Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

120.§. Atomi szintek sugárzási eltolódása

120.§. Atomi szintek sugárzási eltolódása

A sugárzási korrekciók a külső térben kötött elektronok energiaszintjeinek eltolásához vezetnek (ún. Lamb-eltolódás ). A legérdekesebb ilyen eset a hidrogénatom (vagy a hidrogénatomhoz hasonló ion) szintjeinek eltolódása .[432]

Az energiaszintek korrekcióinak következetes kiszámítása a külső térben levő elektron pontos propagátorának (106. §) felhasználásán alapul. De ha

12.146. egyenlet - (120,1)

Zα1,


akkor kényelmesebb egyszerűbb módszert alkalmazni, amelyben a külső teret perturbációként tekintjük.

A külső tér szerinti első közelítésben az állandó elektromos tér és az elektron közti kölcsönhatás sugárzási korrekcióját a (118,2) alatti két diagram ábrázolja, amelyeket már vizsgáltunk a külső téren való elektronszórás esetében; az egyik esetről a másikra való áttérés csupán egyszerű átfogalmazást igényel (l. alább).

Könnyű azonban belátni, hogy így a szinteltolódásnak csak azt a részét kapjuk meg, amely az elég nagy frekvenciájú virtuális fotonoktól származik. Valóban, tekintsük az elektron szórási amplitúdójához járuló (a külső tér szerinti) következő sugárzási korrekciót :

12.147. egyenlet - (120,2)


[ (118,2)b-től eltérően ez a gráf két csúcsában kapcsolódik a külső térhez]. A d4k szerinti integrálásnak abban a tartományában, ahol k0 elég nagy, ez a korrekció egy további Zα tényezőt tartalmaz, és így lényegtelen. De az, hogy a gráfba egy második, a külső térhez tartozó csúcsot írtunk, azt eredményezi, hogy megjelenik egy újabb elektronpropagátor, G(f). Kis k értékek (és nemrelativisztikus p, p′ külső vonalak) esetén a virtuális elektronnak azok az f impulzusai, amelyek közel vannak a G(f) propagátor pólusához, lényeges járulékot adnak. Az így fellépő kicsiny nevező kompenzálja az előzőekhez képest megjelenő kis Zα tényezőt. Nyilvánvalóan ugyanez vonatkozik a külső tér szerinti közelítés tetszőleges rendjére. Más szóval, a virtuális fotonok kis impulzusai esetén a külső teret pontosan kell figyelembe venni.

A keresett δEs szinteltolódást[433] bontsuk két részre:

12.148. egyenlet - (120,3)

δEs=δEs(I)+δEs(II),


amelyek megfelelően az I) k0>ϰ, II) k0<ϰ frekvenciájú virtuális fotonokkal való kölcsönhatásból származnak. A ϰ-t úgy választjuk meg, hogy

12.149. egyenlet - (120,4)

(Zα)2mϰm


teljesüljön (Z2α2m az atomban levő elektron kötési energiájának nagyságrendje). Ekkor az I tartományban a mag terét elegendő csupán első rendben tekinteni. A II tartományban a mag terét pontosan kell figyelembe venni, viszont (a ϰ≪m feltétel miatt) a feladatot nemrelativisztikus közelítésben oldhatjuk meg, nemcsak az elektronra, hanem minden közbensőállapotra nézve is. A (120,4) feltétel mellett a két számítási módszer érvényességi tartományai átfedik egymást, ami lehetővé teszi az energiaszint két korrekciójának pontos „összeillesztését”.

Az eltolódás nagyfrekvenciás része

Tekintsük először az I tartományt. Ebben felhasználhatjuk a szórásamplitúdóhoz tartozó (119,1) korrekciót, amelyből azonban előzőleg le kell vonni a II tartományhoz tartozó virtuális fotonok járulékát. Ezek a fotonok csak kis járulékot adnak a g alakfaktorhoz, ezért ezt nem kell megváltoztatnunk. Az f függvényhez a kis frekvenciájú fotonok az infravörös divergencia miatt adnak nagy járulékot. Ezért a (119,1) képletben f helyébe az fϰ függvényt kell írni, amelyből kizártuk a k0<ϰ tartományt.

Ezt a kizárást közvetlenül is elvégezhetnénk úgy, hogy f-ből levonjuk a k0<ϰ tartományra vett integrált. A keresett eredményt azonban a 119. § eredményeit felhasználva, új számítások nélkül is megkaphatjuk.

E célból vegyük észre, hogy a k0<ϰ frekvenciák kizárását az infravörös levágás egy lehetséges módjának is tekinthetjük. Természetesen a szórási hatáskeresztmetszethez tartozó korrekció nem függhet a levágás módjától, feltéve, hogy ugyanígy vágjuk le a valódi lágy fotonok emissziójának valószínűségét is, azaz a „rugalmas” szórás fogalmába tartozónak csak ϰ és ωmax közé eső frekvenciájú fotonok emisszióját tekintjük. Ha ωmax=ϰ, akkor feleslegessé válik a fotonemisszió figyelembevétele. Innen látszik, hogy fϰ-t megkaphatjuk a 119. §-ban meghatározott fωmax-ból, ha ωmax helyett ϰ-t írunk. Speciálisan, a nemrelativisztikus esetben

12.150. egyenlet - (120,5)

fϰ1=αq23πm2lnm2ϰ+1124.


Hozzuk olyan alakra a szórási amplitúdó (119,1) sugárzási korrekcióját , hogy azt a külső térben levő elektron effektív potenciális energiájához tartozó megfelelő korrekció eredményeként lehessen tekinteni. Összehasonlítva a (119,1)

–e(u′∗QsugΦu)

amplitúdót a (118,6)-beli

–e(u′∗Φu)

Born-közelítéssel , látjuk, hogy a fenti korrekció szerepét (impulzusreprezentációban) az

12.151. egyenlet - (120,6)

eδΦ(q)=eQsug(q)Φ(q)


függvény veszi át. Nemrelativisztikus esetben, -t és g-t (110,14)-ből és (114,20)-ból véve, f helyébe pedig (120,5)-ből fϰ-t helyettesítve, azt kapjuk, hogy

12.152. egyenlet - (120,7)

δΦ(q)=αq23πm2lnm2ϰ+112415+α4πmqγΦ(q).


Az ennek megfelelőδΦ(q) függvény koordinátareprezentációban[434]

12.153. egyenlet - (120,8)

δΦ(r)=α3πm2lnm2ϰ+112415ΔΦ(r)iα4πmγΦ(r).


A δEs(I) energiaszint-eltolódást megkapjuk, ha eδΦ(r)-et átlagoljuk az atomban kötött elektron perturbálatlan hullámfüggvénye szerint.[435]

12.154. egyenlet - (120,9)

δEs(I)=eα3πm2lnm2ϰ+112415s|ΔΦ|sieα4πms|γΦ|s.


Az első tagban az átlagoláskor elég az elektron nemrelativisztikus hullámfüggvényét használni. A második tagban ez a közelítés nem elegendő: a nemrelativisztikus függvényeket tartalmazó nulladik közelítés eltűnik, mivel a γ mátrixoknak nincs diagonális mátrixelemük. Ezért itt a 33. §-ban levezetett ψ=(φ / χ) közelítő relativisztikus hullámfüggvénnyel kell számolni, megtartva benne a (standard reprezentációban) kis χ komponenseket. Ekkor

ψ∗γψ=φ∗σχ–χ∗σφ,

és (33,4)-ből a

χ=(1/2m)σpφ=–(i/2m)σ∇φ

kifejezést behelyettesítve, azt kapjuk, hogy

⟨s|γ∇Φ|s⟩ =–(i/2m)∫{φ∗(σ∇Φ)(σ∇φ)+(∇φ∗⋅σ)(σ∇Φ)φ} d3x= =(i/2m)∫{φ∗ΔΦ⋅φ–2iσφ∗[∇Φ⋅∇φ]} d3x

[az integrál átalakításakor felhasználtuk a (33,5) azonosságot, és parciálisan integráltunk]. Mivel Φ=Φ(r), így

∇Φ=(r/r)(dΦ/dr),

és ezért

–iσ(∇Φ×∇)=(1/r)(dΦ/dr)σl,

ahol l=–i(r×∇) a pálya-impulzusmomentum operátora. Végül, a fenti kifejezéseket összegyűjtve és (120,9)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

12.155. egyenlet - (120,10)

δEs(I)=e33πm2lnm2ϰ+1930s|ΔΦ|s+e34πm2sσl1rdΦdrs,


ahol már mindkét tagban a nemrelativisztikus hullámfüggvény szerint kellátlagolni.

Az eltolódás kisfrekvenciás része

A szinteltolódás második részének kiszámítására olyan módszert alkalmazunk, amely végső soron az unitaritási feltételen alapul.

Mivel gerjesztett állapotban az atom egy fotont sugározhat ki, ez az állapot kvázistacionáris (nem pedig szigorúan stacionáris). Ilyen állapothoz komplex energiaértéket rendelhetünk, amelynek képzetes része –w∕2, ahol w az állapot elbomlásának valószínűsége, vagyis az adott esetben a foton kisugárzásának teljes valószínűsége (l. III. 134. §). Nemrelativisztikus közelítésben a sugárzás dipólus jellegű és (45,7) alapján

ℑδEs=–(1/2)ws=–(2/3)∑s′|dss′|2(Es–Es′)3

(ahol az összegezést az összes alsóbb energiaszintre, Es′<Es kell elvégezni), vagy ezzel ekvivalens alakban:

12.156. egyenlet - (120,11)

δEs=230dωs|dss|2(EsEs)3δ(EsEsω).


Hogy δEs valós részét meghatározzuk, Es-et komplex változóként kell kezelnünk, és analitikus folytatást kell elvégeznünk. Ezt megtehetjük úgy, hogy a δ-függvényt pólusból eredőnek tekintjük. A pólus kikerülésének szabályát , mint általában, úgy kapjuk meg, hogy a virtuális részecskék tömegéhez kis képzetes részt adunk hozzá; az adott esetben ms′ az atomi elektron megfelelő közbenső állapotának tömege. Itt ezt a szerepet az ms′=m+Es′ kifejezés játssza, így az

Es′→Es′–i0

helyettesítésre van szükség, amiből következik a

12.157. egyenlet - (120,12)

δ(EsEsω)=1π1EsEsω+i0


összefüggés [vö. (108,3)].

(120,12)-t (120,11)-be helyettesítve:

ℑδEs=ℑ(2/3π)∫0∞dω⋅∑s′|dss′|2((Es–Es′)3/Es–Es′–ω+i0).

A keresett analitikus kifejezést megkapjuk, ha az ℑ jelet egyszerűen elhagyjuk. Nekünk azonban δEs-nek csak az a része kell, amely a II tartomány járulékából ered: ω<ϰ. Ehhez elég az integrál felső határát ϰ-val helyettesíteni. Az integrálást elvégezve az eredmény:

12.158. egyenlet - (120,13)

δEs(II)=23πs|dss|2(EsEs)3 lnϰEsEs+i0


[a (120,4) egyenlőtlenség miatt a felső határon az Es–Es′ különbség ϰ-hoz képest elhanyagolható, ezért elhagytuk. A továbbiakban az energiaszint valós részeérdekel csak minket; ezt úgy kapjuk meg, hogy (120,13)-ban a logaritmus argumentumát aϰ∕|Es′–Es| kifejezéssel helyettesítjük.

A (120,13) kifejezésben az lnϰ-t tartalmazó tagot alakítsuk át úgy, hogy a d=er dipólusmomentum mátrixelemeit a p=mv impulzus és ennek deriváltja, ṗ mátrixelemeivel helyettesítjük:

∑s′|dss′|2(Es′–Es)3=–(e2/m2)∑s′|pss′|2(Es′–Es)=(ie2/2m2)∑s′{(ṗ)ss′ps′s–pss′(ṗ)s′s}.

Itt ṗ helyett az elektron operátoralakban felírt ṗ=–e∇Φ mozgásegyenletének jobb oldalát írva, azt kapjuk, hogy:

12.159. egyenlet - (120,14)

s|dss|2(EsEs)3=ie32m2s{(Φ)sspsspss(Φ)ss}==ie32m2s|pΦΦp|s=e32m2s|ΔΦ|s.(120,14)


így (120,13)-at a következő alakra hozhatjuk:

12.160. egyenlet - (120,15)

δEs(II)=e33πm2s|ΔΦ|sln2ϰm+2e23πs|rss|2(EsEs)3 lnm2|EsEs|.


A teljes eltolódás

Végül, a két részt összeadva, az energiaszint eltolódására a következő végeredményt kapjuk:

12.161. egyenlet - (120,16)

δEs=2e23πs|rss|2(EsEs)3 lnm2|EsEs|++e33πm21930s|ΔΦ|s+e34πm2sσl1rdΦdrs(120,16)


(amint annak lennie kellett, a ϰ segédmennyiség kiesett).[436]

(120,16)-ban az összes mátrixelemet az atomban kötött elektron nemrelativisztikus hullámfüggvényeivel kell képezni. Hidrogénatom (vagy hidrogénatomhoz hasonló ionok) esetén ezek a függvények csak három kvantumszámtól függnek: az n főkvantumszámtól, az l pálya-impulzusmomentumtól és annak m vetületétől (de nem függenek j-től, a teljes impulzusmomentumtól); a megfelelő energiaszintek csak n-től függenek. Vezessük be az

12.162. egyenlet - (120,17)

Lnl=n32m(Ze2)4nlm|nlm|r|nlm|2(EnEn)3 lnm(Ze2)22|EnEn|


jelölést.[437] Az energiaszintek (Ze2)2-nel arányosak, míg az atom jellemző méreteZe2-tel; így a (120,17) szerint definiált Lnl mennyiségek nem függenekZ-től.[438] Ezeknek a mennyiségeknek Számértéke meghatározható.

Tekintsük továbbá külön az l=0 és l≠0 eseteket. Az l=0 esetben (120,16) utolsó tagja eltűnik. A második tagban használjuk fel az

eΔΦ=4πZe2δ(r)

egyenletet, amelynek a mag Coulomb-tere eleget tesz. Innen

⟨nlm|ΔΦ|nlm⟩=4πZe2|ψnlm(0)|2={4m3(Ze2)4n–3, ha l=0, / 0, ha l≠0

[l. (34,3)]. Az első tagban bevezetjük a (120,17) jelölést, és még egyszer felhasználjuk a (120,14) egyenlőséget:

∑n′l′m′|⟨n′l′m′|r|n00⟩|2(En′–En)3=(e/2m2)⟨n00|ΔΦ|n00⟩=(2m(Ze2)4/n3).

Így az s-szintek eltolódására a következő kifejezést kapjuk:

12.163. egyenlet - (120,18)

δEn0=4mc2Z4α53πn3ln1(Zα)2+Ln0+1930


(a szokásos egységekben). Néhány Ln0 mennyiség számértéke:

n =1 2 3 4 ∞Ln0 =–2,984 –2,812 –2,768 –2,750 –2,721.

A perturbálatlan energiaszintek:En=–mc2(Zα)2∕2n2; így a sugárzási eltolódás relatív nagysága

12.164. egyenlet - (120,19)

δEn0En0Z2α3 ln1Zα.


Az l≠0 esetben (120,16)-ban a második tag tűnik el. A harmadikat a 34. §-ban felsorolt képletek segítségével számíthatjuk ki; ezzel a taggal megjelenik a szinteltolódásj-től való függése. Az eredmény:

12.165. egyenlet - (120,20)

δEnlj=4mc2Z4α53πn3Lnl+38j(j+1)l(l+1)34l(l+1)(2l+1),l0.


Tehát a sugárzási korrekció megszünteti az utolsó elfajultságot, amely a spinpálya kölcsönhatás figyelembevétele után még megmaradt – az adott n és j, de különböző l=j±1∕2 értékekkel rendelkező szintek degenerációját. L21=+0,030, és így (120,18)-(120,20)-ból a hidrogénatom 2s1∕2 és 2p1∕2 energiaszintjeinek különbségére a következő eredményt kapjuk:

E20(1/2)–E21(1/2)=0,41mc2α5

(ennek a különbségnek 1050 MHz frekvencia felel meg).



[432] Elsőnek H. A. Bethe (1947) számolta ki a hidrogénatom szintjeinek eltolódását logaritmikus pontossággal, nemrelativisztikus meggondolások alapján; ez a számítás indította meg a kvantumelektrodinamika további fejlődését. A 2s1∕2 és 2p1∕2 szintek különbségét (a perturbációszámítás első el nem tűnő rendjében) N. M. Kroll és W. E. Lamb (1949) számították ki pontosan, a szinteltolódás teljes képletét V. Weisskopf és J. B. French (1949) vezették le.

[433] Ebben a szakaszban Es az atomban levő elektron energiáját jelöli, amely nem tartalmazza a nyugalmi energiát. Az s index az atom állapotát meghatározó kvantumszámokra utal.

[434] Hangsúlyozzuk, hogy ez a potenciálhoz tartozó korrekció különbözik a 111. §-ban számítottól. Az utóbbi csak a vákuumpolarizáció [a (118,2)a gráf] járulékát írta le a Coulomb-térhez. A (120,8) már az elektron és a tér kölcsönhatására vonatkozik, és magába foglalja az elektron mozgásának változásával járó hatást is [ (118,2)b gráf].

[435] Szigorúan véve, a 114. §-ban meghatározott alakfaktorok a két szabad elektronvéggel (p2=p′2=m2) rendelkező vertexoperátorra vonatkoznak. Az atomi elektron esetében Es, egy energiaszint, amely semmilyen kapcsolatban sincs p-vel. Ezt a különbséget azonban az I tartományban elhanyagolhatjuk.

[436] Az energiaszintek eltolódásának következő rendben való kiszámítása nagyon bonyolult. Az ilyen korrekciók legteljesebb felsorolása és részletes levezetése (a megfelelő bibliográfiával együtt) a következő cikkekben található: G. W. Erickson , D. R. Yennie , Ann. of Physics 35, 271, 447 (1965).

[437] r mátrixelemei j-ben diagonálisak; így (120,16)-ban az s szerinti összegezés n,l,m szerinti összegezésre redukálódik.

[438] A tér izotropiája következtében a (120,17) összeg természetesen az m kvantumszámtól sem függ.