Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

119.§. A külső téren való elektronszórás sugárzási korrekciói

119.§. A külső téren való elektronszórás sugárzási korrekciói

Számítsuk ki a külső téren való elektronszórás sugárzási korrekcióit (J. Schwinger , 1949).

A szórási amplitúdó megfelelő részét a (118,2) gráfok ábrázolják. Az első diagram járuléka az amplitúdóhoz

–(ū′γ0u)((–q2)/4π)D(–q2)⋅eΦ(q),

ahol (–q2) a gráfban található huroknak megfelelő polarizációs operátor . A második diagram járuléka

–(ū′Λ0u)eΦ(q),

ahol Λ0 a vertexoperátorban szereplő korrekciós tag (Γμ=γμ+Λμ); (113,6) alapján

Λ0=γ0[f(–q2)–1]–(1/2m)σ0νqνg(–q2).

A két járulékot összeadva azt kapjuk, hogy[427]

12.134. egyenlet - (119,1)

Mfi(3)=(ūγ0Qsugu)eΦ(q),Qsug(q)=f(q2)11q2𝒫(q2)+12mg(q2)qγ.(119,1)


Vizsgáljuk meg először az f(–q2) alakfaktorban és így a (119,1) szórási amplitúdóban is fellépő infravörös divergencia kérdését.

Már megjegyeztük (a 95. §-ban), hogy a tisztán rugalmatlan szórás pontos amplitúdója zérus, azaz nincs értelme. Fizikai jelentése csak olyan folyamat szórási amplitúdójának van, amelyben tetszőleges számú, egy adott ωmax-nál alacsonyabb energiájú lágy foton emisszióját engedjük meg, ahol

ωmax≪m.

Más szóval, csak a következő összegnek van értelme:

12.135. egyenlet - (119,2)

dσ=dσrug+dσrug0ωmaxdwω+dσrug12!0ωmaxdwω10ωmaxawω2+,


ahol dσrug a fotonok emissziója nélküli folyamat, dwω pedig annak a differenciális valószínűsége, hogy az elektron egy ω frekvenciájú fotont emittál. Eközben feltételezzük, hogy magát a dσrug-t perturbációs sorként számítjuk ki, azaz α hatványai szerinti sor alakjában.[428] Miután (119,2) minden tagjából összegyűjtjük az azonos α hatványokat, megkapjuk dσ-nak α szerinti sorfejtését, amelynek minden tagja véges lesz.

Az első Born-közelítésbendσrug∼α2. Ennek a taganak természetesen már önmagában van értelme. Ha dσrug-ban a következő korrekciót (az α3-nal arányos tagot) is figyelembe akarjuk venni, akkor ezzel együtt kell tekintenünk a (119,2) összeg második tagját: mivel dwω∼α, így dσrug∼α2-tel szorozva ez is α3 nagyságrendű tagot ad. Megmutatjuk, hogy e két mennyiség összeadásakor az infravörös divergencia eltűnik.

Az f alakfaktor divergens része(114,17) szerint

–(α/2)K((|q|/2m))ln(m/λ)

alakú.[429] A (119,1) amplitúdó megfelelő tagja:

(α/2)Kln(m/λ)⋅(ū′γ0u)eΦ(q),

a (118,5) szórási hatáskeresztmetszetben pedig

dσinfra=–αKln(m/λ)⋅|ū′γ0u|2|eΦ(q)|2(dΩ′/16π2).

Ezt összehasonlítva a

dσ(1)=|ū′γ0u|2|eΦ(q)|2(dΩ′/16π2)

Born-hatáskeresztmetszettel , azt kapjuk, hogy

12.136. egyenlet - (119,3)

dσinfra=αKlnmλdσ(1).


Másrészről ∫ dwω-t (117,11)-ből véve, (119,2) második tagja azt adja, hogy

12.137. egyenlet - (119,4)

dσrug0ωmaxdwω=αKln2ωmaxλdσ(1).


Végül (119,3)-at és (119,4)-et összeadva, az eredmény

12.138. egyenlet - (119,5)

dσ(1)αK|q|2mlnm2ωmax.


Látjuk, hogy a lágy (|k|∼λ) virtuális fotonok divergens járulékát kiejti a hasonló valódi fotonok kisugárzásától származó járulék. Ugyanez a helyzet bármely más szórási folyamatban is.

Ugyanakkor a szórási hatáskeresztmetszet függ ωmax-tól. Ez annak következménye, hogy ωmax szerepel magában a szórás definíciójában – olyan folyamatról van szó, ahol tetszőleges számú lágy foton emittálódhat. Természetes, hogy egy ilyen folyamat hatáskeresztmetszete annál kisebb, minél kisebb az ωmax korlát, amelynél alacsonyabb frekvenciájú fotonok emittálását még az adott szórási folyamathoz soroljuk.

Vezessük most le a szórás hatáskeresztmetszetének sugárzási korrekcióját leíró teljes kifejezést. A szokásos szabályok szerint eljárva [l. (66,7)], a bejövő elektronok polarizációjára átlagolt, a kimenő elektronok polarizációjára összegezett hatáskeresztmetszet :

12.139. egyenlet - (119,6)

dσ=dσ(1)+dσsug==|eΦ(q)|2 Sp{(p̂+m)(γ0+γ0Qsug)(p̂+m)(γ0+γ0Q̄sug)}dΩ32π2.(119,6)


(119,1) szerint

Qsug=a+bγq, Q̄sug=γ0Qsug+γ0=a–bγq,
a=f(–q2)–1–(1/q2)(–q2), b=(1/2m)g(–q2).

Az a-ban és b-ben lineáris tagokat tartalmazó pontossággal (119,6)-ban a nyom:

(1/4)Sp{…}=2(ε2–(q2/4))(1+2a)–2bmq2.

Így

12.140. egyenlet - (119,7)

dσsug=2fλ(q2)11q2𝒫(q2)q24𝜀2q2g(q2)dσ(1),


ahol dσ(1) a polarizálatlan elektronok szórásának (81,5) hatáskeresztmetszete ; az f alakfaktort λ indexszel láttuk el, emlékeztetőül arra, hogy „λ fotontömegnél levágtuk”.

(119,7)-hez hozzá kell még adni a lágy fotonok emissziójának hatáskeresztmetszetét . Ha fλ-t

12.141. egyenlet - (119,8)

fλ(q2)=1α2K|q|2mlnmλ+αK2


alakban írjuk fel, akkor (117,11) szerint a fenti hozzáadás azt jelenti, hogy (119,7)-ben fλ-t a következő kifejezéssel kell helyettesíteni:

12.142. egyenlet - (119,9)

fωmax=1α2K|q|2mlnm2ωmax+α2K1+αK2.


Ezzel a helyettesítéssel (119,7) a helyes eredményt adja.

Megemlítjük, hogy nemrelativisztikus közelítésben[430]

12.143. egyenlet - (119,10)

fωmax=1αq23πm2lnm2ωmax+1124,q2m2.


Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a külső tér adatait a hatáskeresztmetszet sugárzási korrekciója csak dσ(1)-en keresztül tartalmazza; (119,7)-ben a kapcsos zárójelben álló tényező univerzális jellegű. Nemrelativisztikus közelítésben

12.144. egyenlet - (119,11)

dσsug=dσ(1)2α3πq2m2lnm2ωmax+1930,q2m2


[ide (119,7) minden tagja ad járulékot]. Az ellenkező, az ultrarelativisztikus esetben lényeges járulékot csak az fωmax–1 tag ad. Ekkor

12.145. egyenlet - (119,12)

dσsug=dσ(1)2απlnq2m2 ln𝜀ωmax,q2m2.


Végül megemlítjük, hogy az itt vizsgált sugárzási korrekciók nem vezetnek olyan polarizációs effektusokhoz, amelyek az első Born-közelítésben hiányzanak (a 118. §-ban vizsgált második Born-közelítéssel ellentétben). A helyzet az, hogy az első Born-közelítés speciális jellege végső soron az S-mátrix hermitikus voltával kapcsolatos. Ez a tulajdonság azonban megmarad a vizsgált sugárzási korrekciók figyelembevétele esetén is, mivel ebben a közelítésben a szórási csatornában nincs semmilyen valódi közbenső állapot (így az unitaritási összefüggés jobb oldala eltűnik).[431]



[427] Eközben emlékeznünk kell arra, hogy ha qμ=(0,q) akkor qμ=(0,–q). Ezért σ0νqν=–γ0qγ.

[428] Ami a dwω valószínűséget illeti, a hozzá járuló sugárzási korrekciók figyelembevételének szükségessége függ az ωmax mennyiségtől; ω→0 a klasszikus határesetet jelenti, amelyben a sugárzási korrekciók eltűnnek; így mindig kicsivé tehetjük őket, ha ωmax-ot elég kicsinek választjuk.

[429] Erről könnyen meggyőződhetünk, ha felhasználjuk |q|és a (114,17)-ben szereplő ξ közti (|q|/m)=(1–ξ/√ξ)kapcsolatot.

[430] Ez a kifejezés a lnλ→ln2ωmax–5∕6cserében tér el a nemrelativisztikus (114,20)-tól.

[431] A perturbációszámításnak csak a második rendjében megjelenő folyamatokhoz tartozó sugárzási korrekciók kiszámítása lényegesen hosszadalmasabb, és ebben a könyvben ezeket nem tárgyaljuk. Mindössze néhány irodalmi hivatkozásra szorítkozunk: foton-elektron szóráshoz tartozó sugárzási korrekciók – L. M. Brown , R. Feynman , Phys. Rev. 85, 231 (1952); e+e– pár kétfotonos szétsugárzásához – J. Harris , L. M. Brown, Phys. Rev. 105, 1656 (1957); elektron szórásához elektronon és pozitronon – M. Redhead , Proc. Roy. Soc. A220, 219 (1953); P. V. Polovin , ZSETF 31, 449 (1956); fékezési sugárzáshoz – P. I. Fomin , ZSETF 35, 707 (1958).