Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

122.§. Kötött állapotokra vonatkozó relativisztikus egyenlet

122.§. Kötött állapotokra vonatkozó relativisztikus egyenlet

Az előző szakaszokban az atomi szintek sugárzási eltolódásának kiszámításakor használt módszer nem alkalmazható olyan feladat esetén, mint amilyen a pozitrónium energiaszintjeihez tartozó korrekciók meghatározása. A pozitrónium ugyanis két egyenrangú részecskéből áll, egyik sem tekinthető a külső tér forrásaként a másikhoz képest.

A fenti feladat következetes megoldása azon alapul, hogy a kötött állapotok energiaszintjei a két részecske egymáson való szóródását leíró amplitúdóban pólusként jelennek meg (a tömegközépponti rendszerben az összenergia függvényében vizsgálva). Valóban, a pozitróniumot bármely diszkrét állapotában adott tömegű „közbenső részecskének” tekinthetjük, amelyen keresztül az elektron és a pozitron szórása végbemegy. Minden „egyrészecskés” közbenső állapotnak pólus felel meg a szórási amplitúdóban (természetesen ezek a pólusok a szórt részecskék négyesimpulzusainak nercfizikai tartományába esnek).

(103,17) szerint a pontos szórási amplitúdót a Γik,lm pontos, négyágú vertexfüggvényből és a részecskék u polarizációs amplitúdóiból lehet felépíteni. Az utóbbiaknak nyilvánvalóan nincs közük a pólusos szingularitásokhoz, ezért az egyszerűség kedvéért elhagyjuk őket, és ehelyett magának a vertexfüggvénynek a pólusairól fogunk beszélni, vagyis a

12.168. egyenlet - (122,1)

Γik,lm(p,p+;p,p+)


függvény pólusairól, ahol a (103,12) diagram külső vonalait az elektron?pozitron szórásnak megfelelően jelöltük.

Hangsúlyozzuk, hogy a pólusok létezéséről szóló állítás a pontos szórási amplitúdóra vagy a pontos vertexfüggvényre vonatkozik; a perturbációszámítás szerinti sorfejtés egyetlen tagjában sincs pólus. Az utóbbi állítás abból is nyilvánvaló, hogy a tetszőleges közelítésben felírt Feynman-gráfok csak elektron- (és foton-) vonalakat tartalmaznak, de nem az „összetett részecske”, a pozitrónium vonalait. Innen az is következik, hogy a pólus közelében az amplitúdó kiszámításához végteién sok gráfot kell összegeznünk. Vizsgáljuk meg, hogy milyen gráfok tartoznak ide.

A perturbációszámítás első nem eltűnő (α szerint első) közelítésében a (122,1) csúcsrésznek két másodrendű diagram felel meg:

12.169. egyenlet - (122,2)


vagy analitikus alakban

12.170. egyenlet - (122,3)

Γik,lm=e2γilμγkmνDμν(pp)+e2γimμγklνDμν(p+p+).


A következő (α szerint második) közelítésben már 10 negyedrendű diagram létezik:

12.171. egyenlet - (122,4)


és még 5 diagram, amelyek ezekből a p–↔–p+′ cserével kaphatók meg. Mindezek a gráfok a (122,2) gráfokhoz képest egy további e2=α hatványt tartalmaznak. Megmutatjuk azonban, hogy az a) gráfban ezt a kis tényezőt ellensúlyozza (kis elektron- és pozitronimpulzusok esetén) a nevezőben álló kis mennyiség.

Minden mennyiséget a „tömegközépponti rendszerben” fogunk felírni. Mivel azonban a diagramok végződéseit nem tételezzük fel fizikaiaknak (azaz p2≠m2), így bár ebben a rendszerben p+=–p–, viszont ε+≠ε–. Így a végek négyesimpulzusai:

12.172. egyenlet - (122,5)

p=(𝜀,p),p+=(𝜀+,p),p=(𝜀,p),p+=(𝜀+,p),𝜀+𝜀+=𝜀+𝜀+.(122,5)


A pozitróniumban az elektron és a pozitron kötési energiája∼mα2. Ezért a szórási amplitúdó minket érdeklő pólusainak közelében

12.173. egyenlet - (122,6)

|p||p|mαm,|𝜀m||𝜀+m|p2mmα2,(122,6)


A (122,4)a gráf járuléka a csúcsrészhez:

12.174. egyenlet - (122,7)

Γik,lm(4a)=ie4(γλG(q)γμ)il(γνG(qpp+)γϱ)km××Dλϱ(qp)Dμν(pq)d4q(2π)4.(122,7)


A (122,7) integrálban a qμ=(q0,q)értékeknek az a tartománya lényeges, amikor mindkét G függvény argumentuma a pólus közelében van. Ebben a tartományban |q|és |q0–m| kicsi, és az elektronpropagátorok:

12.175. egyenlet - (122,8)

G(q)=γ0q0γq+m(q0+m)(q0m)q2+i0γ0+121q0mq2m+i0,G(qpp+)γ0121q0𝜀𝜀++m+q22mi0.(122,8)


A két kifejezés pólusai a q0 komplex síkon a valós tengely két oldalán helyezkednek el; az integrálási görbét bezárva, mondjuk a felső félsíkban, adq0 szerinti integrált a megfelelő pólus reziduumának segítségével meghatározhatjuk.[440] Eredményül azt kapjuk, hogy

Γ(4a)∼e4∫(d3q/(q–p–′)2(p––q)2(2m–ε––ε++(q2/m))),

innen pedig (122,6) felhasználásával a

Γ(4a)∼α2((mα)3/(mα)4mα2)=(1/m2α)

becslést. Ugyanez a nagyságrendje a (122,2)a másodrendű diagram járulékának Γ-hoz [(122,3) első tagja], amivel a fenti, (122,4)a gráfra vonatkozó állításunkat be is bizonyítottuk. Hasonló a helyzet a perturbációszámítás bármely további közelítésében.

Ahhoz tehát, hogy a minket érdeklő csúcsrészt a pólusai közelében kiszámítsuk, az „anomálisan nagy” diagramok végtelen sorát kell összegeznünk, olyan gráfokét, amelyek a (122,4)a-hoz hasonló belső vonalakat tartalmaznak. Ezekre jellemző, hogy a p–,–p+ és a p–′,–p+′ végeik közt két részre lehet őket vágni, amelyeket csak két elektronvonal köt össze egymássa1.[441] Azoknak a gráfoknak a sokaságát, amelyek nem elégítik ki ezt a feltételt, nevezzük „kompakt” csúcsrésznek , és jelöljük Γ̃ik,lm-mel; mivel ez nem tartalmaz anomálisan nagy gráfokat, ezeket a mennyiségeket a szokásos perturbációszámítás segítségével ki lehet számítani. Így Γ̃-t első közelítésben a (122,2) két másodrendű diagramja, második közelítésben pedig nyolc negyedrendű diagram [a (122,4)a-b kivételével mind] határozza meg.

A nemkompakt csúcsrészeket rendszerezhetjük a bennük levő „kettős kötések” száma szerint. Így a teljes Γ-t végtelen sor alakjában állíthatjuk elő:

12.176. egyenlet - (122,9)


ahol minden belső vastag vonal a pontos propagátort jelenti (az ilyen alakú sort gyakran létrasornak nevezik). Hogy összegezhessük ezt a sort, „szorozzuk” be balról egy Γ̃-val:[442]

Ezt a sort az eredeti (122,9) sorral összehasonlítva, látjuk, hogy

12.177. egyenlet - (122,10)


Ez a grafikus egyenlőség a következő integrálegyenlettel ekvivalens:

12.178. egyenlet - (122,11)

iΓik,lm(p,p+;p,p+)=iΓ̃ik,lm(p,p+;p,p+)++Γ̃ir,sm(p,qp+p;q,p+)𝒢st(q)𝒢nr(qp+p)××Γtk,ln(q,p+;p,qp+p)d4q(2π)4.(122,11)


A Γ̃és függvényeket perturbációszámítás segítségével határozzuk meg, ezután pedig a (122,11) egyenlet elvben lehetőséget ad arra, hogy Γ-t tetszőleges pontossággal kiszámítsuk.

Az energiaszintek meghatározásához elegendő a Γ függvény pólusainak helyzetét ismerni. A pólusok közelében Γ≫Γ̃, így (122,11) jobb oldalának első tagját [ (122,10) jobb oldalán a második gráf] el lehet hagyni, és ekkor az egyenlet Γ-ra nézve homogénné válik. Ebben az egyenletben a p+,p– változók, akárcsak a k,l indexek csupán paraméterek, az ezektől való függés tetszőleges marad (az egyenlet nem határozza meg).[443] Ezeket a paramétereket (és velük együtt a megmaradó p+′,p–′ változókról a vesszőt) elhagyva, a következő egyenlet adódik:

12.179. egyenlet - (122,12)

iΓi,m(p;p+)=Γ̃ir,sm(p,qp+p;q,p+)𝒢st(q)××𝒢nr(qp+p)Γt,n(q;qp+p)d4q(2π)4(122,12)


(E. E. Salpeter , H. A. Bethe , 1951).

A tömegközépponti rendszerben (p++p–=0) felírt (122,12) egyenletnek csak bizonyos ε++ε–értékek mellett van megoldása – ezek adják meg a pozitrónium energiaszintjeit. A Γi,m függvénynek ekkor csak kisegítő szerepe van. Helyette célszerűbb új függvényt bevezetni:

12.180. egyenlet - (122,13)

χsr(p1,p2)=𝒢st(p1)Γt,n(p1;p2)𝒢nr(p2).


Ekkor a (122,12) egyenlet a következő alakot ölti:

12.181. egyenlet - (122,14)

i[𝒢1(p)χ(p,p+)𝒢1(p+)]im==Γ̃ir,sm(p,qp+p;q,p+)χsr(q,qp+p)d4q(2π)4,(122,14)


amelyben Γ̃ az integráloperátor magjaként szerepel. Amint már megjegyeztük, Γ̃-t a perturbációszámítás segítségével meghatározhatjuk; ugyanez vonatkozik természetesen a –1 függvényre is.

Megmutatjuk, hogy a perturbációszámítás (α szerinti) első közelítésében (122,14), amint az várható, a pozitróniumra felírt nemrelativisztikus Schrödinger-egyenletbe megy át.

Az első nemrelativisztikus közelítésben Γ̃-nak csak egy gráf, a (122,2)a felel meg [a (122,2)b szétsugárzási típusú diagram ebben a közelítésben nullává válik].[444] Mint a 83. §-ban tárgyalt hasonló esetben, a fotonpropagátort célszerű a (77,12), (77,13) Coulomb-mértékben felírni, és elég csak a D00 komponenst megtartani. Ekkor

Γ̃ir,sm(p–,q–p+–p–;q,–p+)=–e2γis0γrm0D00(q–p–)=–U(q–p–)γis0γrm0,

ahol

U(q)=–(4πe2/q2)

a pozitron és elektron Coulomb-kölcsönhatását leíró potenciális energia Fourier-komponense . Ekkor a (122,14) egyenlet a következő lesz:

12.182. egyenlet - (122,15)

iχim(p,p+)==G(p)γ0U(qp)χ(q,qp+p)d4q(2π)4γ0G(p+)im,(122,15)


ahol a pontos propagátorokat is helyettesítettük a szabad G propagátorokkal . Az utóbbiakra a következő közelítő kifejezések írhatók fel [vö.(122,8)]:

G(p–)≈(1+γ0/2)g(p–), G(–p+)=(1–γ0/2)g(p+),

ahol kiemeltük a mátrixtényezőket, g(p) pedig a

12.183. egyenlet - (122,16)

g(p)=1𝜀mp22m+i0


skalár függvény. Ezeket a kifejezéseket (122,15)-be helyettesítve, észrevesszük, hogy minden, zérustól különböző

[(1+γ0/2)γ0χγ0(1–γ0/2n)]im=[(γ0+1/2)χ(γ0–1/2)]im

mátrixelem megegyezik a megfelelő –χim elemmel. Így a (122,15) egyenlet ekvivalens az

12.184. egyenlet - (122,17)

iχ(p,p+)=g(p)g(p+)U(qp)χ(q,qp+p)d4q(2π)4


skalár függvényre felírt egyenlettel.

Vezessünk be p+,p– helyett új változókat:

p≡(ε,p)=(p––p+/2), P=p–+p+

(a részecskék relatív mozgásának és a pozitróniumnak mint egésznek a négyesimpulzusai). A tömegközépponti rendszerben

P=(E+2m,0),

ahol a teljes energiát (E+2m)-mel jelöltük, azaz E a nyugalmi tömegtől számított energia. Ezekkel a változókkal (122,17)-et a következő alakba írjuk át:

iχ(p,P) =–g(p+(P/2))g(–p+(P/2))∫U(q–p)χ(q–(P/2),P)(d4q/(2π)4)= =–g(p+(P/2))g(–p+(P/2))∫U(q′–p)χ(q′,P)(d4q′/(2π)4).

Ebben az egyenletben P csak paraméterként szerepel, a χ függvény pedig az egyenlőség jobb oldalán csak a

ψ(q)=∫–∞∞χ(q,P) dq0

integrál alakjában fordul elő. Az integrálást az egyenlőség mindkét oldalán dε szerint elvégezve, ψ-re nézve zárt egyenletet kapunk:

ψ(p)=–(1/2πi)∫–∞∞g(p+(P/2))g(–p+(P/2)) dε∫U(q–p)ψ(q)(d3q/(2π)3),

ahol

g(±p+(P/2))=(1/±ε+(E/2)–(p2/2m)+i0).

A dε szerinti integrál kontúrját bezárva, mondjuk az E komplex változó felső félsíkjában, az integrált a megfelelő pólus reziduumából kiszámítva, végül azt kapjuk, hogy

12.185. egyenlet - (122,18)

p2mEψ(p)+U(pq)ψ(q)d3q(2π)3=0.


Ez éppen a pozitróniumra felírt Schrödinger-egyenlet , impulzusreprezentációban [vö. III. (130,4)].

Ha Γ̃-ban csak a (122,2) diagramokat tekintjük, de az 1∕c szerinti sorfejtés következő tagját is figyelembe vesszük (és hasonlóan -ben is), akkor a Breit-egyenletet kapjuk (83. §). Ha a (122,4) diagramokat is figyelembe vesszük (az 1∕c szerinti sorfejtés további tagjaival együtt), akkor a pozitron energiaszintjeinek sugárzási korrekcióit kapjuk; a számítások azonban nagyon bonyolulttá válnak.

A fenti korrekciók alapján az orto- és parapozitrónium alapállapotainak energiakülönbsége:[445]

12.186. egyenlet - (122,19)

S(3S1)E(1S0)=α2me42276169+ ln2απ


(a kapcsos zárójelben álló első tag a finomfelhasadás , l. a 84. § 2. feladatát). Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az energiaszint sugárzási korrekciója ugyanolyan nagyságrendű mennyiség, mint a parapozitrónium szétsugárzási valószínűsége [l. (89,4)]. Ez azt jelenti, hogy az adott közelítésben az 1S0 szint komplexszé válik [E( 1S0) a (122,19) képletben ennek a valós része]. Természetesen az energiaszintek komplex voltát automatikusan megkapjuk a (122,14) egyenletből az adott közelítésben.



[440] A (122,4)c gráf esetén, amely csak az elektronvonalak egymáshoz viszonyított irányában tér el (122,4)a-tól, mindkét pólus a valós tengelynek ugyanarra az oldalára kerül, és így a fenti elhanyagolások után a megfelelő integrál eltűnik.

[441] Ez a meghatározás minden anomálisan nagy diagramot tartalmaz, de velük együtt néhány „normálisat” is, pl. a (122,4)b diagramot.

[442] Azaz a sor minden tagját Γ̃-val és két -vel megszorozzuk, és az új belső vonalak négyesimpulzusai szerint a megfelelő integrálást elvégezzük.

[443] Vö. a 106. § végén fellépő hasonló helyzettel, ahol a (106,23) homogén integrálegyenletre való áttéréskor az r’-függés eltűnt.

[444] Emlékeztetünk arra, hogy a részecskék sebessége a pozitróniumban υ∕c∼α. Ebben az értelemben az α és az 1∕c szerinti sorfejtések összefüggnek egymással.

[445] R. Karplus , A. Klein , Phys, Rev. 87, 848 (1952).