Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

126.§. Sugárzási korrekciók az elektromágneses tér egyenleteihez

126.§. Sugárzási korrekciók az elektromágneses tér egyenleteihez

Az elektron-pozitron tér kvantálásakor (25. §) láttuk, hogy a vákuum energiájának kifejezésében egy végtelen nagy állandó jelenik meg, amelyet[457]

12.247. egyenlet - (126,1)

0=pσ𝜀pσ()


alakban írhatunk fel, ahol εpσ(–) a Dirac-egyenlet megoldásakor fellépő negatív frekvenciákat jelöli. Ennek az állandónak önmagában nincs fizikai jelentése, mivel a vákuum energiája definíció szerint nulla. Más oldalról viszont, elektromágneses tér jelenlétében az εpσ(–) energiaszintek megváltoznak. Ezek a változások végesek, és van fizikai értelmük. A tér tulajdonságainak az elektromágneses tértől való függését írják le, és megváltoztatják az elektromágneses tér egyenleteit a vákuumban.

A téregyenletek megváltozását a tér Lagrange-függvényének megváltozása fejezi ki. A Lagrange-függvényL sűrűsége relativisztikusan invariáns, és így csak az E2–H2 és az EH invariánsok függvénye lehet. A szokásos kifejezés,

12.248. egyenlet - (126,2)

L0=18π(E2H2)


az általános kifejezés invariánsok hatványai szerinti kifejtésének első tagja.

A Lagrange-függvényt arra az esetre fogjuk meghatározni, amikor az E és H terek olyan lassan változnak térben és időben, hogy homogéneknek és állandóknak tekinthetők. Ehhez az szükséges, hogy a tér változására jellemző ω frekvencia és k hullámvektor kielégítse az

12.249. egyenlet - (126,3)

ωm,|k|m


egyenlőtlenségeket. Ekkor úgy vehetjük, hogy L nem tartalmazza a terek deriváltjait.

Ahhoz azonban, hogy a kitűzött feladatnak értelme legyen, az elektromágneses teret elég gyengének kell feltételeznünk. Az a helyzet, hogy a homogén elektromos tér a vákuumból párt kelthet. Az elektromágneses teret önmagában (zárt rendszerként) tekinteni csak akkor megengedett, ha a párkeltés valószínűsége elég kicsi. Ehhez teljesülnie kell az

12.250. egyenlet - (126,4)

|E|m2e=m2c3e


feltételnek (az e töltés energiájának változása ℏ∕mc távolságon kicsi kell, hogy legyen mc2-hez képest). A későbbiekben majd látni fogjuk (l. még a 2. feladatot), hogy ebben az esetben a párkeltés valószínűsége exponenciálisan kicsi.

Ha az elektromos téren kívül mágneses tér is van, akkor, általában véve, kiválaszthatunk olyan vonatkoztatási rendszert, amelyben E és H párhuzamosak. Ekkor a mágneses tér nem hat a töltés E irányú mozgására. Ebben a koordináta-rendszerben (a további számításokban ennek a kiválasztását tételezzük fel) teljesülnie kell a (126,4) feltételnek.

A Lagrange-függvény kiszámítását kezdjük azzal, hogy meghatározzuk a vákuum energiájának megváltozását, a W′-t. A W′ mennyiség a tér (126,1) „hullaenergiájának” megváltozásából ered. Ebből a mennyiségből ki kell vonni azonban a negatív energiájú „állapotokban” levő elektronok potenciális energiájának átlagértékét. Az utóbbi kivonás egyszerűen azt jelenti, hogy a vákuum össztöltése definíciószerűen zérus.

A nullaponti energia elektromágneses tér jelenlétében:

ℰ0=–∑pσεpσ(–)=∑pσ∫ψpσ(–)∗i(∂/∂t)ψpσ(–)d3x,

ahol ψpσ(–) az adott térben felírt Dirac-egyenlet negatív frekvenciás megoldásait jelöli. Feltételezzük, hogy az integrálást egységnyi térfogatra végezzük, és a hullámfüggvények ebben a térfogatban 1-re vannak normálva; ekkor ℰ0 az egységnyi térfogat energiája. A fentiek szerint ℰ0-ból ki kell vonni az

U0=∑pσ∫ψpσ(–)∗eφψpσ(–)d3x

mennyiséget, ahol φ=–Er, a homogén tér potenciálja. Viszont az operátorok paraméterek szerinti deriválására vonatkozó tétel alapján [l. a III. (11,16) képletet]:

U0≡E∫∑pσψpσ(–)∗(∂H/∂E)ψpσ(–)d3x=–E∑pσ(∂εpσ(–)/∂E)=E(∂ℰ0/∂E).

Így végül a vákuum energiasűrűségének teljes megváltozása :

12.251. egyenlet - (126,5)

W=0E0E0E0EE=H=0.


Határozzuk meg W′és a Lagrange-függvény sűrűségénekL′ megváltozása közti összefüggést (L=L0+L′). Ehhez felhasználjuk az általános

W=∑q̇(∂L/∂q̇)–L

képletet, ahol q a tér „általánosított koordinátáit” (l. II. 32. §) jelöli. Elektromágneses tér esetén az A és φ potenciálok játsszák a q mennyiségek szerepét. Mivel

12.252. egyenlet - (126,6)

E=ȦΔφ,H= rotA,


így a q̇„sebességek” közül csak Ȧ szerepel L-ben, és az Ȧ szerinti deriválás ekvivalens az E szerinti deriválással. Így

12.253. egyenlet - (126,7)

W=ELEL.


A (126,5)és (126,7) képleteket összehasonlítva, azt kapjuk, hogy

12.254. egyenlet - (126,8)

L=00E=H=0.


Tehát L′ kiszámítása a (126,1)összeg kiszámítására vezethető vissza.

Tekintsük először azt az esetet, amikor csak mágneses tér van. Állandó, homogén Hz=H mágneses térben az elektron „negatív” energiaszintjei (a töltés e=–|e|):

12.255. egyenlet - (126,9)

𝜀p()=m2+|e|H(2n1+σ)+pz2,n=0,1,2,;σ=±1(126,9)


(l. a 32. § feladatát). Az összeg kiszámításakor vegyük figyelembe, hogy a dpz intervallumban az állapotok száma

(|e|H/2π)(dpz/2π)

(l. III. 111. §); az első tényező a különböző px értékekhez tartozó állapotok száma – az energia px-től nem függ. Ezenkívül minden szint, az n=0,σ=–1 szint kivételével, kétszeresen elfajult: az n,σ=+1 és az n+1,σ=–1 szintek egybeesnek. Így

12.256. egyenlet - (126,10)

0=|e|H(2π)2m2+pz2+2n=1m2+2|e|Hn+pz2dpz.


A (126,10) integrálok divergenciáját L′ kiszámításakor (126,8)-ban az összeg H=0-ra felvett értékének levonása tünteti el. E „renormálás ” elvégzéséhez előbb célszerű a következő konvergens mennyiséget kiszámítani:

Φ≡–(∂2ℰ0/(∂m2)2) =–(|e|H/2(2π)2)∫0∞{(m2+pz2)–3∕2+2∑n=1∞(m2+2|e|Hn+pz2)–3∕2} dpz= =–(|e|H/8n2){(1/m2)+2∑n=1∞(1/m2+2|e|Hn)}.

A kapcsos zárójelben kijelölt összegezést mértani sor összegezésére vezethetjük vissza a következő módon:

12.257. egyenlet - (126,11)

Φ=|e|H8π20em2η2n=0e2|e|Hnη1dη==|e|H8π20em2η21e2|e|Hη1dη=|e|H8π20em2ηcth(|e|Hη)dη.(126,11)


L′ meghatározásához Φ-t kétszer kell integrálnunk m2 szerint, majd az így kapott mennyiségből le kell vonni a H=0-nál felvett értékét. Így azt kapjuk, hogy

12.258. egyenlet - (126,12)

L=18π20em2ηη3{η|e|Hcth(η|e|H)1}dη+c1+c2m2,


ahol c1és c2 függ H-tól, de nem függ m2-től.

Dimenzionális megfontolásokból és a H szerinti párosság figyelembevételéből nyilvánvaló, hogy L′ a H-tól és m-től csak a következő alakban függhet:

L′=m4f((H2/m4)).

Ezért az m2-ben páratlan tagok L′-ben egyáltalán nem szerepelhetnek, és így c2=0. A c1 együtthatót abból a feltételből határozzuk meg, hogy L′-nek H2 szerinti sorfejtése ∼H4 nagyságrendű taggal kezdődjék. Valóban, a H2 nagyságrendű tag L′-ben azt jelentené, hogy a kezdeti Lagrange-függvényL0=–H2∕8π együtthatója megváltozik. Ez viszont a térerősség és ezzel együtt a töltés definíciójának megváltoztatása lenne. Ezért a ∼H2 nagyságrendű tagok kiküszöbölése a töltés renormálását jelenti. Könnyű belátni, hogy ez akkor teljesül, ha

c1=(H2e2/3⋅8π2)∫0∞(c–η/η) dη.

Végül, (126,12)-ben az m2η→η változócserét végrehajtva, azt kapjuk, hogy

12.259. egyenlet - (126,13)

L(H;E=0)=m48π20ηbcthbη+1+b2η23eηdηη3,


ahol b=|e|H∕m2.

Térjünk vissza az általános esethez, amikor a mágneses tér mellett vele párhuzamos E elektromos tér van, amely eleget tesz a (126,4) feltételnek.

L ′ kiszámításához azonban ebben az estben nem kell ismét meghatároznunk az elektron (εp(–)) energiaszintjeit az elektromágneses térben. Elég azt észrevenni, hogy ha a hullámfüggvényt – a (32,7) másodrendű egyenlet megoldását – szorzat alakban keressük:

ψ=ψE(z)eipxxχnσ(y)

[ahol χnσ(y) a hullámfüggvény a mágneses térben, E=0 és pz=0 esetén], akkor az m tömeg és H térerősség a ψE(z)-re felírt egyenletben csak az

m2+|e|H(2n+1+σ)

kombinációban szerepel. Ha most figyelembe vesszük, hogy a px szerinti összegezés (az energia nem függ px-től) ismét az |e|H∕2π szorzótényezőt eredményezi, akkor dimenzionális megfontolásokból a

Φ(H,E)≡(∂2L′/(∂m2)2)

mennyiséget a következő alakban írhatjuk fel:

12.260. egyenlet - (126,14)

Φ(H,E)=|e|H8π2n=0σ=±1Fm2+|e|H(2n+1+σ)|e|Hm2+|e|H(2n+1+σ)==b8π2F1a+2n=1F1+2bna1+2bn,a=|e|Em2.(126,14)


[A kapcsos zárójelben levő minden egyes tag az energiának a tömeg négyzete szerinti második deriváltja, azaz –d2εp(–)∕(dm2)2, amely az n kivételével minden kvantumszámra összegezve van.] Itt F egyelőre ismeretlen függvény, amit a relativisztikus invariancia segítségével fogunk meghatározni.

Valóban, Φ a H2–E2 és az (EH)2=(EH)2 skalárok függvénye kell, hogy legyen:

Φ(H,E)=f(H2–E2,(EH)2).

Így

Φ(0,E)=f(–E2,0)=Φ(iE,0).

Viszont a Φ(iE,0) függvényt megkaphatjuk (126,11)-ből a H→iE cserével; az integrálási változó megváltoztatásával azt kapjuk, hogy

12.261. egyenlet - (126,15)

Φ(iE,0)=18π20eηa ctgηdη.


Ezt a kifejezést a (126,14)-ből kapott Φ(H→0,E) határértékkel összehasonlítva, megkaphatjuk az F függvényt.

A H→0 határátmenet (126,14)-ben azt jelenti, hogy az n szerinti összegezés helyett dn=dx∕2b szerint integrálhatunk:

12.262. egyenlet - (126,16)

Φ(0,E)=18π20F1+xadx1+x=18π21aF(y)ydy.


A (126,15)és (126,16) kifejezéseket egyenlővé téve, majd ezt az egyenlőséget 1∕a≡z szerint deriválva, azt kapjuk, hogy

(F(z)/z)=–∫0∞e–ηzηctgηdη.

Ezután (126,14)-ben az összegezés ismét egy mértani sor összegezésére vezethető vissza, és a további számítások a fentiekhez hasonlóak: Φ-t kifejezzük m2,E és H függvényeként, kétszer integrálunk m2 szerint, kivonjuk az E=H=0-nál felvett értéket, és meghatározzuk az integrálási állandókat, akárcsak (126,13) levezetésekor. A végeredmény:[458]

12.263. egyenlet - (126,17)

L=m48π20eηη3(ηactgηa)(ηbcthηb)+1η23(a2b2)dη,a=|e|Em2=|e|Em2c3,b=|e|Hm2=|e|Hm2c3.(126,17)


Rögtön megjegyezzük, hogy a fenti képlet némileg feltételes jellegű. Csak kis elektromos térerősség esetén igaz: vagyis, ha a≪1 [l. (126,4); (126,17)-ben ezt nem használtuk fel]. Ez abban nyilvánul meg, hogy (126,17)-ben az integrandusnak pólusai vannak az η=nπ∕a (n=1,2,…) helyeken, és így a fenti alakban felírt integrálnak, szigorúan véve, nincs értelme. Ezért (126,17) lényegében csak arra használható, hogy ctga formális kifejtésével az a hatványai szerinti aszimptotikus sor tagjait meghatározzuk (l. alább).

A (126,17) integrálnak matematikai jelentést tulajdoníthatunk, ha a pólusokat η komplex síkjában kikerüljük. Ekkor L′-ben és hasonlóan a W′ energiasűrűségben képzetes rész jelenik meg. A komplex energia, mint általában, itt is azt jelenti, hogy az állapotok kvázistacionárisak.[459] Az adott esetben az állapotok stacionárius volta a párkeltés miatt szűnik meg; a –2ℑW′ mennyiség annak a w valószínűségét adja meg, hogy egységnyi térfogatban egységnyi idő alatt egy pár keletkezik. Mivel W és L csupán előjelben különböznek, így a w valószínűség E és H függvényében egyszerűen

12.264. egyenlet - (126,18)

w=2L.


Nyilvánvaló, hogy ez e–π∕a-val arányos [l. alább, (126,20)]. Éppen az, hogyℑW′ exponenciálisan kicsi a≪1 esetén, teszi lehetővé, hogy az a szerinti aszimptotikus hatványsorban tetszőleges véges számú tagot megtartsunk.

Vizsgáljuk meg a (126,17) képlet határeseteit. Gyenge terek (a≪1,b≪1) esetén a sorfejtés első tagjai:

12.265. egyenlet - (126,19)

L=m48π2(a2b2)2+7(ab)245=e4458π2m4[(E2H2)2+7(EH)2].


Speciálisan, ha b=0, akkor a relatív korrekció :

(L′/L0)=α(a2/45π).

Megjegyezzük, hogy miután L-et az E2–H2 és EH invaránsok segítségével kifejeztük [mint (126,19)-ben], a képlet tetszőleges vonatkoztatási rendszerben érvényes (nemcsak abban, ahol E∥H).

L ′ képzetes részét a≪1 esetén úgy kaphatjuk meg (126,17)-ből, hogy a ctg függvény fél reziduumát vesszük a nullához legközelebb álló pólus helyén, azaz ahol ηa=π–i0. (126,18) szerint ez megadja annak a valószínűségét, hogy a gyenge elektromos tér egy párt kelt :

12.266. egyenlet - (126,20)

w=m44π3a2eπa=14π3eEm2c32mc2mc3 expπm2c3|e|E.


Erős mágneses térben (a=0,b≫1) a (126,13) alakból indulunk ki, amelyet (a bη→η csere után) a következő alakban írunk:

L′=(m4b2/8π3)∫0∞(e–η∕b/η)[(1/3)–(ηcthη–1/η2)] dη.

b≫1 esetén ebben az integrálban az1≪η≪b tartomány lényeges. Itt e–η∕b≈1, és a zárójelben álló második tag elhanyagolható, az integrált pedig (logaritmikus pontossággal) levághatjuk az η≈1 és η≈b határokon. Ekkor

12.267. egyenlet - (126,21)

L=m4b224π2 lnb


pontosabb számítás esetén az eredmény lnb helyett lnb–2,29). Ebben az esetben

(L′/L0)≈(α/3π)lnb.

Innen látható, hogy a téregyenletekhez járuló sugárzási korrekciók relatív nagyságrendje az egységet csak exponenciálisan nagy terek,

12.268. egyenlet - (126,22)

Hm2|e|e3πα


esetén érhetné el.

Ennek ellenére a kiszámított korrekcióknak van értelme: megszüntetik a Maxwell-egyenletek linearitását , és ezzel – elvileg – megfigyelhető folyamatokhoz vezetnek (például, fény szórása fényen vagy külső térben).

Az E és H térerősségek és az A és φ potenciálok kapcsolata definíció szerint változatlan, (126,6) marad. Így az első két Maxwell-egyenlet sem változik:

divH=0, rotE=–(1/c)(∂H/∂t).

A másik két egyenletet az

S=∫(L0+L′) d4x

hatás A és φ szerinti variálásával kaphatjuk meg. Ezek a következő alakban írhatók:

12.269. egyenlet - (126,23)

rot(H4πM)=t(E+4πP),


12.270. egyenlet - (126,24)

div(E+4πP)=0,


ahol bevezettük a

12.271. egyenlet - (126,25)

P=LE,M=LH


jelöléseket. A (126,23), (126,24) egyenletek alakja megegyezik a makroszkopikus Maxwell-egyenletekkel , amelyek anyagi közegben írják le az elektromágneses teret.[460] Innen látható, hogy a Pés M mennyiségek a vákuum elektromosés mágneses polarizációját jelentik.

Végül megjegyezzük, hogy síkhullám terére P és M eltűnik, mivel itt, mint ismeretes, mindkét invariáns, E2–H2 és EH nulla. Más szóval síkhullámra a nemlineáris korrekciók vákuumban hiányzanak.

Feladatok

1. Határozzuk meg egy kis, mozdulatlan e1 töltés teréhez a korrekciót, amely a Maxwell-egyenletek nemlineáris voltából ered.

Megoldás. H=0 esetén (126,19)-ből azt kapjuk, hogy

P=(∂L′/∂E)=(α2/90π2m4)EE2. (1)

Gömbszimmetrikus esetben (126,24)-ből

(E+4πP)r2=const=e1 (2)

(az állandót abból a feltételből határoztuk meg, hogy az r→∞értékekre a tér egybeesik az e1 töltés Coulomb-terével). A (126.1.2) egyenletet közelítőleg megoldva, az eredmény:

E=(e1/r2)(1–(2α2e12/45πm4r4)),

vagy

Φ=(e1/r)(1–(2α2e12/225πm4r4)). (3)

A (126.1.3)-ban szereplő e1 szerint nemlineáris korrekciót meg kell különböztetnünk a (111,6)-ban szereplő lineáris korrekciótól, amely végső soron a Coulomb-tér inhomogenitásából ered. A (126.1.3) korrekció α-ban magasabb rendű, de lassabban csökken a távolsággal, és gyorsabban nő e1 növelésével.

2. Becsüljük meg közvetlenül a párkeltés valószínűségét gyenge homogén, állandó elektromos térben a kváziklasszikus közelítés segítségével, exponenciális pontossággal (F. Sauter , 1931).

Megoldás. A gyenge E térben történő mozgás kváziklasszikus (a φ=–Er=–Ez potenciál lassan változik). Mivel a folyamat amplitúdójában a végállapotbeli pozitron hullámfüggvénye kezdőállapotbeli „negatív frekvenciás” függvény alakjában szerepel, a párkeltést úgy tekinthetjük, mintha az elektron egy „negatív frekvenciás” állapotából egy „pozitív frekvenciás” állapotba menne át. Az elsőben elektromos tér esetén a kváziklasszikus impulzus, p(z), a következő egyenlőségből kapható meg:

ε=–√(p2(z)+m2)+|e|Ez, (1)

a másikban pedig

ε=+√(p2(z)+m2)+|e|Ez. (2)

Az első állapotból a másodikba való átmenet olyan potenciálgáton [az a tartomány, ahol p(z) képzetes] történő áthaladásnak felel meg, amely az (126.2.1) és (126.2.2) összefüggések tartományát [ahol p(z) valós] adott ε mellett elválasztja egymástól. A gát határait, z1-et és z2-t a p(z)=0 összefüggésből kaphatjuk meg, azaz

ε=–m+|e|Ez1, ε=+m+|e|Ez2.

A kváziklasszikus gáton való áthaladás valószínűsége:

w∝exp(–2∫z2z1|p(z)| dz)=exp(–4(m2/eE)∫01√(1–ξ2) dξ),

ahonnan

w∝exp(–(πm2/|e|E)),

összhangban a (126,20) képlettel.



[457] Itt ℰ betűt írunk E helyett, hogy ne tévesszük össze az elektromos térerősséggel.

[458] Ezt az eredményt először W. Heisenberg és H. Euler vezette le (1935). A fenti számításokban a V. Weisskopf levezetésében (1936) található gondolatokat is felhasználtuk.

[459] Az integrálban a pólusokat úgy kell kikerülni, hogy ℑW′<0 teljesüljön. Ennek a követelménynek felel meg a tömeg helyettesítésének m2→m2–i0 szabálya (tehát az adott esetben a→a+i0).

[460] Az összehasonlításkor emlékeznünk kell arra, hogy a makroszkopikus elektrodinamikában a mágneses térerősség átlagértékét B-vel jelölik, nem pedig H-val, mint itt.