Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

130.§. A vertexoperátor kétszeresen logaritmikus aszimptotikája

130.§. A vertexoperátor kétszeresen logaritmikus aszimptotikája

Mikor az előző szakaszban kiszámított Γ(1) korrekciók elérik az 1 nagyságrendet, a vertexoperátor kiszámításához a kétszeresen logaritmikus tagokα minden hatványát tartalmazó végtelen sorát kell összegeznünk. Az, hogy ez a feladat megoldható, annak köszönhető, hogy ilyen tagok csak bizonyos típusú diagramokban lépnek fel, és a különböző rendű diagramok járulékai között egyszerű összefüggés áll fenn.

Mint a későbbiekben látni fogjuk, minden, az alábbihoz hasonló diagram ad kétszeresen logaritmikus tagokat:

13.51. egyenlet - (130,1)


stb., amelyekben minden egyes fotonvonal összeköti a jobb és bal oldali elektronvonalat; eközben tetszőleges módon keresztezhetik egymást.

Számozzuk meg az f1,f2,… fotonimpulzusokat, mondjuk a jobb oldali végeik sorrendjében. Ekkor az azonos rendű gráfok a fotonvonalak bal oldali végeinek permutációiban különböznek. Minden Feynman-integrálban elvégezzük az elhanyagolásokat a számlálóban és a nevezőben, ahhoz hasonlóan, ahogy azt a (129,5) integrálban csináltuk; ezután átalakítjuk a számlálót ugyanazzal a módszerrel, mint (129,11) levezetésében. Ezek eredményeként az n fotonvonalat tartalmazó összes diagram járulékainak összege, amely Γ-ban az αn nagyságrendű tagot adja, a következő alakban írható:

13.52. egyenlet - (130,2)

Γμ(n)=γμiα2π3tnIn,


13.53. egyenlet - (130,3)

In=perm2d4f1d4fn2(p1f1)2(p1f1+p1f2)2(p1f1++p1fn)2(p2f1)2(p2f1++p2fn)f12f22fn2,


ahol az összegezést a p2fk szorzatokban szereplőfk impulzusok indexeinek összes permutációira kell elvégezni (az i0és λ2 tagokat a nevezőkben a rövidség kedvéért nem írtuk ki).

Nyilvánvaló, hogy ha a (130,3) összegben a p1fk szorzatokban szereplő fk impulzusok indexeit valahogyan permutáljuk, ez az impulzusok átjelölésére vezethető vissza, és ezért az In integrál értéke nem változik meg. Így (130,3)-ban az összegezést kiterjeszthetjük a p2fk és a p1fk szorzatokban szereplő fk impulzusok permutációira, majd az eredményt osztanunk kell n!-sal:

∑perm2→(1/n!)∑perm1∑perm2.

Használjuk fel a következő fontos képletet:

13.54. egyenlet - (130,4)

perm1a1(a1+a2)(a1+a2++an)=1a11a21an,


ahol az 1,2,…,n indexek permutációira kellösszegezni.[467] Kétszer alkalmazva ezt a képletet, az integrálok összege helyett n egyforma (129,19) [vagy(129,26)] alakú integrál szorzatát kapjuk, vagyis

13.55. egyenlet - (130,5)

In=1n!I1n.


Ezt (130,2)-be helyettesítve, majd Γ(n)-et n szerint (n=0,1,2,…) összegezve, azt kapjuk, hogy

13.56. egyenlet - (130,6)

Γμ(p2,p1;q)=γμ expie22π3tI1.


Ha I1-et (129,22)-ből helyettesítjük be, akkor a virtuális elektronvonalakkal rendelkező vertexoperátor kétszeresen logaritmikus aszimptotikáját kapjuk meg:

13.57. egyenlet - (130,7)

Γμ(p2,p1;q)=γμ expα2πlnq2p12 lnq2p22,|q2||p12|,|p22|m2(130,7)


(V. V. Szudakov , 1956).

Ha I1-et (129,29)-ből helyettesítjük be, akkor valódi fotonvégek esetére kapjuk meg a vertexoperátor aszimptotikáját:

13.58. egyenlet - (130,8)

Γμ(p2,p1;q)=γμ expα4πln2|q2|m2+4ln|q2|m2 lnmλ,|q2|p12=p22=m2.(130,8)


A szorzótényező, amellyel Γμ a nem perturbált γμértéktől eltér, meghatározza a külső téren szórt elektron szórási amplitúdójának a Born-közelitéstől való eltérését. Így a szórási hatáskeresztmetszet:

13.59. egyenlet - (130,9)

dσ=dσB expα2πln2|q2|m2+4ln|q2|m2 lnmλ.


Ahhoz, hogy az infravörös divergenciát eltüntessük, ezt a kifejezést meg kell még szorozni egy adott ωmax értéket meg nem haladó energiájú, tetszőleges számú lágy foton emissziójának valószínűségével , vagyis a következő mennyiséggel [l. (119,2)]:

13.60. egyenlet - (130,10)

1+0ωmaxdwω+12!0ωmaxdwω10ωmaxdwω2+= exp0ωmaxdwω.


Az exponensben szereplő integrált (117,14)-ből vesszük (a dσrug mellett álló szorzótényező), és végül egy ε energiájú elektron szórási hatáskeresztmetszetére nagy impulzusátadás esetén a következő aszimptotikus kifejezést kapjuk:

13.61. egyenlet - (130,11)

dσ=dσB exp2απln|q2|m2 ln𝜀ωmax,|q2|m2,α2πln2𝜀m1(130,11)


(A. A. Abrikoszov , 1956). A fenti kifejezés (α szerinti) sorfejtésének első tagja természetesen megegyezik a (119,12) képlettel.



[467] n=2-re ez a képlet nyilvánvaló, általánosítása pedig teljes indukcióval könnyen elvégezhető. Megjegyezzük, hogy a (95,14) képlet levezetésekor, amikor a lágy fotonok emissziójának valószínűségét kiszámítottuk, már felhasználtuk a fenti képletből eredő faktorizációt.