Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

129.§. A kétszeresen logaritmikus tagok kiemelése a vertexoperátorban

129.§. A kétszeresen logaritmikus tagok kiemelése a vertexoperátorban

Az (αL)n típusú korrekciók (ahol L nagy logaritmus), amint azt az előző fejezet végén már megjegyeztük, csak fantasztikusan nagy energiákon válhatnak lényegessé, és így csupán elméleti jelentőségük van. A valódi szórási folyamatok amplitúdóiban viszont sokkal nagyobb, (αL2)n alakú korrekciók is megjelennek. Az ilyen tagokat, amelyek α minden hatványa mellett egy logaritmikus kifejezés négyzetét tartalmazzák, kétszeresen logaritmikusoknak nevezik.

(114,21) szerint az elektron alakfaktorához, vagyis külső téren szóródott elektron szórási amplitúdójához járuló első korrekció az átadott impulzus t=q2 négyzetének nagy értékei esetén egy

13.21. egyenlet - (129,1)

α4πln2|t|m2


nagyságrendű tagot tartalmaz. A perturbációszámítás akkor alkalmazható, ha ez a mennyiség kicsi; ez megszűnik az

13.22. egyenlet - (129,2)

𝜀tmeπα


energiákon. Bár ez az energiaérték nagyon nagy, még mindig sokkal kisebb, mint amit a (128,3) feltételből kapunk. Az a célunk, hogy megszabaduljunk ettől a feltételtől,és olyan képleteket vezessünk le, amelyek az

13.23. egyenlet - (129,3)

αln2𝜀m1


feltétel mellett is igazak.

Vegyük észre először, hogy a fenti feltétel teljesülése esetén az egyszeresen logaritmikus korrekciók nagyságrendje

∼αln(ε/m)≲√α≪1,

és így elhagyhatók. Mivel -ben és -ben a kétszeresen logaritmikus korrekciók egyáltalán nem lépnek fel, ezek helyett egyszerűen a perturbálatlan G és D függvényeket írhatjuk.

A Γ vertexoperátor kiszámításához végtelen sok diagramból eredő kétszeresen logaritmikus tagokat kell összegeznünk. Ezt a feladatot fogjuk tárgyalni a következő szakaszban. Előzetesen megmutatjuk, hogyan lehet kiemelni a kétszeresen logaritmikus tagokat a különböző Feynman-integrálokból, mielőtt még ténylegesen integrálnánk minden változó szerint (V. V. Szudakov , 1956).

Tekintsük a vertexoperátor (α szerinti) elsőrendű korrekcióját , amit a (114,1) diagram ábrázol. Ezt célszerű itt (a változók átdefiniálásával ) a következő alakban ábrázolni:

13.24. egyenlet - (129,4)


vagy analitikus alakban,

13.25. egyenlet - (129,5)

Γμ(1)(p2,p1;q)=ie24π3γν(p̂2f̂+m)γμ(p̂1f̂+m)γνd4f[(p2f)2m2+i0][(p1f)2m2+i0][f2+i0].


A továbbiakban feltesszük, hogy

13.26. egyenlet - (129,6)

|q2|p12,p22,m2,


ahol a p1,p2 végződések lehetnek fizikaiak vagy virtuálisak is. (129,6)-ból következik, hogy

13.27. egyenlet - (129,7)

|p1p2|12|q2|p12,p22,m2,


vagyis a p1,p2 négyesvektoroknak nagy komponenseik vannak, miközben négyzeteik kicsik – ez a helyzet a négydimenziós metrika pszeudoeuklideszi volta miatt lehetséges. A kétszeresen logaritmikus tagok éppen a (129,6) feltételek mellett lépnek fel.

Látni fogjuk a későbbiekben, hogy a d4f szerinti integráláskor a viszonylag kis f értékek lényegesek. Így f-et az integrandus számlálójában elhanyagolhatjuk, és ezután Γ(1) a következő alakban írható:

13.28. egyenlet - (129,8)

Γμ(1)=ie24π3γν(p̂2+m)γμ(p̂1+m)γνI1,


ahol

13.29. egyenlet - (129,9)

I1=d4f[(p2f)2m2+i0][(p1f)2m2+i0][f2+i0].


A (129,8)-ban fellépő mátrix szorzótényezőt egyszerűsíthetjük, ha figyelembe vesszük, hogy Γ mindig csak a (p̂2+m) és (p̂1+m) mátrixokkal szorozva lép fel különböző gráfokban

13.30. egyenlet - (129,10)

(p̂2+m)Γ(p̂1+m).


Valóban, ha a p1és p2 vonalak virtuálisak , akkor ezek a tényezők G(p1)-bőlés G(p2)-ből származnak; ha ezek a vonalak valódi elektronoknak felelnek meg, akkor Γ-t ū2-sal és u1-gyel kell megszorozni, viszont a Dirac-egyenlet alapján

ū2=ū2(p̂2+m/2m), u1=(p̂1+m/2m)u1.

A mátrixtényezők sorrendjét felcserélve és minden alkalommal a fellépő p12,p22,m2 négyzeteket (129,7) szerint p1p2 mellett elhanyagolva, azt kapjuk, hogy

(p̂2+m)Γμ(1)(p̂1+m)≈–(ie2/π3)(p1p2)(p̂2+m)γμ(p̂1+m)I1.

Így végül Γ(1)-et a következő alakban írhatjuk:

13.31. egyenlet - (129,11)

Γμ(1)=ie22π3γμtI1,


ahol

13.32. egyenlet - (129,12)

t=q22(p1p2).


Megjegyezzük, hogy az I1 integrál nagy f-ekre konvergál, és így már nem kell regularizálnunk.

A további számítások alapja új, célszerűbb integrálási változók bevezetése.

Bontsuk fel f-et a p1,p2 síkkal párhuzamos és arra merőleges komponensekre:

13.33. egyenlet - (129,13)

f=up1+vp2+ff+f,


13.34. egyenlet - (129,14)

fp1=fp2=0.


Új változóknak válasszuk az u,v együtthatókat és a

13.35. egyenlet - (129,15)

ϱ=f2


változót. A (129,7) feltételekből látszik, hogy a p1,p2 síkban a metrika pszeudoeuklideszi . Így az időtengelyt felvehetjük ebben a síkban, tehát f⊥ térszerű négyesvektor,és ϱ>0.

Jelöljük ideiglenesen a négyesvektorok p1,p2 síkba eső komponenseit 0, x indexekkel, a normális síkba eső komponenseket pedig y,z indexekkel. Fejezzük ki a

d4f=d2f⊥d2f∥

elemi négyestérfogatot az új változókkal. Az első tényező:

d2f⊥=|f⊥|d|f⊥|dφ=(1/2)dϱdφ→πdϱ

[figyelembe véve, hogy a (129,9) integrandus nem függ a φ szögtől]. Továbbá,

d2f∥=|(∂(f0,fx)/∂(u,v))|dudv=|p10p2x–p20p1x|dudv≈(1/2)|q2|dudv.

Valóban, mivel p22 kicsi, p2x2≈p202, és így

(p10p2x–p20p1x)2≈(p10p20–p2xp1x)2=(p1p2)2=((q2/2))2.

Tehát

13.36. egyenlet - (129,16)

d4f=12|t|dudvd2fπ2|t|dudvdϱ.


A további számítások a p12,p22,m2 mennyiségek egymáshoz való viszonyaitól függnek. Két esetet vizsgálunk.

Virtuális elektronvonalak esete

A p1,p2 impulzusok feleljenek meg virtuális elektronvonalaknak, mégpedig legyen

13.37. egyenlet - (129,17)

|p12|,|p22|m2.


Látni fogjuk, hogy az integrálás lényeges tartományát, amely a kétszeresen logaritmikus kifejezéshez vezet, az alábbi egyenlőtlenségek határozzák meg:

13.38. egyenlet - (129,18)

0<ϱ|tu|,|tv|,p12t|v|1,p22t|u|1.(129,18)


Ennek megfelelően (129,9)-ben az integrandus nevezőjében m2,p12,p22,f2 elhanyagolható(p1f) vagy (p2f) mellett, vagyis

13.39. egyenlet - (129,19)

I1=d4f2(p2f)2(p1f)(f2+i0).


A p1f,p2f,f2 mennyiségekre fennáll, hogy

f2=(up1+vp2)2–ϱ ≈–tuv–ϱ, 2(p1f)=2p1(up1+vp2) ≈–tv, 2(p2f) ≈–tu.

Ekkor

13.40. egyenlet - (129,20)

I1=π2|t|dϱϱ+tuvi0duudvv.


A (129,18) feltételek alapján a dϱ szerint 0-tól a |tv|és |tu| mennyiségek kisebbikéig kell integrálni. Ennek az eredménye:

13.41. egyenlet - (129,21)

0min{|tu|,|tv|}dϱϱ+tuvi0= lnmin1|u|,1|v|+iπ,hatuv<0,0,hatuv>0.


A dv szerinti logaritmikus integrálást -1-től –|p12∕t|-ig és |p12∕t|-től 1-ig kell elvégezni (és hasonlóan du szerint). Ha (129,21)-et (129,20)-ba helyettesítjük, adudv szerinti integráláskor az első tag zárust ad, mivel az integrandus páratlan függvény. A második tagot arra a tartományra kell integrálni, ahol ués v előjelei megegyeznek (t<0 esetén) vagy különbözőek (t>0 esetén). Mindkét esetben a v>0és a v<0 tartomány (miután a du szerinti integrálást elvégeztük) azonos járulékot ad, és így azt kapjuk, hogy

13.42. egyenlet - (129,22)

I1=iπ22t2p12t1duup22t1dvv=iπ2tlntp12 lntp22


(az előjel megegyezik t előjelével).

Ezt (129,11)-be helyettesítve, a végeredmény:

13.43. egyenlet - (129,23)

Γμ(1)(p2,p1;q)=α2πγμ lnq2p12 lnq2p22,|q2||p12|,|p22|m2.(129,23)


Fizikai elektronvégek esete

Feleljenek most meg a p1,p2 impulzusok valódi elektronoknak, vagyis

13.44. egyenlet - (129,24)

p12=p22=m2.


Ebben az esetben a lényeges integrálási tartomány

13.45. egyenlet - (129,25)

0<ϱ|tu|,|tv|,0<|v|,|u|1.(129,25)


Mivel p12–m2=p22–m2=0, így p12-et és p22-et p1fés p2f mellett elhanyagolva, a (129,9) integrált ismét (129,19) alakra hozhatjuk. Az ekkor fellépő infravörös divergencia eltüntetéséhez a fotonpropagátorban a fotonnak véges λ≪m tömeget kell adnunk (vö, S.144. §):

13.46. egyenlet - (129,26)

I1=d4f2(p1f)2(p2f)(f2λ2+i0).


Továbbá fennáll, hogy

f2 ≈–tuv–ϱ, 2p1f ≈–tv+2m2u, 2p2f ≈–tu+2m2v

így

13.47. egyenlet - (129,27)

I1=π2|t|dϱϱ+tuv+λ2i0duuτvdvvτu,


ahol τ=2m2∕t≪1.

A dϱ szerinti integrálást elvégezve [(129,21)-hez hasonlóan] azt kapjuk, hogy

I1=–(iπ2/2|t|)∬(du/u–τv)(dv/v–τu),

ahol a tuv+λ2<0 feltétel által meghatározott tartományra kell integrálni. A v>0 és v<0 tartományok ismét azonos járulékot adnak, és a du szerinti integrálást elvégezve, azt kapjuk, hogy

13.48. egyenlet - (129,28)

I1=iπ2t01dvδv1du(uτv)(vτu)=iπ2t01 lnτδv2(δτv2)(τv)dvv,


ahol δ=λ2∕t≪τ, és felhasználtuk, hogy τ≪1.

A (129,28) integrálban két tartomány vezet kétszeresen logaritmikus kifejezésre:

I) τ≪v≪1, II) √(τδ)≪v≪√(δ∕τ).

Mindkét tartományban elvégezve a megfelelő elhanyagolásokat, az eredmény:

13.49. egyenlet - (129,29)

I1=iπ22tln2|t|m2+4ln|t|m2 lnmλ


ahol az első tag az I, a második a II tartományból ered.

Végül (129,11)-be behelyettesítve, a végeredmény:

13.50. egyenlet - (129,30)

Γμ(1)(p2,p1;q)=α4πγμ ln2|q2|m2+4ln|q2|m2 lnmλ,|q2|p12=p22=m2,(129,30)


ami megegyezik (114,21)-gyel.