Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

123.§. Kettős diszperziós reláció

123.§. Kettős diszperziós reláció

A három külső vonalat tartalmazó csúcsrész után bonyolultságban a négy véget tartalmazó blokk következik. A kvantumelektrodinamikában három ilyen legegyszerűbb diagram lehetséges:

12.187. egyenlet - (123,1)


Az első közülük a foton–foton szórást írja le. A többi gráf a sugárzási korrekciók bizonyos tagjai a foton–elektron szórásban(b) és az elektron–elektron szórásban(c).

Ebben a szakaszban az ilyenfajta diagramok néhány általános tulajdonságát vizsgáljuk. Az egyszerűség kedvéért azonban csak a (123,1)a diagramra szorítkozunk.

Jelöljük ennek vonalait a következő módon:

12.188. egyenlet - (123,2)


A k1,k2,k3,k4 négyesimpulzusok valódi fotonoknak felelnek meg, így négyzeteik eltűnnek.

A fotonok polarizációjától való függést leválasztva, a (123,2) gráfnak megfelelő Mfi amplitúdót a fotonok négyesimpulzusától függő néhány skalárfüggvénnyel lehet kifejezni. Ezek az invariáns amplitúdók , amelyekről a 71. §-ban volt szó; konkrét leválasztásukat a foton–foton szórás esetére a következő szakaszban fogjuk elvégezni. Skalárok lévén, ezek csak skalár változóktól függnek, amelyeknek például az alábbi mennyiségek közül bármely kettőt választhatjuk:

12.189. egyenlet - (123,3)

s=(k1+k2)2,t=(k1k3)2,u=(k1k4)2,s+t+u=0.


A továbbiakban az sés t változókat függetleneknek tekintjük.

Az invariáns amplitúdók bármelyike (amit itt ugyanazzal az M betűvel jelölünk) a következő integrálalakban állítható elő:

12.190. egyenlet - (123,4)

M=iBd4q[q2m2][(qk4)2m2][(qk1k2)2m2][(qk2)2m2],


m2→m2–i0,

ahol B a négyesimpulzusoknak valamilyen függvénye; a nevező tényezői a négy virtuális elektron propagátoraiból származnak.

Elég kis s és t esetén az M amplitúdók valósak (pontosabban szólva, a fázisszorzó megfelelő választásával azzá tehetők). Valóban, ha s kicsi, akkor a fotonok nem kelthetnek valódi részecskéket (elektron-pozitron párt) az s-csatornában; ha t kicsi, akkor ugyanez áll a t-csatornára.[446] Más szóval, mindkét csatornában hiányzanak a valódi közbenső állapotok, amelyek – az unitaritási feltétel szerint – az amplitúdó imaginárius részének megjelenéséhez vezetnének.

Növeljük most s-et rögzített (kis) t érték mellett. Ha s≥4m2, az M amplitúdó képzetes része is megjelenik, mivel a két foton egy párt kelthet az s-csatornában. Így M-re diszperziós összefüggést írhatunk fel az „s változóban”:

12.191. egyenlet - (123,5)

M(s,t)=1π4m2A1s(s,t)s1i0ds,


ahol A1s(s,t) az M(s,t) képzetes része.

Mint bármely

alakú gráf esetén, A1s(s,t)-t a (112,9) szabály szerint kell kiszámítani, tehát úgy, hogy a (123,4) integrálban a megfelelő pólustényezőket δ-függvényekkel helyettesítjük:

12.192. egyenlet - (123,6)

2iA1s(s,t)=(2πi)2iBδ(q2m2)δ[(qk1k2)2m2][(qk4)2m2][(qk2)2m2]d4q,


ahol a q-térnek a q0>0 felére kell integrálni.

Lényeges lépést tehetünk előre, ha észrevesszük, hogy a (123,6) integrál szerkezete (pólustényezőit tekintve) ugyanolyan típusú, mint a következő gráf segítségével definiált amplitúdó:

Így az A1s(s,t) függvény analitikus tulajdonságai a t változóban hasonlóak a fenti amplitúdó analitikus tulajdonságaihoz. Így például az A1s(s,t) függvénynek csak akkor jelenhet meg (t növelésekor) képzetes része, amikor a nevező két tényezője egyszerre válik nullává. Ez azonban nem történik meg rögtön, amikor elérjük a t=4m2 értéket, a párkeltés küszöbét a t-csatornában. Ennek az az oka, hogy az integrandusban álló δ-függvények a q-tér integrálási tartományát leszűkítik, és lehet, hogy ez nem egyeztethető össze a t=4m2 értékkel. Az integrálási terület nagysága függ s értékétől (a δ-függvények argumentumai tartalmazzák k1-et és k2-t). Így a t=tc(s) határ is, amelyen túl az A1s(s,t) függvény komplexszé válik, függ s-től.

Ahhoz hasonlóan, ahogy (123,5) szerint az M(s,t) függvény kifejezhető képzetes része segítségével, az A1s(s,t) függvényt is kifejezhetjük egy „t változóban” felírt diszperziós relációval (összefüggéssel):

12.193. egyenlet - (123,7)

A1s(s,t)=1πtc(s)A2(s,t)tti0dt,


ahol A2(s,t)=ℑA1s(s,t).

(123,7)-et (123,5)-be helyettesítve, az M(s,t) amplitúdóra felírt kettős diszperziós relációt , az ún. Mandelstam-reprezentációt kapjuk:

12.194. egyenlet - (123,8)

M(s,t)=1π24m2tc(s)A2(s,t)(ssi0)(tti0)dtds


(S. Mandelstam , 1958).

Az A2(s,t) függvényt az M(s,t) függvény kettős spektrális sűrűségének nevezik. Ezt a (123,6) integrálból a (112,9) szabály ismételt alkalmazásával kapjuk. A rövidség kedvéért bevezetve az

12.195. egyenlet - (123,9)

l1=q,l2=qk4,l3=qk2,l4=qk1k2


jelöléseket, azt kapjuk, hogy

12.196. egyenlet - (123,10)

(2i)2A2(s,t)=(2πi)4iBδ(l12m2)δ(l22m2)δ(l32m2)δ(l42m2)d4q,


ahol az integrálást a q0>0 tartományra kell elvégezni.

Meg kell jegyeznünk azonban, hogy a (123,10) képletnek csak szimbolikus értelme van. Az s>0,t>0 tartomány ugyanis nem fizikai. Ennek megfelelően ebben a tartományban az l1,l2,… mennyiségek valós q értékek mellett általában véve komplexek; a δ-függvény fogalma viszont az argumentum komplex értékei esetén nem teljesen meghatározott. Helyesebb lenne az eredeti (123,4) integrál megfelelő pólusaiban vett reziduumokról beszélni. A mi esetünkben azonban ez nem játszik szerepet. Az a feltétel, hogy (123,4) négy nevezője vagy a négy δ-függvény argumentuma egyszerre nullává váljék, teljesen meghatározza a q négyesvektor komponenseit. Az l12,l22,… változók szerinti integrálásra áttérve (l. alább) és formálisan használva (123,10)-et, megkapjuk (előjeltől eltekintve) az A2-t leíró kifejezést.

A további számítások céljából tekintsük a tömegközépponti rendszert (az s-csatornában). Ekkor

12.197. egyenlet - (123,11)

k1=(ω,k),k2=(ω,k),k3=(ω,k),k4=(ω,k),


12.198. egyenlet - (123,12)

s=4ω2,t=(kk)2=4ω2 sin2𝜃2,u=(k+k)2=4ω2 cos2𝜃2,(123,12)


ahol a kés k′által bezárt szög (szórási szög ). A térbeli derékszögű koordináta-rendszer x tengelye mutasson a k+k′ vektor irányába, y tengelye pedig k–k′ irányába.[447]

Ezután alakítsuk át a (123,10) integrált úgy, hogy áttérünk az l12,l22,… új integrális változókra (q négy komponense helyett). Mivel

(∂(l12)/∂qμ)=2l1μ,…

így a transzformáció Jacobi-determinánsa :

(∂(l12,l22,l32,l42)/∂(q0,qx,qy,qz))=16D,

ahol D az l1,l2,l3,l4 négyesvektorok 16 komponenséből alkotott determináns. (123,10)-ben az integrálást úgy kell elvégezni, hogy az integrandusban álló B és D függvényeket az

12.199. egyenlet - (123,13)

l12=l22=l32=l42=m2


helyen felvett értékükkel helyettesítjük.[448] Az l12=l42=m2 feltételekből, akárcsak a 112. §-ban, azt kapjuk, hogy:

12.200. egyenlet - (123,14)

q0=ω,q2=ω2m2.


A két további feltételből:

(q–k4)2–m2 =–2qk4=–2ω2–2qk′=0, (q–k2)2–m2 =–2ω2–2qk=0,

tehát

qk=qk′=–(s/4),

vagy komponensek szerint kiírva:

12.201. egyenlet - (123,15)

q0=ω,qx=s2(s+t),qy=0,qz=±ω2m2qx2=±st4m2(s+t)4(s+t)12.(123,15)


Így a (123,10) integrál eredménye:

12.202. egyenlet - (123,16)

A2(s,t)=π44D(iB),


ahol az összegezést a (123,15)-ben meghatározott két qértékre kell elvégezni.

A D determinánst felírhatjuk az antiszimmetrikus egységtenor segítségével:

D=eμνϱσl1μl2νl3ϱl4σ=–eμνϱσqμk4νk2ϱk1σ=–eμνϱσ(q–k1)μ(k4–k1)ν(k2–k1)ϱk1σ

(az átalakítások során felhasználtuk azt, hogy eμνϱσ antiszimmetrikus). Észrevéve, hogy a négy tényező közül csak k1-nek van időkomponense, ez a képlet egyszerűsíthető:

D=–ωq[(k+k′)(k–k′)].

Ha ezt a kifejezést kifejtjük t<0-nál, majd t>0-hoz folytatjuk, azt kapjuk, hogy

12.203. egyenlet - (123,17)

D=ωqzs+tt±i4{st[st4m2(s+t)]}12.


A fenti kifejezésben a helyes előjelet a következő meggondolás alapján határozhatjuk meg. Legyen az egyszerűség kedvéért B=1. Ekkor látható, hogy az (s>0,t<0) fizikai tartományban A1s(s,t)<0. Valóban, a (123,6) integrálban mindkét nevező előjele megegyezik (negatív):

(q–k4)2–m2 =–2ω2–2qk′<–2ω(ω–|q|)<0, (q–k2)2–m2 =–2ω2–2qk<–2ω(ω–|q|)<0

[itt felhasználtuk, hogy a számlálóban levő δ-függvények miatt fennáll (123,14), és így |q|<ω].[449](123,7)-ből látható, hogy az A2(s,t) függvénynek is negatívnak kell lennie, ha s>0,t>0 [figyelembe véve, hogy – amint a (123,16)-ból látható – A2 nem vált előjelet]. Ez azt jelenti, hogy (123,17)-ben a felső előjelet kell választani, és így végül

12.204. egyenlet - (123,18)

A2=π4B{st[st4m2(s+t)]}12.


Mivel az A2(s,t) függvény értelemszerűen valós kell, hogy legyen, azonkívül mivel s és t pozitív, még a nevezőben a szögletes zárójelben álló kifejezésnek is pozitívnak kell lennie:

12.205. egyenlet - (123,19)

st4m2(s+t)0,s>0,t>0.(123,19)


Ezek az egyenlőtlenségek meghatározzák azt a tartományt, amelyre a (123,8) kettős diszperziós integrálban integrálni kell (ez a 22. ábrán látható bevonalkázott tartomány). Ennek határa az

st–4m2(s+t)=0

görbe, amelynek aszimptotái s=4m2 és t=4m2.

22. ábra.

A (123,5) és (123,8) alakban felírt diszperziós összefüggések még nem veszik figyelembe a renormálási feltételeket , szó szerinti felhasználásuk esetén divergensek lennének, és regularizálni kellene őket. Az M(s,t) amplitúdóra felírt regularizációs feltétel :

12.206. egyenlet - (123,20)

M(0,0)=0.


Valóban, a foton–foton szórás amplitúdójának el kell tűnnie, amikork1=k2=k3=k4=0 (és így s=t=0), mivel k=0 térben és időbenállandó potenciált jelent, amelynek semmilyen fizikai tér nem felel meg (erre a feltételre még részletesebben visszatérünk a következő szakaszban).

Hogy ezt a feltételt automatikusan figyelembe vegyük, „levonásos” diszperziós relációt kell felírnunk [a (108,8)-ról (108,13)-ra való áttéréshez hasonlóan]. Természetes módon juthatunk ilyen diszperziós relációhoz, ha előbb (123,8)-ban azonos átalakítást hajtunk végre az

(1/(s′–s)(t′–t))=(st/(s′–s)(t′–t)s′t′)+(s/(s′–s)s′t′)+(t/(t′–t)s′t′)+(1/s′t′)

azonosság segítségével. Ezt (123,8) integrandusába helyettesítve, azt kapjuk, hogy

M(s,t)=(st/π2)∬(A2(s′,t′) ds′dt′/(s′–s)(t′–t)s′t′)+(s/π)∫(f(s′) ds′/(s′–s)s′)+(t/π)∫(g(t′) dt′/(t′–t)t′)+C,

ahol

f(s) =(1/π)∫(A2(s,t′)/t′) dt′, g(t)=(1/π)∫(A2(s′,t)/s′) ds′, C =(1/π2)∬(A2(s′,t′)/s′t′) ds′dt′.

Az utóbbi egyenlőségeknek azonban csak akkor volna értelmük, ha mindegyik integrál konvergálna. Ellenkező esetben az f(s),g(t) függvényeket és a C állandót külön meg kell adni úgy, hogy a renormálási feltétel teljesüljön. Ennek a

C=0, f(s)=A1s(s,0), g(t)=A1t(0,t)

választás felel meg [ahol A1t az M(s,t) képzetes része, amely t növelésekor jelenik meg adott kis s mellett, ahhoz hasonlóan, ahogyan A1s az s növelésekor megjelenő képzetes rész, adott kis t mellett]. Az első egyenlőség nyilvánvaló: C=M(0,0)=0. A második (és hasonlóan a harmadik) megkapható, ha összehasonlítjuk az

M(s,0)=(s/π)∫(f(s′) ds′/(s′–s)s′)

egyenlőséget a (123,5) egyszeres diszperziós relációval , amelyet a (123,20) feltételnek megfelelően, „levonással” írunk fel:

12.207. egyenlet - (123,21)

M(s,t)=sπA1s(s,t)(ss)sds.


Így a végleges „levonásos” kettős diszperziós összefüggés :

12.208. egyenlet - (123,22)

M(s,t)=stπ2A2(s,t)(ss)(tt)stdsdt++sπA1s(s,0)(ss)sds+tπA1t(0,t)(tt)tdt.(123,22)


Ha az s,tértékek az integrálási tartományba esnek, akkor az integrált, mint mindig, az

12.209. egyenlet - (123,23)

ss+i0,tt+i0


határértékként kell értelmezni.



[446] A (123,2) gráf vonalainak iránya az s-csatornának felel meg. A t-csatornában az 1 és 3 vonalak lennének befutóak, tehát a kezdeti fotonok négyesimpulzusai k1 és –k3 lennének. A foton-foton szórás fizikai tartománya az s,t,u változókban a 10. ábrán (68. §) a vonalkázott szektorok. Így például az s-csatornának az s>0, t<0, u<0 tartomány felel meg.

[447] t>0 esetén (k–k′)2<0, vagyis a k–k′ vektor képzetes. Ezt a nehézséget azonban elkerülhetjük, ha a vektorális kifejezéseket t<0-ra kifejtjük, majd analitikusan folytatjuk őket t>0-ra.

[448] Ilyen integrálási módszerrel automatikusan elérjük, hogy mindegyik δ-függvény argumentumának csak az egyik gyökét vesszük figyelembe.

[449] Természetesen ez nem véletlen. Az, hogy A1s negatív, valójában az unitaritási feltételből következik, ami különösen nyilvánvaló a t=0 esetben, mikor A1s a teljes hatáskeresztmetszetet határozza meg.