullától különböző eleme közül csak kettő független:

⟨(1/2) (1/2)|S1|1⟩ =⟨–(1/2) –(1/2)|S1|–1⟩, ⟨(1/2) –(1/2)|S1|0⟩ =⟨–(1/2) (1/2)|S1|0⟩.

A T-invariancia (vagy a C-invariancia a szétsugárzási csatornában) nem ad újabb megkötéseket az előző mátrixelemek között. Ezzel a körülménnyel kapcsolatos az, hogy a (132,7) vertexoperátorral leírt kölcsönhatás automatikusan T-invariáns is (ez a helyzet azonban magasabb spinű részecskékre már nem áll fenn).

A q→0 határesetben a (q szerint) nullad- és elsőrendű tagok (132,7)-ben a következők:

14.8. egyenlet - (132,8)

Γμ=Fe(0)γμ12M[Fm(0)Fe(0)]σμνqν.


Ebből látszik (l. 113. §), hogy Fe(0) a részecske elektromos töltése (e egységekben), Fm(0)–Fe(0) pedig az anomális mágneses momentuma (e∕2M egységekben).[475]

Mindeddig csak az alakfaktorok impulzustérbeli alakját használtuk. Ez természetesen elegendő a megfigyelhető jelenségek leírására. A könnyebb elképzelés céljából az alakfaktoroknak szemléletesebb értelmezést is adhatunk, ha ezeket mint valamely koordinátafüggvény Fourier-transzformáltját tekintjük.

Célszerű azt a vonatkoztatási rendszert kiválasztani, amelyben P=p1+p2=0 (ún. Breit-rendszer) ; ez mindig lehetséges, mivel P2>4M2>0. Ebben a rendszerben ε1=ε2≡ε, tehát P0=2ε, a q négyesvektor komponensei pedig q0=0,q=2p2=–2p1.

A 0 spinű hadronra az átmeneti áram a Breit-rendszerben különösen egyszerű alakot ölt:

(Jfi0/2ε)=F(–q2), J=0.

Ebből látható, hogy F(–q2) egy

14.9. egyenlet - (132,9)

ϱ(r)=e1(2π)3F(q2)eiqrd3q


sűrűségű sztatikus töltéseloszlás Fourier-transzformáltjaként is felfogható. Ebben a értelemben beszélhetünk a részecske térszerű elektromágneses struktúrájáról: F=const=1 esetén ϱ(r)=eδ(r) lenne. Az alakfaktor q-tól való függését tehát mint az eloszlásnak a pontszerűtől való eltérésétértelmezhetjük. Hangsúlyozzuk azonban, hogy ezt az interpretációt nem szabad szó szerint venni. A ϱ(r) függvény egyáltalán nem tartozik valamilyen jól meghatározott koordináta-rendszerhez, mivel minden qértéknek megvan a saját rendszere.

Csak a kis q2≪M2 értékekre, nemrelativisztikus határesetben, mikor a szóráskor a részecske energiaváltozását elhanyagolhatjuk, esik egybe a Breit-rendszer a részecske nyugalmi rendszerével, és lesz q értékétől független. Ebben a közelítésben a részecske kezdeti és végállapotai azonosak, így az átmeneti áram mátrixa diagonális lesz, és a ϱ(r) függvény ekkor valóban a töltések térbeli eloszlását jelenti. Elemi részekre azonban |q| olyan értékeinek tartománya, amelyeken az alakfaktorok változása lényeges, csak alig kisebb M-nél. Így nemrelativisztikus határesetben ezekben F(–q2)F(0)-val helyettesíthető, azaz a részecske pontszerűnek tekinthető. Más a helyzet a magok esetében. A mag M tömege a tartalmazott nukleonok A számával, a |q|∼1∕R karakterisztikus érték viszont A–1∕3-nal arányos (R a mag sugara). Így elég nehéz magokra a q2≪M2 értékek jellemzőek, azaz a nemrelativisztikus vizsgálat megengedhető a teljes lényeges tartományban, ezzel pedig a mag elektromágneses szerkezetének fogalma teljesen határozott értelmet nyer.

(1/2) spinű részecskére (132,7)-ből Breit rendszerben a

14.10. egyenlet - (132,10)

Jfi0=(FeFm)M𝜀(ū2u1)+Fm(ū2γ0u1)=Fe(ū2γ0u1),


14.11. egyenlet - (132,11)

Jfi=12MFmiq×(ū2Σu1)


összefüggés következik, ahol Σ a spin háromdimenziós operátora (mátrixa) [lásd (21,21)-et]; (132,10)-ben felhasználtuk az

ε(ū2γ0u1)=M(ū2u1)

egyenlőséget, melyet az u1-re és ū2-re vonatkozó Dirac-egyenletek segítségével p1=–p2 esetén könnyen ellenőrizhetünk.

A (132,10) átmeneti áram időkomponense a „pontszerű részecskétől” – az elektronétól – az Fe(–q2) szorzótényezőben különbözik, ezért mondhatjuk, hogy az Fe alakfaktor (töltés-alakfaktornak is szokták nevezni) a „töltés térbeli eloszlását(132,9) szerint írja le.

Hasonlóképpen, a (132,11) háromdimenziós vektornak megfeleltethetjük az áramsűrűség „térbeli eloszlását” : ej(r)=rotμ(r), ahol e

μ(r)=(e/2M)Σ∫Fm(–q2)eiqrd3q

a „mágneses momentum” sűrűsége . Így az Fm alakfaktor mágneses alakfaktorként , azaz a mágneses momentum térbeli eloszlásaként értelmezhető – természetesen a térbeli „töltéseloszlásra” vonatkozó korábbi megjegyzések figyelembevételével. Fm tartalmazza a „normális” Dirac-féle mágneses momentumot és a hadron fajtájától függő „anomális” momentumot; ez utóbbi „sűrűségének” az Fm–Fe különbség feleltethető meg.

Természetes az a feltételezés, hogy a hadronok elektromágneses alakfaktorainak csakúgy, mint az elektronénak, a t=q2=–q2 argumentum valós, pozitív értékeinél annak a szinguláris pontjai. Ez lehetővé teszi, hogy bizonyos megállapításokat tegyünk a ϱ(r) [és μ(r)] eloszlások r→∞-beli aszimptotikájára. Nevezetesen, ha a (132,9) integrált ugyanúgy átalakítjuk, mint azt a 111. §-ban (111,3)-ról (111,4)-re való áttérésnél tettük, azt kapjuk, hogy nagy r-ekre

ϱ(r)∝e–ϰ0r,

ahol ϰ02, az F(q2) alakfaktor első szingularitásának abszcisszája (ezzel kapcsolatban lásd még a XII. fejezet2. lábjegyzetét). Ha, amint ez lenni szokott, a legközelebbi szingularitást a virtuális foton (egyenként M0 tömegű) hadronpár keltésének küszöbe adja, akkor ϰ0=2M0.



[471] Emlékezzünk vissza, hogy a síkhullámot ψ=(u/√(2ε))e–ipx alakban írtuk. Az „egy részecske egységnyi térfogatban” normálás (0 spinű részecskére) az u∗u=1 skalárnormálásnak felel meg, így u=1 választható (10. §). Az alábbiakban az átmeneti áramot az u1 és u2 amplitúdókra vonatkozóan a 65. § jelöléseivel összhangban adjuk meg.

[472] Ez nem jelenti természetesen azt, hogy a hadron egyáltalán nem léphet kölcsönhatásba az elektromágneses térrel. Két áramoperátor szorzata J(x)J(x′) már páros töltésparitású, így mátrixelemei azonos töltésparitású állapotok között nem tűnnek el. Tehát a valódi semleges részecske szórhatja a fotont, kibocsáthat egyidejűleg két fotont, azaz α-ban magasabb rendű folyamatban részt vehet.

[473] A jelenlegi kísérleti adatok nem mutatnak paritássértés jelenlétére az elektromágneses kölcsönhatásokban.

[474] A (132,7) szerinti definíció (R. Sachs, 1962) célszerűsége a továbbiakban fog megmutatkozni. Az irodalomban használatosak az F1 és F2 alakfaktorok is, melyeket a (113,6)-beli f-fel és g-vel analóg módon definiálunk, azaz Γμ=F1γμ–(F2/2M)σμνqv. Ezek összefüggése Fe-vel és Fm-mel a következő: Fe=F1+F2(q2/4M2), Fm=F1+F2.

[475] Így a protonra Fe(0)=1,Fm(0)–Fe(0)=1,793. A neutronra Fe(0)=0, Fm(0)=–1,913 (mágneses momentuma teljesen „anomális”).