Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

124.§. Foton–foton szórás

124.§. Foton–foton szórás

A foton–foton szórás (vákuumban) jellemzően kvantumelektrodinamikai folyamat; a klasszikus elektrodinamikában a Maxwell-egyenletek linearitása miatt hiányzik.[450]

A kvantumelektrodinamikában a foton–foton szórást úgy írjuk le, hogy a kezdeti fotonok virtuális elektron–pozitron párt keltenek, majd ez a végállapot fotonjaira szétsugárzódik. A folyamat amplitúdáját (az első nem eltűnő közelítésben) hat „négyzetes” diagram ábrázolja, amely a négy végződés összes relatív elhelyezkedését tartalmazza. Ide tartoznak a következő gráfok:

12.210. egyenlet - (124,1)


és még három gráf, amelyek ezektől a belső elektronhurok körüljárási irányában térnek el. Ez utóbbiak járuléka megegyezik a (124,1) gráfok járulékával, így a teljes szórási amplitúdó:

12.211. egyenlet - (124,2)

Mfi=2(M(a)+M(b)+M(c)),


ahol M(a),M(b),M(c) az a,b,c diagramok járulékai.

(65,19) szerint a szórás hatáskeresztmetszete:

12.212. egyenlet - (124,3)

dσ=164π2|Mfi|2dΩ(2ω)2,


ahol dΩ′ a k′ irány elemi térszöge a tömegközépponti rendszerben.

Az invariáns amplitúdók

A négy foton polarizációs tényezőit kiemelve, Mfi-t a következő alakban írhatjuk:

12.213. egyenlet - (124,4)

Mfi=e1λe2μe3νe4ϱMλμνϱ,


ahol az Mλμνϱ négyestenzor (ezt a foton–foton szórás tenzorának nevezik) a négy foton négyesimpulzusának függvénye. Ha a függvény argumentumainak előjelét úgy írjuk be, hogy a gráf külső vonalait egyformán irányítjuk, akkor a (124,1) diagramok összességének szimmetriájából nyilvánvaló, hogy az

Mλμνϱ(k1,k2,–k3,–k4)

Cenzor szimmetrikus a négy argumentum és az ezeknek megfelelő négy index egyidejű tetszőleges permutációjára. A mértékinvariancia miatt a (124,4) amplitúdónak nem szabad megváltoznia az e→e+const⋅k helyettesítésre. Más szóval, teljesülnie kell a

12.214. egyenlet - (124,5)

k1λMλμϱσ=k2μMλμϱσ==0


feltételeknek.

Innen rögtön következik többek között, hogy a szórási tenzornak a k1,k2,… négyesimpulzusok szerinti kifejtése a komponenseik négyszeres szorzatával kell, hogy kezdődjék. Így mindenesetre

12.215. egyenlet - (124,6)

Mλμνϱ(0,0,0,0)=0.


Az invariáns amplitúdók konkrét kifejezéséhez a mérték, amelyben az e polarizációs négyesvektort célszerű felírni:

12.216. egyenlet - (124,7)

e1μ=(0,e1),e2μ=(0,e2),


Ekkor

12.217. egyenlet - (124,8)

Mfi=Miklme1ie2ke3le4m,


ahol Miklm háromdimenziós tenzor.

Vezessünk be mindegyik fotonhoz két független polarizációs irányt a megfelelő e(1),e(2) egységvektorok segítségével:

12.218. egyenlet - (124,9)

e1(1)=e2(1)=e3(1)=e4(1)=k×k|k×k|,e1(2)=1ωk×e1(1)=e2(2),e3(2)=1ωk×e3(1)=e4(2).(124,9)


Ezután az Miklm tenort a következő alakban írhatjuk fel:

12.219. egyenlet - (124,10)

Miklm=λ1λ2λ3λ4Mλ1λ2λ3λ4e1i(λ1)e2k(λ2)e3l(λ3)e4m(λ4)


A 16 mennyiség, Mλ1λ2λ3λ4 az s,t,u változók függvényei, és az invariáns amplitúdók szerepét játsszák; ezek azonban nem mind függetlenek.

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy az e(1) vektorok axiálisak, az e(2) vektorok pedig polárisak. Mivel Miklm valódi háromdimenziós tenzor, és az Mλ1λ2λ3λ4 mennyiségek valódi skalárok, a P-invarianciából következik, hogy λ1λ2λ3λ4-ben az 1-es és 2-es indexek páros számszor fordulnak elő; a többi Mλ1λ2λ3λ4 mennyiség eltűnik. Továbbá az Mfi amplitúdó invariáns kell, hogy legyen a két bemenő vagy a két kimenő foton cseréjére. Ha ezt a két cserét egyszerre hajtjuk végre (k1↔k2,k3↔k4), akkor az s,t,u változók ugyanazok maradnak, a polarizációs indexek cseréje pedig az M1212=M2121,M1221=M2112 összefüggésekhez vezet.

Végül az időtükrözés a

k↔–k′; e1,e2↔–e3∗,–e4∗

cseréket jelenti [vö. (71,14), (71,15)]; ekkor a (124,9) egységvektorok

e1(1),e2(1)↔–e3(1),–e4(1); e1(2),e2(2)↔e3(2),e4(2)

szerint transzformálódnak. Az Mfi szórási amplitúdó T-invarianciája így az M1122=M2211 összefüggést eredményezi.

Tehát 8, zérustól különböző invariáns amplitúdó van, amelyek közül 5 független:

12.220. egyenlet - (124,11)

M1111,M2222,M1122=M2211,M1212=M2121,M1221=M2112.


Ha (124,3)-ba Mfi helyett az Mλ1λ2λ3λ4 amplitúdók egyikét írjuk be, akkor a kezdeti és végállapotban adott polarizációjú fotonok szórásának hatáskeresztmetszetét kapjuk meg. A végállapotokra összegezett és a kezdeti állapotokra átlagolt hatáskeresztmetszetet a következő behelyettesítéssel kapjuk meg:

12.221. egyenlet - (124,12)

|Mfi|214{|M1111|2+|M2222|2+2|M1212|2+2|M1221|2+2|M1122|2}.


A (124,11) szimmetriarelációk ugyanazon változók függvényeiként különböző invariáns amplitúdókat kötnek össze. További funkcionális összefüggéseket kapunk a keresztezési szimmetria (79. §) következményeként, ha figyelembe vesszük, hogy az amplitúdó minden csatornában ugyanazt a reakciót írja le (két foton egymáson való szórását), és így nem szabad változnia, ha az egyik csatornáról a másikra térünk át.

Az s-csatornáról [a nyilak iránya a (124,1) gráfokon ennek felel meg] a t-csatornára való áttérés úgy valósul meg, hogy a 2 és 3 indexeket minden változónál (impulzusok és polarizációk) felcseréljük, vagyis a szórási tenzoron az s↔t és a λ2↔λ3 cseréket hajtjuk végre; az s-ről az u-csatornára való áttérés hasonlóképpen a 2 és 4 indexek felcserélését jelenti (ekkor s↔u). Innen a következő egyenlőségek adódnak:[451]

12.222. egyenlet - (124,13)

M1111(s,t,u)=M1111(t,s,u)=M1111(u,t,s),M2222(s,t,u)=M2222(t,s,u)=M2222(u,t,s),M1122(s,t,u)=M1221(u,t,s)=M1212(t,s,u),M1221(s,t,u)=M1221(t,s,u),M1212(s,t,u)=M1212(u,t,s),M1122(s,t,u)=M1122(s,u,t).(124,13)


Így gyakorlatilag elég csupán három invariáns amplitúdót kiszámítani, például M1111-et, M2222-t és M1122-t.

A (124,13) egyenlőségek a teljes amplitúdókra vonatkoznak – a három (124,1) gráf megfelelő járulékainak összegére. De ezek a járulékok maguk is összefüggenek egymással, amint az nyilvánvaló a gráfok összehasonlításából. Így a b) diagramot az a)-ból a k2↔k4,e2↔e4∗ cserével kaphatjuk meg, ezért az invariáns amplitúdókhoz adódó járulékaik is megkaphatók egymásból az s↔u,λ2↔λ4, cserékkel, hasonlóan a c) gráf járulékát a)-ból a t↔u,λ3↔λ4 cserékkel kaphatjuk meg. Így

12.223. egyenlet - (124,14)

12M1111(s,t,u)=M1111(a)(s,t,u)+M1111(a)(u,t,s)+M1111(a)(s,u,t),12M2222(s,t,u)=M2222(a)(s,t,u)+M2222(a)(u,t,s)+M2222(a)(s,u,t),12M1122(s,t,u)=M1122(a)(s,t,u)+M1122(a)(u,t,s)+M1122(a)(s,u,t).(124,14)


Tehát elég csupán egyetlen diagram járulékát kiszámítani a következő négy amplitúdóhoz: M1111(a),M2222(a),M1221(a),M1122(a); ezek közül az első három függvény maga is szimmetrikus s-ben és t-ben, amint ez nyilvánvaló az a) diagram alakjából (szimmetrikus a k2és k3 végződések cseréjére nézve).

Az amplitúdók kiszámítása

A (124,1)a gráfnak megfelelő Mfi(a) integrál (123,4) alakú, mégpedig

12.224. egyenlet - (124,15)

B(a)=e4π2 Sp{ê1(q̂k̂2+m)ê2(q̂+m)ê4(q̂k̂4+m)ê3(q̂k̂1k̂2+m)}.


Ennek a kifejezésnek az értékét, amikor mindegyik e=(0,e)-ben e helyére a (124,9)e(λ) egységvektorok valamelyikét írjuk, Bλ1λ2λ3λ4(a)-val fogjuk jelölni; ezzel aB-vel felírt (123,4) integrál: Mλ1λ2λ3λ4(a).

A (123,4) integrálok logaritmikusan divergálnak. A (124,6) feltétel szerint úgy kell regularizálni őket, hogy a k1=k2=…=0 helyen felvett értéküket levonjuk az integrandusból.[452] A regularizált integrálok kiszámítása azonban roppant bonyolult.

A foton–foton szórás amplitúdójának legtermészetesebb kiszámítási módja a kettős diszperziós összefüggés felhasználásán alapul (B. de Tollis , 1964). Ez a módszer veszi legteljesebben figyelembe a gráfok szimmetriáját, és majdnem teljesen kiküszöböli az integrálás nehézségeit. A számítások menetét az M1111 amplitúdó példáján mutatjuk be.

Az A1s(a)(s,t) függvényt (123,6) szerint számíthatjuk ki. Mivel az integrál jele mögött két δ-függvény van, B-nek csak azokra az értékeire van szükségünk, amelyeket az

12.225. egyenlet - (124,16)

l12=q2=m2,l42=(qk1k2)2=m2


összefüggések érvényessége esetén felvesznek. A szokásos szabályok felhasználásával elvégzett számítások ekkor azt adják, hogy

12.226. egyenlet - (124,17)

B1111(a)=4e4π28(e(1)q)44(e(1)q)2+s2(k2q+k4q)+2(k2q)(k4q)st4.


Az A1s függvénynek csak a t=0 helyen felvett értékére van szükségünk [ahhoz, hogy (123,22)-be helyettesítsük]. Ez azt jelenti hogy k=k′és k2=k4. Ekkor a(123,6) integrál a következő alakot ölti:

12.227. egyenlet - (124,18)

[A1s(a)(s,0)]1111=π24s4m2sB1111(a)dΩq[(qk2)2m2]2


[vö. (112,10) levezetésével]. Vezessük be a qés k közötti ϑ szöget, valaminte(1)-nek és q-nak a k vektorra merőleges síkra eső vetületei közti φ szöget. Ekkor (t=0 esetén):

qk2=qk4 =ω(ω–|q|cosϑ), qe(1)=–|q|sinϑsinφ, (q–k2)2–m2=–2ω(ω–|q|cosϑ).

(124,17)-be és (124,18)-ba helyettesítve ezeket, a dΩq=sinϑdϑdφ szerinti integrálás elemi módon elvégezhető, és eredménye:

12.228. egyenlet - (124,19)

[A1s(a)(s,0)]1111=4πe4121+16m2s14m2s1+8m2sarchs2m.


Az [A1t(a)(0,t)]1111 függvény M1111(a) szimmetriája miatt csak az s→t cserében tér el) (124,19)-től.

Az A2(a)(s,t) függvény kiszámításához (123,18) szerint B(a)-nak csak a (123,15) helyen felvett értékeire van szükségünk, amelyek (124,16)-on kívül a (q–k2)2=m2,(q–k4)2=m2 feltételeknek is eleget tesznek; ekkor

k2q=k4q=0, (e(1)q)2=qz2=(st–4m2(s+t)/s+t).

Ezt (124,17)-be, majd (124,17)-et (123,18)-ba helyettesítve, azt kapjuk, hogy

12.229. egyenlet - (124,20)

[A2(a)(s,t)]1111=8π2e4st48st4m2(s+t)4(s+t)2{st[st4m2(s+t)]}12.


Az A1s,A1t,A2 függvények kiszámítása után a (123,22) összefüggés az M amplitúdót közvetlenül egyszeres és kettős határozott integrálok alakjában adja meg. Tájékoztatásul felírjuk a végeredményt arra a négy M(a) amplitúdóra, amelyekből (124,14) szerint a teljes szórási amplitúdó meghatározható:[453]

12.230. egyenlet - (124,21)

14α2M1111(a)(s,t)=13+sts+t[B(s)B(t)]14t2ss(s+t)2st(s+t)2T(s)14s2tt(s+t)2st(s+t)2T(t)++12st4sts+t2I(s,t),14α2M2222(a)(s,t)=1+sts+t[B(s)B(t)]1+4ts(s+t)2st(s+t)2T(s)1+4st(s+t)2st(s+t)2T(t)++12st(s+t)2I(s,t),14α2M1122(a)(s,t)=59+sts+tB(s)+53+163t2ss+tB(t)1+4s+t2st(s+t)2[T(s)+T(t)]++14t+8s+t2st(s+t)2I(s,t),14α2M1221(a)(s,t)=1953+163s2ts+tB(s)53+163t2ss+tB(t)++1+4s+t2st(s+t)2[T(s)+T(t)]14s4t+8s+t2st(s+t)2I(s,t).(124,21)


Itt B(s),T(s),I(s,t) a következő függvényeket jelölik:

B(s)={√(1–(4/s))arsh(√(–s)/2)–1, s<0, / √((4/s)–1)arcsin(√s/2)–1, 0<s<4, / √(1–(4/s))arch(√s/2)–1–(iπ/2)√(1–(4/s)), 4<s;

12.231. egyenlet - (124,22)

T(s)=arshs22,s<0,arcsins22,0<s<4,archs22π24iπarchs24<s;


I(s,t)=I(t,s)=(1/4)∫01(dy/y(1–y)–(s+t/st)){ln[1–i0–sy(1–y)]+ln[1–i0–ty(1–y)]}.

[A felírás egyszerűsítése céljából a (124,21), (124,22) képletekben, és csak bennük, az s és t betűk az s∕m2 és t∕m2 hányadosokat jelölik.]

A szórás hatáskeresztmetszete

Kis frekvenciák határesetének (ω≪m) az s,t,u változók kis értékei felelnek meg. Az invariáns amplitúdók ezek szerinti sorfejtésének első tagjai:

12.232. egyenlet - (124,23)

M1111=M2222=4e445m4(s2+t2+u2),M1122=e445m4(4s2+7t2+7u2).(124,23)


A fenti amplitúdók alapján kiszámított differenciális hatáskeresztmetszet polarizálatlan fotonokra a következő (szokásos egységek):

12.233. egyenlet - (124,24)

dσ=1394π2(90)2α2re2ωmc26(3+ cos2𝜃)2dΩ,


a teljes hatáskeresztmetszet pedig[454]

12.234. egyenlet - (124,25)

σ=97310125πα2re2ωmc26=0,030α2re2ωmc26,ωmc2.


Az ellenkező, ultrarelativisztikus esetben a polarizálatlan fotonok teljes szórási hatáskeresztmetszete :

12.235. egyenlet - (124,26)

σ=4,7α4cω2,ωmc2.


A fenti hatáskeresztmetszet ω-tól való függése dimenzionális meggondolások alapján előre látható: ℏω≫mc2 esetén a teljes hatáskeresztmetszet nem függhetm-től, és így α4c2∕ω2 az egyetlen olyan kifejezés, amely a megfelelő dimenziójú, és e8-nal arányos; a (124,26) együtthatója numerikus számítás eredménye.

Végül megadjuk a differenciális hatáskeresztmetszetet kis szögekre, ultrarelativisztikus esetben:

12.236. egyenlet - (124,27)

dσ=α4π2ω2 ln41𝜃dΩ,mω𝜃1.


Ez a kifejezés logaritmikus pontossággal érvényes – a sorfejtés következő tagja a nagy logaritmikus tényezőnek eggyel kisebb hatványát tartalmazza. A =0 határátmenetre (előreszórás) a (124,27) képlet nem alkalmazható. Helyette a következőáll fenn:

12.237. egyenlet - (124,28)

dσ=α4π2ω2 ln4ωmdΩ,𝜃mω.


Ezt a kifejezést könnyen megkaphatjuk a (124,21)általános képletekből t=0-ra, haészrevesszük, hogy s≫1 esetén a nagy logaritmus legmagasabb (második) hatványát csak a

T((s/m2))≈(1/4)ln2(s/m2)≈ln2(ω/m)

függvény tartalmazza. Ilyen pontossággal csak a következő amplitúdók különböznek zérustól:

M1111=M2222=M1212=–16e4ln2(ω/m).

Ez többek között azt jelenti, hogy ebben az esetben a foton polarizációja nem változik meg a szórás folyamán.

A 23. ábrán a teljes hatáskeresztmetszet látható ω függvényében (mindkét tengelyen logaritmikus skálán). A hatáskeresztmetszet mind a kis, mind a nagy frekvenciák felé csökken, és ω≈1,5m körül éri el a maximumát. Az ω=m helyen a görbe megtörik – ez a folyamat jellegének megváltozását tükrözi, ami azzal függ össze, hogy itt lehetőség nyílik egy valódi elektron–pozitron pár keltésére .

23. ábra.

A kis frekvenciák esete

Kis frekvenciák (ω≪m) esetén a foton-foton szórás amplitúdóját egészen más úton is megkaphatjuk, a gyenge elektromágneses tér Lagrange-függvényének korrekciós tagjaiból (l. alább, 126. §) kiindulva.

A kölcsönhatás Hamilton-függvényének kis korrekciója, V′ csak előjelben különbözik a Lagrange-függvény kis korrekciójától. (126,19) szerint

12.238. egyenlet - (124,29)

V=e4458π2m4{(E2H2)2+7(EH)2}d3x.


Mivel ez az operátor a tér negyedik hatványait tartalmazza, így a minket érdeklőátmenethez már első rendben ad járulékot.

A számítások elvégzéséhez (124,29)-be az

12.239. egyenlet - (124,30)

E=At,H= rotA,A=4πkλ(ckλekλeikx+ckλ+ekλeikx)(124,30)


képleteket kell beírnunk (λ a polarizációt jellemző index), ezután pedig azS-mátrix elemét a következő képlet segítségével határozzuk meg:

12.240. egyenlet - (124,31)

Sfi=ifVdti=i0ck3λ3ck4λ4Vdtck1λ1+ck2λ2+0


(vö. 73. §, 78. §). Ha A-t (124,30) szerint normáljuk, akkor az Mfi szórási amplitúdót az

12.241. egyenlet - (124,32)

Sfi=i(2π)4δ(4)(k3+k4k1k2)Mfi


összefüggés alapján Sfi-ből közvetlenül meghatározhatjuk (vö. 65. §). A (124,31)-ben az átlagértéket a Wick-tétel szerint, (78,3) segítségével számíthatjuk ki, ahol természetesen csak a „külső”ckλ,ckλ+ perátorokat kell a belsőA operátorokkal párosítani.

A szórási amplitúdó a fotonok polarizációjának és irányának explicit függvényeként a következő:

12.242. egyenlet - (124,33)

Mfi=445α2ω4m4(7R10S),


R =P(1234)+P(1324)+P(1432), S =Q(1234)+Q(1324)+Q(1432),
P(1234) =(e1n4)(e2n1)(e3n2)(e4n3)+(e1n3)(e2n1)(e3n4)(e4n2)– –(e1e2){(1–n3n4)[(e3n2)(e4n1)+(e3n1)(e4n2)]– –(1–n1n4)(e3n2)(e4n3)–(1–n2n3)(e3n4)(e4n1)– –(1–n1n3)(e3n4)(e4n2)–(1–n2n4)(e3n1)(e4n3)}– –(e3e4){(1–n1n2)[(e1n4)(e2n3)+(e1n3)(e2n4)]– –(1–n2n3)(e1n4)(e2n1)–(1–n1n4)(e1n2)(e2n3)– –(1–n2n4)(e1n3)(e2n1)–(1–n1n3)(e1n2)(e2n4)}+ +(e1e2)(e3e4)[(1–n1n4)(1–n2n3)+(1–n1n3)(1–n2n4)], Q(1234) =(e1n2)(e2n1)(e3n4)(e4n3)+(1–n1n2)(e1e2)(e3n4)(e4n3)+ +(1–n3n4)(e3e4)(e1n2)(e2n1)+(e1e2)(e3e4)(1–n1n2)(1–n3n4),

ahol n1=–n2=n, n3=–n4=n′, n=k∕ω, n′=k′∕ω.



[450] Kis frekvenciák határesetében ezt a folyamatot elsőként H. Euler (1936) vizsgálta, ultrarelativisztikus esetben pedig A. I. Ahiezer (1937). A feladat teljes megoldását R. Karplus és M. Neumann (1951) adták még.

[451] Mivel az s,t,u változók nem függetlenek, elég lett volna minden függvénynél két argumentumot kiírni (például az első kettőt); csak azért tartottuk meg mindhárom argumentumot, hogy a felcserélésükkel szembeni szimmetriát kihangsúlyozzuk.

[452] Megjegyezzük, hogy az összes gráf járulékának összeadásakor az integrálok divergens részei kiejtik egymást. Erről könnyű meggyőződni, ha észrevesszük, hogy az integrál aszimptotikus alakja (q→∞ esetén): Mλμνϱ(a)∼∫Sp(γνq̂γϱq̂γμq̂γλq̂)(d4q/(q2)4). q irányára való átlagolás után [vö. (127,10)] a nyom könnyen kiszámítható, és eredménye: Mλμνϱ(a)∼(gλμgνϱ+gλνgμϱ–2gλϱgμν)∫(d4q/(q2)2). A diagramok szerinti összegezés azt jelenti, hogy ezt a kifejezést a λ,μ,ν,ϱ indexekben szimmetrizálni kell, aminek következtében eltűnik. Hangsúlyozzuk azonban, hogy ez a kiejtés bizonyos értelemben véletlen jelenség, és nem érinti a regularizáció szükségességét, bár ez most csupán egy véges mennyiség levonásához vezet.

[453] Az integrálok átalakításának néhány részletét, a B,T,I transzcendens függvények különböző előállításait és a határesetekre vonatkozó képleteket – l. B. de Tollis , Nuovo Cimento 32, 757 (1964); 35, 1182 (1965).

[454] dσ-ról σ-ra áttérve, egy 1/2 szorzótényezőt kell beírnunk, amely a két végállapotbeli foton azonosságát veszi figyelembe.