Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

127.§. Négydimenziós tartományokra vett integrálok kiszámítása

127.§. Négydimenziós tartományokra vett integrálok kiszámítása

A következőkben néhány olyan szabályt és képletet vezetünk le, amelyek hasznosak a sugárzási korrekciók elméletében fellépő integrálok kiszámításában.

Egy Feynman-gráfnak megfelelő integrál tipikus alakja a következő:

12.272. egyenlet - (127,1)

f(k)d4ka1a2an,


ahol a1,a2,… a k négyesvektor másodfokú polinomjai, az f(k) függvény valamilyen n′ fokú polinom, az integrálást pedig az egész négydimenziósk-térre kell elvégezni.

Az ilyen integrálok kiszámításának (Feynman által javasolt, 1949) célszerű módja az integrandus előzetes átalakításán (parametrizációján ) alapul, amikor az

12.273. egyenlet - (127,2)

1a1a2an=(n1)!01dξ101dξnδ(ξ1+ξ2++ξn1)(a1ξ1+a2ξ2++anξn)n


képlet segítségével az új ξ1,ξ2,… segédváltozók szerinti további integrálokat vezetünk be. A fenti transzformáció eredményeként a nevezőben n különböző másodfokú polinom helyett mindössze egy másodfokú polinomn-edik hatványa szerepel.

Ha a δ-függvényt a dξn szerinti integrálással eltüntetjük, és új változókat vezetünk be a következő egyenlőségeknek megfelelően:

ξ1=xn–1, ξ2 =xn–2–xn–1,…,ξn–1=x1–x2, ξ1 +ξ2+…+ξn–1=x1,

akkor (127,2) új alakja:

12.274. egyenlet - (127,3)

1a1a2an=(n1)!01dx10x1dx20xn2dxn11[a1xn1+a2(xn2xn1)++an(1xn)]n.(127,3)


n=2 esetén a fenti képlet

12.275. egyenlet - (127,4)

1a1a2=01dx[a1x+a2(1x)]2


alakot ölt, és közvetlen számítással igazolható. Tetszőleges n-re teljes indukcióval bizonyíthatjuk be. Valóban, (127,3)-ban a dxn–1 szerinti integrálást elvégezve, a jobb oldalon két (n–2)-szeres, a kezdetihez hasonló alakú integrál különbségét kapjuk.

Feltételezve, hogy ezekre a fenti képlet teljesül, azt kapjuk, hogy

(1/a1–a2)[(1/a2a3…an)–(1/a1a3…an)],

ami megegyezik a (127,3) egyenlőség bal oldalán álló kifejezéssel.

Ha (127,3)-at a1,a2,… szerint deriváljuk, hasonló képleteket kapunk, amelyeket olyan integrálok parametrizálására használhatunk, ahol a nevezőben bizonyos polinomok az elsőnél magasabb hatványon szerepelnek.

A divergens integrálokat úgy kell regularizálni, hogy hasonló alakú integrálokat kivonunk belőlük. Egy ilyen különbség kiszámításához célszerű lehet az integrandu-sok különbségét [amelyeket már (127,2) szerint külön-külön átalakítottunk] előzetesen új alakra hozni az

12.276. egyenlet - (127,5)

1an1bn=01n(ab)dz[(ab)z+b]n+1


képlet segítségével.

A (127,3) átalakítás elvégzése után (127,1)-ben a négydimenziós integrálás

12.277. egyenlet - (127,6)

f(k)d4k[(kl)2α2]n


alakú, ahol l egy négyesvektor, α2 pedig skalár, és mindkettő az x1,…,xn–1 paraméterektől függ; az α2 skalárt pozitívnak fogjuk tekinteni.

Ha a (127,6) integrál konvergál, akkor elvégezhetjük benne a k–l→k változócserét (a koordináta-rendszer kezdőpontjának eltolása), és ezután az integrál a következő alakot veszi fel:

12.278. egyenlet - (127,7)

f(k)d4k(k2α2)n


[egy másik f(k) függvénnyel], tehát a nevező csak k2 függvénye. Ami a számlálót illeti, elegendő az f=F(k2) skalár függvényeket vizsgálni. Valóban, más típusú számlálók esetén a következőket kapjuk:

12.279. egyenlet - (127,8)

kμF(k2)d4k(k2α2)n=0,


12.280. egyenlet - (127,9)

kμkνF(k2)d4k(k2α2)n=14gμνk2F(k2)d4k(k2α2)n,


12.281. egyenlet - (127,10)

kμkνkϱkσd4k(k2α2)n=124(gμνgϱσ+gμϱgνσ+gμσgνϱ)(k2)2F(k2)d4k(k2α2)n


stb., amint ez már szimmetriamegfontolásokból is nyilánvaló (ha k minden irányára integrálunk).

24. ábra.

A kezdeti (127,1) integrálban a nevező a1,a2,… szorzótényezői mindegyikének (k0 függvényeként) két zérushelye van, amelyeket a dk0 szerinti integráláskor a szokásos szabálynak megfelelően kell kikerülni (76. §). A (127,7) alakban az integrandusnak 2n egyszeres pólus helyett mindössze két n-edfokú pólusa van, amelyeket ugyanazon szabály szerint kell kikerülni (a C kontúr a 24. ábrán). Ha az integrálási görbét a nyilakkal jelölt irányban elforgatjuk, akkor ez egybeesik a k0 sík képzetes tengelyével (C′ a 24. ábrán). Más szóval, a k0 változót k0=ik0′ változóval helyettesítjük, ahol k0′ valós. Ugyanakkor k-t is k′-vel jelölve,

12.282. egyenlet - (127,11)

k2=k02k2(k02+k2)=k2,


ahol k′ egy euklideszi metrikájú négyesvektor.d4k megfelelő transzformációja

d4k→id4k′=ik′2d(k′2/2) dΩ,

ahol dΩ négydimenziós térszögelem .*[461] A dΩ szerinti integrálás 2π2-et ad (l. II. 107. §), így

12.283. egyenlet - (127,12)

d4kiπ2k2d(k2).


A k′2=z jelölést bevetve, végül azt kapjuk, hogy:

12.284. egyenlet - (127,13)

F(k2)d4k(k2α2)n=(1)niπ20F(z)zdz(z+α2)n.


Speciálisan,

12.285. egyenlet - (127,14)

d4k(k2α2)n=(1)niπ2α2(n2)(n1)(n2).


A (127,7) integrálokban a logaritmikusan divergens tagot

12.286. egyenlet - (127,15)

d4k[(kl)2α2]2


alakban leválaszthatjuk. Könnyen látható, hogy ebben az integrálban elvégezhetjükk→k+l változócserét. Valóban, a kezdeti és az átalakított integrál különbsége,

∫{(1/[(k–l)2–α2]2)–(1/(k2–α2)2)}d4k

konvergens, így itt a k→k+l csere mindenképpen megengedett. Előbb ezt, majd a k→–k cserét végrehajtva, ugyanazt a mennyiséget kapjuk negatív előjellel, amiből következik, hogy a fenti különbség zérus.

A lineárisan divergens integrálnak

12.287. egyenlet - (127,16)

kμd4k[(kl)2α2]2


alakúnak kell lennie, valójában azonban az integrandus aszimptotikus alakja (k→∞ esetén) kμ∕(k2)2, ez pedig az irányok szerinti átlagolás során eltűnik. A koordináta-rendszer kezdőpontjának eltolása viszont nem hagyja a (127,16) integrált változatlanul, hanem hozzáad egy additív állandót. Ezt a k→k+δl végtelen kis eltolás esetével fogjuk szemléltetni. Ehhez számítsuk ki a

12.288. egyenlet - (127,17)

Δμ=kμ[(kδl)2α2]2kμ+δlμ(k2α2)2d4k


különbséget. δl szerint első rendben ez

Δμ=∫{(4kμ(kδl)/(k2–α2)3)–(δlμ/(k2–α2)2)}d4k.

Az első tagban az irányok szerinti összegezés a számlálót a k2δlμ kifejezéssel helyettesíti [vö. (127,9)], és így[462]

12.289. egyenlet - (127,18)

Δμ=α2δlμd4k(k2α2)3=iπ22δlμ.


A sugárzási korrekciók végerernényeiben gyakran előfordul az

12.290. egyenlet - (127,19)

F(ξ)=0ξ ln(1+x)xdx


integrállal definiált transzcendens függvény (ezt néha Spence-függvénynek nevezik). Itt felsoroljuk néhány tulajdonságát:

12.291. egyenlet - (127,20)

F(ξ)+F1ξ=π26+12ln2ξ,


12.292. egyenlet - (127,21)

F(ξ)+F(1+ξ)=π26+ lnξln(1ξ),


12.293. egyenlet - (127,22)

F(1)=π212,F(1)=π26.


Hatványsora kis ξértékekre:

12.294. egyenlet - (127,23)

F(ξ)=ξξ24+ξ39ξ416+




[461] * Megjegyzés. Az itt szereplő négydimenziós térszög jelét ne tévesszük össze a háromdimenziós térszög jelével. (A szerk.)

[462] Részletesebb számítás véges l esetére is ugyanezt az eredményt adja