Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

131.§. Az elektron–müon szórás amplitúdójának kétszeresen logaritmikus aszimptotikája

131.§. Az elektron–müon szórás amplitúdójának kétszeresen logaritmikus aszimptotikája

Kétszeresen logaritmikus tagok az amplitúdók aszimptotikus kifejezéseiben nemcsak külső téren történő elektronszórás esetén jelennek meg, hanem kétrészecskés szórási folyamatoknál is.

Példa gyanánt tekintsük az elektron negatív müonon való szórását , ebben pedig a hátraszórás esetét, vagyis amikor a szórási szög =π (V. G. Gorskov , V. N. Gribov , L. N. Lipatov , G. V. Frolov , 1967). Ez a folyamat két szempontból is a legegyszerűbb. Először is, mivel a részecskék nem azonosak, hiányzanak a kicserélési gráfok . Másodszor, hátraszórás esetén a lágy fotonok emissziója erősen lecsökken, és ennek következtében nem jelenik meg infravörös divergencia . Valóban, (95,8) szerint a lágy fotonok emissziójának hatáskeresztmetszete :

13.62. egyenlet - (131,1)

dσ=αve1ven+vμ1vμnve1venvμ1vμnn2dωdΩn4π2ωdσrug,


ahol ve,vμés ve′,vμ′ a részecskék sebessége az ütközés előtt és után. Viszont ultrarelativisztikus esetben az impulzusok egyenlősége a sebességek egyenlőségét jelenti, és ilyen pontossággal a tömegközépponti rendszerben hátraszórás esetén fennáll, hogy

ve=–vμ=–ve′=vμ′.

Ekkor a (131,1) kifejezés zérussá válik.

Ha a fenti szórási folyamat a reakció s-csatornájának felel meg, akkor a t-csatornában abba a folyamatba megy át, amikor egy elektron–pozitron pár μ+μ– párrá változik. Ebben a csatornában a =π feltétel azt jelenti, hogy az e–és μ– (valamint az e+ és μ+) mozgási iránya megegyezik. A fékezési sugárzás lecsökkenésének különösen szemléletes oka van, itt ugyanis az adott előjelű töltések mozgásiránya egyáltalán nem változik.

Az, hogy az emissziós hatáskeresztmetszetben a vezető tagok kiejtik egymást, azt jelenti, hogy aszimptotikus kifejezésében nem lépnek fel kétszeresen logaritmikus korrekciók . Ennek megfelelően nem kapunk infravörös divergenciát (ugyanolyan kétszeresen logaritmikus pontossággal) a szórási amplitúdóban sem, amikor a virtuális fotonok impulzusaira integrálunk.

Ha a folyamatot az

s=(pe+pμ)2, r=(pe–pe′)2, u=(pe–pμ′)2

invariáns változókkal írjuk le, akkor az ultrarelativisztikus esetben a hátraszórásnak az

13.63. egyenlet - (131,2)

s=tmμ2,u=0


értékek felelnek meg.

A perturbációszámítás (α szerinti) első közelítésében az elektron–müon szórást a következő gráf írja le:

13.64. egyenlet - (131,3)


Az ennek megfelelő amplitúdó:

13.65. egyenlet - (131,4)

Mfi(1)=4παt(ū(μ)γνu(μ))(ū(e)γνu(e)).


A (131,2) határesetre úgy térhetünk át, hogy a fenti kifejezésben a γν mátrix-négyesvektort helyettesítjük γ⊥ν-vel, ahol az utóbbi γν-nek a pe,pe′ sík normális síkjára eső„vetülete” (a pμ,pμ′ sík megegyezik a pe,pe′ síkkal, mivel ultrarelativisztikus esetben hátraszóráskorpe≈pμ′,pe′≈pμ). Valóban, a pe,pe′ síkkal párhuzamos komponensek az

(1/√s)(p̂e+p̂e′), (1/√s)(p̂e–p̂e′)

mátrixok (az első γ0-lal esik egybe, a második pedig neγ, ahol ne a pe irányába mutató egységvektor). Az u(e) és u(μ) bispinorokra felhasználva a Dirac-egyenletet , azt kapjuk, hogy

(ū(μ)′γ∥νu(μ))(ū(e)′γν∥u(e))∼(1/s),

és így ezeket a tagokat elhagyhatjuk.

A következő közelítésben megjelenik a

13.66. egyenlet - (131,5)


gráf, valamint a „keresztezett” fotonvonalakkal felírt gráf , amelyet célszerű (131,5)-től csupán az egyik folytonos vonal irányában eltérő alakban ábrázolni:

13.67. egyenlet - (131,6)


A megfelelő integrálok vizsgálata azt mutatja, hogy mindkét gráfban a „lágy” virtuális fotonok

|(f–pe)2|≪me2, |(f–pe′)2|≪me2

tartományából származó kétszeresen logaritmikus tagok jelennek meg. Ezek a járulékok az integrálok infravörös divergenciáival kapcsolatosak, és így a fentiek alapján ki kell ejteniük egymást. A (131,6) gráfban azonban a nagy impulzusok, |f2|≫mμ2 tartománya is ad kétszeresen logaritmikus járulékot . Ezt a járulékot kell kiszámítanunk.

A (131,6) gráfnak a következő integrál felel meg:

13.68. egyenlet - (131,7)

Mfi(2)=iα2π2(ū(e)γν(f̂+me)γλu(e))(ū(μ)γλ(f̂+mμ)γνu(μ))(pef)2(f2me2)(f2mμ2)(pef)2d4f


(ahol felhasználtuk, hogy pe≈pμ′). Legyen ismét

13.69. egyenlet - (131,8)

f=upe+vpe+f


[vö. (129,13)]. A kétszeresen logaritmikus járulék az alábbi egyenlőtlenségek által meghatározott tartományból származik:

13.70. egyenlet - (131,9)

|su|,|sv|ϱmμ2,mμ2s|u|,|v|1,(131,9)


ahol ϱ=–f⊥2. Az f⊥ négyesvektort úgy határozzuk meg, hogy f⊥pe=f⊥pe′=0; az adott esetben (hátraszórás) innen következik, hogy a tömegközépponti rendszerben f⊥0=0, tehát ϱ=f⊥2.

A (131,7) integrál számlálójában elhanyagolhatjuk me-t és mμ-t, valamint minden olyan tagot, amely u-t vagy v-t tartalmaz; az u vagy v tényezők kiejtenék a nevezőből eredő megfelelő pólusokat (l. alább), és így nem lépnének fel a kívánt négyzetes logaritmikus kifejezések. Észrevéve, hogy

(pe′–f)2≈tu≈–su, (pe–f)2≈–sv, f2≈suv–ϱ,

és a d4f integrálelemet (129,16) szerint átalakítva, a (131,7) integrált a következő alakba írhatjuk át:

Mfi(2)=–(iα2/2π2)∫((ū(e)′γνf̂⊥γλu(e))(ū(μ)′γλf̂⊥γνu(μ))/su⋅sv(suv–ϱ+i0)2)sdudvd2f⊥.

Az integrandus számlálóját átalakítjuk úgy, hogy f⊥ irányára átlagolunk, és [hasonló okokból, mint (131,4)-ben] γν,γλ helyett a γ⊥ν,γ⊥λ komponenseket írjuk. Egyszerű átalakítások után azt kapjuk, hogy

13.71. egyenlet - (131,10)

Mfi(2)=Mfi(1)J(1),


ahol

J(1)=–i(α/4π2)∫(ϱdudvdϱ/uv(suv–ϱ+i0)2).

Végül, a számlálót ϱ=(ϱ–suv)+suv alakban írva, a második tagot – amely az egyszerű pólusokat eltüntetné, és így nem adna kétszeresen logaritmikus járulékot – elhagyjuk. Így

13.72. egyenlet - (131,11)

J(1)=iα4π2dudvdϱuv(ϱsuvi0).


Ez az integrál ugyanolyan alakú, mint (129,20), így a dϱ szerinti integrálást ugyanúgy végezzük. Mivel most ϱ≫mμ2, megjelenik az suv≫mμ2 feltétel (suv>0 helyett). Így azt kapjuk, hogy

13.73. egyenlet - (131,12)

J(1)=α2πdudvuv,


ahol az integrálási tartományt az alábbi egyenlőtlenségek határozzák meg:

(mμ2/s)<u,v<1, suv>mμ2

(logaritmikus pontossággal számolva az erős ≫ egyenlőtlenségek helyett egyszerű egyenlőtlenségeket írhatunk). Közvetlen számítás eredményeként:

13.74. egyenlet - (131,13)

J(1)=α4πln2smμ2.


A perturbációszámítás magasabb rendű közelítéseiben a bennünket érdeklő ∼αnln2ns járulékok a(131,6)-hoz hasonlóan „létra”-diagramokból származnak, ahol egyre több „létrafokot” kell figyelembe venni. Így a teljes kétszeresen logaritmikus aszimptotikát a következő végtelen adja:[468]

13.75. egyenlet - (131,14)


Ahhoz, hogy e sor általános tagjának alakját megállapítsuk, nézzük meg még a harmadrendű közelítést [(131,14) sor harmadik tagja]. A neki megfelelő integrált a következő alakra hozhatjuk:

13.76. egyenlet - (131,15)

Mfi(3)=Mfi(1)J(2),J(2)=α2π2du1dv1du2dv2u1v1(u1+u2)(v1+v2),


ahol az integrálási tartomány

(mμ2/s)<u1,2,v1,2<1, su1v1,su2v2>mμ2.

A fenti integrál kétszeresen logaritmikus részét kiemelhetjük, ha az integrálási tartományt a

13.77. egyenlet - (131,16)

v2v1,u2u1


további feltételekkel korlátozzuk.[469] Ekkor

J(2)=((α/2π))2∫(du1dv1du2dv2/u1u2v1v2)=((α/2π))2∫dξ1dη1dξ2dη2,

ahol

ξi=ln(sui/mμ2), ηi=–lnvi,

az integrálási tartományt pedig a következő egyenlőtlenségek határozzák meg:

ξ1>η1, ξ2>η2, σ>ξ2,η2>0, σ=ln(s/mμ2).

Hasonlóan, a sor n-edik tagja Mfi(n)=Mfi(1)J(n) alakba írható, ahol

13.78. egyenlet - (131,17)

J(n)(σ)=α2πndξ1dη1dξndηn,


amelyben az integrálási tartomány:

13.79. egyenlet - (131,18)

ξi>ηi(i=1,2,,n),σ>ξn,ηn>0.


A teljes szórási amplitúdó :

13.80. egyenlet - (131,19)

Mfi=Mfi(1)1+n=1J(n)(σ).


A fenti összeg kiszámításához vezessük be ideiglenesen az A(n)(ξ,η) függvényeket, amelyeket ugyanazok a (131,17) integrálok határoznak meg, integrálási tartományuk viszont

13.81. egyenlet - (131,20)

ξi>ηi(i=1,2,,n),ξ>ξn>0,η>ηn>0


[ξn-ben és ηn-ben különbözőek az integrálási határok, (131,18)-ban viszont egyenlőek]. Nyilvánvaló, hogy Mfi=Mfi(1)A(σ,σ), ahol

13.82. egyenlet - (131,21)

A(ξ,η)=n=0A(n)(ξ,η),A(0)=1.


Az A(n)(ξ,η) függvények definíciójából következik, hogy kielégítik az

A(n)(ξ,η)=(α/2π)∫dξ1dη1A(n–1)(ξ1,η1)

rekurzív összefüggést. Ezeket az egyenlőségeket n szerint (1-től ∞-ig) összegezve, egy integrálegyenletet kapunk A(ξ,η)-ra:

13.83. egyenlet - (131,22)

A(ξ,η)=1+α2πA(ξ1,η1)dξ1dη1,ξ1>η1,ξ>ξ1>0,η>η1>0.(131,22)


Az A(ξ,η) függvényt a továbbiak számára elegendő a ξ>η tartományban vizsgálni. Ekkor a (131,22) egyenletet

13.84. egyenlet - (131,23)

A(ξ,η)=1+α2π0ηηξA(ξ1,η1)dξ1dη1


alakban írhatjuk. Ezt az egyenlőséget η szerint deriválva, azt kapjuk, hogy

13.85. egyenlet - (131,24)

A(ξ,η)η=α2πηξA(ξ1,η)dξ1,


és azután ξ szerint is deriválva egy differenciálegyenletet kapunk A(ξ,η)-ra:

13.86. egyenlet - (131,25)

2Aηξα2πA=0.


Ezt az egyenletet az

13.87. egyenlet - (131,26)

A(ξ,0)=1,Aηξ=η=0,


(131,23)-ból és (131,24)-ből közvetlenül következő peremfeltételek mellett kell megoldani.

A megoldást a ξ változó szerinti Laplace-transzformáció segítségével kaphatjuk meg:

13.88. egyenlet - (131,27)

A(ξ,η)=12πiCepξQ(p,η)dp,


ahol C a komplex p síkon egy zárt görbe, amely körülveszi a p=0 pontot. (131,27)-et a (131,25) egyenletbe helyettesítve és az integrandust zérussal egyenlővé téve, kapjuk, hogy

p(∂Q/∂η)=(α/2π)Q, Q=φ(p)2(αη/2πp),

ahol φ(p) tetszőleges függvény. A (131,26) peremfeltételek közül az első az

(1/2πi)∫Cepξφ(p) dp=1

feltételt adja, ahonnan következik, hogy

φ(p)=(1/p)+ψ(p),

ahol ψ(p) analitikus függvény, amelynek a C görbe belsejében nincs szingularitás. A második feltétel is teljesül, ha ψ(p)=–2πp∕α; valóban, ekkor

(∂A/∂η)|ξ=η=–(1/ξ)∫C(d/dp)eξ(p+(α/2πp))dp=0.

A kapott eredményeket összegyűjtve és a ξ=η=σ helyettesítést elvégezve, azt kapjuk, hogy

A(σ,σ)=–(1/2πi)(2π/ασ)∫Cp (d/dp)eσ(p+(α/2πp))dp.

Végül parciálisan integrálva és az ismert

I1(z)=(1/2πi)∫Ce(z/2)(p+(1/p))dp

képletet felhasználva [I1(z)=–iJ1(iz) képzetes argumentumú Bessel-függvény ], a következő végeredményt kapjuk a szórási amplitúdóra :

13.89. egyenlet - (131,28)

Mfi=Mfi(1)2πασ2I12απσ.


A szórási hatáskeresztmetszet (=π szögre) ennek megfelelően

13.90. egyenlet - (131,29)

dσ=dσ(1)2παln2(smμ2)I122απlnsmμ2,


ahol

dσ(1)=(2πα2/s2) dt

a hatáskeresztmetszet Born-közelítésben , ultrarelativisztikus esetben (l. a 82. § 6. feladatát).[470]



[468] Ez a sor a Salpeter–Bethe-egyenletre vezet (122. §). Ezt megoldva megkaphatjuk Mfi-t. Célszerűbb azonban az alábbiakban tárgyalt módszert alkalmazni, amelynél az egyes tagokat az összegezés előtt egyszerűsítjük.

[469] Ezt a módszert alkalmazhattuk volna a (130,3) integrál kiszámításánál is.

[470] Felsorolunk néhány kiegészítő irodalmi hivatkozást a kétrészecskés szórási folyamatok kétszer resenlogaritmikus aszimptotikájával kapcsolatban: V.G. Gorskov , V. N. Gribov , G. V. Frolov , ZSETF 51, 1093 (1966) (foton-elektron hátraszórás); V. G. Groskov, V. N. Gribov, L. N. Lipatov , G. V. Frolov, JaF 6, 361 (1967) (elektron?pozitron hátraszórás); V. G, Groskov, JaF 6, 579 (1967) (tetszőleges szögű szórási folyamatok).