Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

13. fejezet - XIII. FEJEZET A KVANTUMELEKTRODINAMIKA ASZIMPTOTIKUS KÉPLETEI

13. fejezet - XIII. FEJEZET A KVANTUMELEKTRODINAMIKA ASZIMPTOTIKUS KÉPLETEI

128.§. A fotonpropagátor aszimptotikus viselkedése nagy impulzusokra

A 110. §-ban kiszámítottuk a (k2) polarizációs operátor α szerinti hatványsorának első tagját, és azt találtuk, hogy |k2|≫m2 esetén logaritmikus pontossággal

13.1. egyenlet - (128,1)

𝒫(k2)=α3πk2 ln|k2|m2.


Ugyanott megjegyeztük, hogy a képlet levezetésének értelmében (ez a propagátor inverzéhez, 4πD–1=k2-hez járuló elsőrendű korrekció) feltételeztük, hogy

13.2. egyenlet - (128,2)

α3πln|k2|m21,


ami a nagy |k2|értékek felől korlátozza a képlet érvényességét. A továbbiakban megmutatjuk, hogy a (128,1) kifejezés érvényes marad a sokkal gyengébb

13.3. egyenlet - (128,3)

α3πln|k2|m21


feltétel teljesülése esetén is.

A bizonyítás menete a következő.[463] Mindenekelőtt vegyük észre, hogy bár a (128,3) feltétel mellett (k2)-hez elvileg a perturbációszámítás (α-ban) magasabb rendű tagjai is adhatnak járulékot, mindegyik (n-edik) rendben elég az αnlnn(|k2|∕m2)-tel arányos tagokat tekinteni, amelyekben a nagy logaritmus és α hatványkitevője megegyezik; az α≪1 egyenlőtlenség miatt .a logaritmus kisebb hatványait tartalmazó tagok kicsik.

Továbbá perturbációs sorának vizsgálatát visszavezethetjük és Γμ sorainak vizsgálatára a Dyson-egyenlet segítségével:

13.4. egyenlet - (128,4)

𝒫(k2)=i4πα3Spγμ𝒢(p+k)Γμ(p+k,p;k)𝒢(p)d4p(2π)4


[l. (104,4)]. Mivel a (k2) függvény mértékinvariáns, kiszámításánál a ésΓ mennyiségeket tetszőleges mértékben írhatjuk fel. Itt legcélszerűbb a Landau-mértéket használni, amelyben a szabad fotonok propagátora(77,11) alakú:

13.5. egyenlet - (128,5)

Dμν(k)=4πk2gμνkμkνk2


[(100,17)-ben D(l)=0]. Kiderül, hogy a fenti mértéket választva, és Γμ perturbációs sorai egyáltalán nem tartalmaznak megfelelő hatványú logaritmikus tagokat. Így (128,4)-ben és Γμ helyébe elég a =Gés Γμ=γμ nulladik közelítését beírni. Ekkor a (128,4) kifejezés a

13.6. egyenlet - (128,6)

𝒫(k2)=i4πα3SpγμG(p+k)γμG(p)d4p(2π)4


integrálba megy át. Ez éppen az (α-ban) elsőrendű közelítésnek, a (110,1) gráfnak megfelelő Feynman-integrál, amely (a megfelelő renormálás után) a (128,1) képlethez vezet.

Rátérve a fenti állítások bizonyítására, először is nézzük meg, hogy honnan ered a (128,6) integrálban a logaritmikus tag. Könnyű belátni, hogy ez a következő integrálási tartományból származik:

13.7. egyenlet - (128,7)

p2|k2|,ha|k2|m2.


Valóban, G-t 1∕p̂ hatványai szerint formálisan kifejtve, azt kapjuk, hogy

G(p) ≈(1/p̂)=(p̂/p2), G(p–k)≈(1/p̂–k̂)≈(1/p̂)+(1/p̂)k̂(1/p̂) +(1/p̂)k̂(1/p̂)k̂(1/p̂)=(p̂/p2)+(p̂k̂p̂/(p2)2)+(p̂k̂p̂k̂p̂/(p2)3).

(128,6)-ba helyettesítve, az első tag, amely nem függ k-tól, a regularizáció következtében kiesik (a ∕k2→0, ha k2→0 feltételnek megfelelően). A második tag a p irányára való integráláskor eltűnik. A harmadik integrál p2-ben logaritmikusan divergál; ezt p2∼|k2|-től [a (128,7) tartomány alsó korlátja] valamilyen Λ2 „levágási paraméterig” integrálva, azt kapjuk, hogy

13.8. egyenlet - (128,8)

α3πk2 lnΛ2|k2|.


Regularizáláskor ∕k2-ből ki kell vonni a k2=0 helyen felvett értékét. Mivel viszont a logaritmikus pontosság feltételezi, hogy |k2|≫m2, ezért a fenti pontossággal végzett számításnál a |k2|∼m2 helyen felvett értéket vonhatjuk le, amelynek következtében a logaritmus argumentumában Λ2 helyett m2 jelenik meg, és így a (128,1) képletet kapjuk.

Mivel a minket érdeklő, -hez és Γμ-höz járuló korrekciók logaritmikus jellegűek, ezek figyelembevételével és Γμ lassan változó logaritmikus szorzótényezőkben fognak eltérni G-től és γμ. Így a (128,4) pontos integrálban is ugyanaz a (128,7) tartomány lesz lényeges, minta (128,6) közelítő integrálban. Ennek ellenére Γμ(p+k,p;k)-ba nem helyettesíthetünk egyszerűen k=0-t: mivel az integrál kvadratikusan divergál, ennek regularizációjáhozΓμ(p+k,p;k)-nak k szerinti hatványsorából a következő két tagot is figyelembe kell vennünk. Mi azonban itt csak Γμ(p,p,0) korrekcióival foglalkozunk, amelyek elég világosan mutatják meg a mértékválasztás szerepét és a különböző típusú gráfokból származó integrálok jellegének különbségét. Megjegyezzük, hogy -t nem kell hasonló módon vizsgálnunk, mivel Γ és korrekciói a (105,8) Ward-azonosságon keresztül összefüggnek egymással.

Γ(p,p;0) (α szerinti) első korrekciójához a

diagram és ennek megfelelően a

13.9. egyenlet - (128,9)

Γμ(1)=iαγλG(p1)γμG(p1)γνDλν(pp1)d4p1(2π)4


integrál tartozik.[464] A szokásos mértékben

Dλν(p–p1)=gλν(4π/(p–p1)2),

és az integrálban a p12≫p2 tartomány lényeges, ahol az logaritmikusan divergál. A

13.10. egyenlet - (128,10)

Γμ(1)4παiγλp̂1γμp̂1γλ(p12)3d4p1(2π)4


integrált kiszámítva és a logaritmust regularizálva, azt kapjuk, hogy

Γμ(1)≈–(α/4π)γμln(p2/m2).

Landau-mértékben(128,10) helyett a

Γμ(1)≈–4παi∫{γλp̂1γμp̂1γλ–p12γμ}(d4p1/(p12)3(2π)4)

integrál lép fel. Ha p1 irányára elvégezzük az integrálást, és a γ-mátrixok szorzását egyszerűsítjük, az integrál eltűnik, vagyis Γμ(1)-ből a logaritmikus tag kiesik.[465]

Az (α szerinti) másodrendű korrekciók közül tekintsük a következő diagramot:

Az ennek megfelelő integrál:

Γμ(2)=–α2∫γλG(p2)γνG(p1)γμG(p1)γϱG(p2)γσGνϱ(p2–p1)Dλσ(p–p2)(d4p1d4p2/(2π)8).

Ha a D-függvényeket a szokásos mértékben írjuk fel, ez az integrál egy, a logaritmus négyzetével arányos tagot tartalmaz, amely a

13.11. egyenlet - (128,11)

p12p22p2


integrálási tartományból ered. Valóban, miután a Dνϱ(p2–p1) függvény argumentumában p2-t elhanyagoljuk, a d4p1 szerinti integrálás ugyanolyan lesz, mint(128,9)-ben, és lnp22 adódik; az ezután következőd4p2 szerinti integrálás szintén logaritmikus jellegű, és így az ln2(p22∕m2) kifejezést kapjuk. Ha aD-függvényeket Landau-mértékbenírjuk fel, a logaritmikus tagok mindkét integrálásnál kiesnek.

Ugyanez a helyzet a többi olyan gráf esetén is, amelyek a

13.12. egyenlet - (128,12)


vázdiagramba tartoznak . Másfajta gráfok, amelyekben fotonvonalak keresztezik egymást, például a

13.13. egyenlet - (128,13)


vázdiagramba tartozók [vö. (103,11)], bármilyen mértéket is választunk, nem tartalmaznak megfelelő kitevőjű logaritmikus tagokat (nem lehet bennük olyan integrálási tartományt kiválasztani, amelyben az integrál sorozatos logaritmikus integrálásra vezethető vissza).

A fenti (valamint a Γ függvény k szerinti hatványsorának további tagjaira vonatkozó hasonló) gondolatmenet alapján láthatjuk, hogy a Landau-mértékben nem lépnek fel a logaritmus megfelelő hatványait tartalmazó korrekciós tagok -hez és Γ-hoz, és így a (128,1) kifejezés tényleg érvényes a (128,3) feltétel mellett.

A (128,1) polarizációs operátornak megfelelő (k2) függvény a következőképpen néz ki:

13.14. egyenlet - (128,14)

𝒟(k2)=4πk211α3π ln|k2|m2.


A (128,3) feltétel miatt ezt a kifejezést nem szükséges α szerint hatványsorba fejteni.[466]

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy nő, ha ln(|k2|∕m2) a 3π∕α értékhez közeledik. Ezzel a növekedéssel kapcsolatos a (128,14) képlet érvényességi határa a nagy |k2|értékek felől. Valóban, a fenti képlet levezetésekor elhanyagoltuk a (128,13) gráfot (és olyanokat, amelyek még több vastag fotonvonalat tartalmaznak) a (128,12) gráfhoz képest. Viszont egy ilyen vonal hozzáadása egy e2 szorzótényezőt ad a diagramba, ahol a pontos propagátor . Ekkor a kis paraméter szerepét α=e2 helyett az

(α/1–(α/3π)ln(|k2|/m2))

mennyiség játssza, és ezért az említett elhanyagolások csak akkor megalapozottak, ha teljesül az

13.15. egyenlet - (128,15)

1α3πln|k2|m2α


feltétel.

Amikor |k2| növelésével a fenti egyenlőtlenség bal oldalának nagyságrendje α-éval megegyezik, az elmélet lényegében nem tartalmaz többé kis paramétert. Így arra a fontos következtetésre jutunk, hogy a kvantumelektrodinamika mint gyenge kölcsönhatásra épülő elmélet, logikailag nem teljes. Viszont a jelenlegi elmélet egész apparátusa azon alapszik, hogy az elektromágneses kölcsönhatást kis perturbációként lehet kezelni.

Azt gondolhatnánk, hogy az ilyen elméletet a nagyon nagy energiák tartományában egy „erős csatolást” leíró elmélettel kell kiegészíteni. Komoly érvek szólnak azonban amellett, hogy a jelenlegi fogalmak keretein belül ez lehetetlen, vagyis a kvantumelektrodinamika nemcsak „gyenge csatolást” leíró elméletként nem teljes, hanem általában véve is egy logikailag nem zárt fizikai elmélet.

Ezekre a következtetésekre azoknak a nehézségeknek a vizsgálata vezet, amelyek a (128,14) képlettel kapcsolatban lépnek fel, ha ennek levezetésekor nem „útközben” renormálunk, hanem előzetesen bevezetjük az elektron „csupasz” ec töltését , amelyet a továbbiakban úgy választunk meg, hogy a fizikai töltés megfigyelhető e értékére vezessen (107. §). Ha az integrált, az előzőekhez hasonlóan, egy ideiglenesen bevezetett Λ2 felső határnál „levágjuk”, akkor a csupasz töltés függ ettől, ec=ec(Λ), végül pedig el kell végeznünk a Λ→∞ határátmenetet.

Ha így közelítjük meg a problémát, a polarizációs operátor a következő lesz:

(k2)=–(ec2/3π)k2ln(Λ2/|k2|)

[a (128,8) kifejezés, ahol e helyett ec áll], és ennek megfelelően

13.16. egyenlet - (128,16)

𝒟(k2)=4πk211+ec23π lnΛ2|k2|.


A fizikai e töltést a következő feltétel segítségével határozzuk meg:

ec2(k2)→(4π/k2)e2, ha k2→∼m2,

ekkor azt kapjuk, hogy

13.17. egyenlet - (128,17)

e2=ec21+ec23π lnΛ2m2,


vagy

13.18. egyenlet - (128,18)

ec2=e21e23π lnΛ2m2.


Ezekben a képletekben azonban még nem lehet a Λ→∞ határátmenetet elvégezni. (128,18)-ból látható, hogy Λ-t növelve (adott e2 mellett) ec2 nő; viszont a fenti képletek már ec2∼1 körül elvesztik érvényességüket, mivel levezetésük az

ec2≪1

feltevésen alapult, ami annak a feltétele, hogy a perturbációszámítást alkalmazni lehessen a „csupasz” kölcsönhatásra.

Ez a nehézség azonban a következő gondolatmenet segítségével elkerülhető (L. D. Landau , I. Ja. Pomerancsuk , 1955).

Legyen Λ2∕k2 olyan nagy, hogy

(ec2/3π)ln(Λ2/k2)≫1,

de ugyanakkor még ec2≪1. Ekkor (128,16) nevezőjében az egységet elhanyagolhatjuk:

13.19. egyenlet - (128,19)

𝒟(k2)=12π2k2ec2 lnΛ2|k2|,


és ennek megfelelően

13.20. egyenlet - (128,20)

e2=3πlnΛ2m2.


Vezessük be az elektromágneses tér négyespotenciáljának Aμ operátora helyett az μ=ecAμ négyesvektort. Ekkor a kölcsönhatás Hint Hamilton-operátora nem tartalmazza az ec csupasz töltést, a szabad tér H0 Hamilton-operátora pedig (ez Aμ-ben kvadratikus) ec2-et a nevezőben tartalmazza. A (k2) függvény, amelyet úgy határozunk meg μ-ből, mint (k2)-et Aμ-ből, a következő:

(k2)=(1/ec2)(k2)=(12π2/k2ln(Λ2/|k2|)).

Ez a kifejezés nem tartalmazza ec-t. Ez azt jelenti, hogy a fenti képlet a H=H0+Hint Hamilton-operátorban az ec-től függő H0 tag elhagyásának felel meg. Ha H0-t a Hint-hez képest (nagy Λ értékeknél) már ec2≪1 esetén is elhanyagolhatjuk, akkor természetes az a következtetés, hogy ez még inkább igaz nem kicsi e! értékekre is.

Tehát a (128,19) és vele a (128,20) képlet is független az ec2≪1 feltételtől, és a Λ→∞ határátmenet lehetővé válik. Ekkor viszont e2→0, az ec(Λ) függvény alakjától függetlenül. A fizikai töltés ilyen „nullázódása ” azt jelenti, hogy a renormálást nem lehet szigorúan elvégezni.

A fenti érvelést természetesen nem lehet szigorú bizonyításnak tekinteni. Ugyanakkor azonban komoly mértékben utal a jelenlegi kvantumelektrodinamika lehetséges belső következetlenségére .

Meg kell viszont jegyeznünk, hogy a kvantumelektrodinamikában a tárgyalt nehézségek tisztán elméleti jelentőségűek. Ezek fantasztikusan nagy, ∼me3π∕2α energiákon lépnek csak fel, amelyek gyakorlatilag nem érdekesek. Azt várjuk, hogy a valóságban az elektromágneses kölcsönhatások már összehasonlíthatatlanul előbb „összekeverednek” az erős kölcsönhatásokkal , aminek eredményeként a tiszta elektrodinamika értelmét veszti.



[463] A probléma itt közölt felvetése és az eredmények L. D. Landautól, A. A. Abrikoszovtól és I. M. Halatnyikovtól származnak (1954).

[464] Hogy elkerüljük a 114. § eredményeivel való összehasonlításból származó félreértéseket, emlékeztetünk arra, hogy a 114. §-ban mindkét elektronvégződés fizikai volt, itt viszont feltesszük, hogy p2≫|k2|≫m2, vagyis egyik vonal sem fizikai.

[465] G–1-hez a két mértékben járuló korrekciók, amelyeket a Γ(1) korrekciókból a (105,8) azonosság alapján kaphatunk meg, amint az várható, összhangban állnak a 116. § eredményeivel.

[466] Ezt a képletet le lehet vezetni a propagátoroknak és a csúcsrészeknek a kvantumelektrodinamika renormálhatóságát kifejező funkcionális tulajdonságaiból is; l. L. D. Landau , A kvantumtérelmélet-ről (cikk a „Niels Bohr és a fizika fejlődése” c. gyűjteményben, 1955; Összes művei, II. kötet „Nauka” 1969); N. N. Bogoljubov , D. V. Sirkov , ZSETF 30, 77 (1956). A fenti tulajdonságok felhasználásán alapuló módszer részletes tárgyalása megtalálható a következő könyvben: N. N. Bogoljubov és D. V. Sirkov, Bevezetés a kvantuintérelméletbe, Gosztehizdat, 1957.