Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

125.§. Foton koherens szóródása a mag terében

125.§. Foton koherens szóródása a mag terében

Egy másik nemlineáris effektus (a foton–foton szórás mellett) a foton koherens (rugalmas) szóródása egy mag állandó elektromos terében. Ezt a folyamatot ugyancsak a (124,1) négyzetes diagramok írják le, amelyekben azonban két fotonvonalat a külső tér vonalai helyettesítenek.[455] Ennek a folyamatnak a kimerítő vizsgálata még hiányzik, ezért csak minőségi becslésekre fogunk szorítkozni.

A mértékinvariancia miatt a szórási amplitúdó ω→0 esetben a kezdeti és végállapotbeli fotonok négyesimpulzusainak (k és k′) komponenseit kell, hogy szorzótényezőként tartalmazza (ahhoz hasonlóan, ahogyan a foton–foton szórás amplitúdójának kifejtése az összes foton-négyesimpulzus komponenseinek négyszeres szorzatával kezdődött). Más szóval, a foton szórási amplitúdója kis frekvenciák esetén arányos ω2-tel. Azt is figyelembe véve, hogy ez az amplitúdó másodrendben tartalmazza a külső teret (a Ze töltésű mag terét), a szórás hatáskeresztmetszetére a következő becslést kapjuk:

12.243. egyenlet - (125,1)

dσZ4α4r22ωm4dΩ(ωm).


A frekvenciafüggés természetesen összhangban áll a 60. §-ban leírt általános következtetésekkel.[456]

Nagy frekvenciák esetén a hatáskeresztmetszetet az optikai tétel (72. §) segítségével becsülhetjük meg. Az unitaritási reláció jobb oldalán szereplő közbenső állapot az adott esetben egy elektron-pozitron pár (ennek felel meg a gráf két elektronvonalának a fotonvégek között való elvágása). Így az optikai tétel a nulla szöggel való rugalmas fotonszórás amplitúdóját összekapcsolja a foton által a mag terében keltett elektron-pozitron pár keletkezésének teljes hatáskeresztmetszetével, σpár-ral. Ha a szöggel történő szórás amplitúdóját, f(ω,)-t úgy határozzuk meg, hogy dσ=|f|2dΩ legyen [vö. (72,5)], akkor

ℑf(ω,0)=(ω/4π)σpár.

A σpár hatáskeresztmetszet természetesen csak ω>2m esetén különbözik zérustól. Ultrarelativisztikus esetben, σpár-t (92,8)-ból véve és logaritmikus pontossággal megelégedve, azt kapjuk, hogy

12.244. egyenlet - (125,2)

f(ω,0)=79π(Zα)2reωmlnωm(ωm).


A szórási amplitúdó valós részét a képzetes részből diszperziós reláció segítségével kapjuk meg. Ekkor a frekvenciák szerinti diszperziós integrálban az ω∼m tartomány lesz lényeges, ahol viszont ℑf(ω,0)-ban a nagy logaritmus hiányzik. Így ugyanolyan logaritmikus pontossággal az amplitúdó valós részét a képzetes rész mellett (ω≫m esetén) elhanyagolhatjuk, és a nulla szögű szórás hatáskeresztmetszetére azt kapjuk, hogy

12.245. egyenlet - (125,3)

dσ𝜃=0=4981π2(Zα)4re2ωm2 ln2ωmdΩ(ωm)


(F. Rohrlieh, R. L. Gluckstern , 1952).

A foton párkeltési hatáskeresztmetszetében az itt használt logaritmikus kifejezés nagyon kis szögekre történő szórásból származik (92. §). Csak ugyanerre a tartományra [≲(m∕ω)2] alkalmazhatjuk a (125,3) képletet is; így ez a tartomány csak kis járulékot ad a teljes hatáskeresztmetszethez. A teljes hatáskeresztmetszethez (akárcsak a párkeltés folyamatában) a ≲m∕ω szögtartomány adja az alapvető járulékot; ezt könnyű belátni az általános (nem nulla szögű) unitaritási relációból, amely a fotonszórás és a fotonnal való párkeltés amplitúdóit köti össze. Ebben a tartományban azonban a logaritmikus kifejezés hiányzik, és így a szórás teljes hatáskeresztmetszete:

12.246. egyenlet - (125,4)

σ(Zα)4re2ωm2𝜃2(Zα)4re2


(H. A. Bethe , F. Rohrlich , 1952).



[455] Egy virtuális és három valódi külső fotonvonallal rendelkező gráfok a fotonnak külső térben két fotonra való bomlását (és a fordított folyamatot, két foton eggyé „olvadását”) írják le.

[456] Megjegyezzük, hogy (125,1)-ben az együtthatót nem lehet a 126. §-ban levezetett, homogén elektromágneses térre vonatkozó Lagrange-függvény segítségével meghatározni (amint azt a fény-fény szórás esetében tettük). Ennek az az oka, hogy a fenti folyamatban lényeges szerepet játszanak a magtól számított r∼1∕m távolságok, ahol a mag terét nem lehet homogénnek tekinteni.