Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

118.§. Elektronszórás külső térben a második Born-közelítésben

118.§. Elektronszórás külső térben a második Born-közelítésben

A külső tér szerinti első két közelítésben az elektron szórását a következő diagramok ábrázolják:

12.115. egyenlet - (118,1)


Az első gráfnak a 81. §-ban vizsgált M(1)∼Ze2 amplitúdó felel meg. A második közelítés amplitúdója M(2)∼(Ze2)2.

Könnyen látható, hogy ugyanilyen nagyságrendű tagok származnak a sugárzási korrekciókból. A perturbációszámítás harmadik rendjében a szórási amplitúdó sugárzási korrekcióit a következő diagramok ábrázolják:

12.116. egyenlet - (118,2)


Ekkor M(3)∼Ze2⋅e2, és ha Z∼1, akkor M(3)∼M(2).

(65,26) szerint a szórás hatáskeresztmetszete

12.117. egyenlet - (118,3)

dσ=|Mfi(1)+Mfi(2)+Mfi(3)|2dΩ16π2.


Az itt álló amplitúdó négyzetében jogunk van megtartani |Mfi(1)|2 mellett azMfi(1)és Mfi(2), valamint az Mfi(1)és Mfi(3) közötti interferenciatagokat is. Így∼e6 pontossággal a hatáskeresztmetszet

12.118. egyenlet - (118,4)

dσ=dσ(1)+dσ(2)+dσsug,


ahol dσ(1) a hatáskeresztmetszet az első Born-közelítésben (81. §), az ehhez járuló korrekciók pedig

12.119. egyenlet - (118,5)

dσ(2)=2Mfi(1)Mfi(2)dΩ16π2,dσsug=2Mfi(1)Mfi(3)dΩ16π2.(118,5)


Emlékeztetünk arra (81. §), hogy

12.120. egyenlet - (118,6)

Mfi(1)=|e|(ūγ0u)Φ(q),


ahol Φ(q) az állandó külső tér skalárpotenciáljának (Φ≡A0(e)) Fourier-komponense , és ahol figyelembe vettük, hogy az elektron töltése e=–|e|.

A (118,5)-ben levő két kifejezést nyilvánvalóan ki lehet számítani egymástól függetlenül. Az elsőt ebben, a másodikat a következő szakaszban fogjuk tárgyalni.

A (118,1) gráf szerint felépített második közelítés amplitúdóját a következő integrál adja meg:

12.121. egyenlet - (118,7)

Mfi(2)=e2ū(p)γ0f̂+mf2m2+i0γ0u(p)Φ(pf)Φ(fp)d3f(2π)3.


Az állandó külső tér „négyesimpulzusai”, q1=f–pés q2=p′–f, nem rendelkeznek időkomponensekkel. Így

12.122. egyenlet - (118,8)

f0=𝜀=𝜀,


ahol εés ε′ az elektron kezdeti és végső energiája; rugalmas szórás esetén ezek megegyeznek egymással.

Egy Z|e| töltésű mag tiszta Coulomb-terében:

Φ(q)=(4πZ|e|/q2).

Ilyen potenciálra a (118,7) integrál logaritmikusan divergál (mikor f≈p és f≈p′). Ez a divergencia a Coulomb-térre jellemző, és azzal kapcsolatos, hogy a potenciál nagy távolságokra lassan csökken. Az eredetét legegyszerűbben a nemrelativisztikus eset példáján lehet megmegyarázni. III. (135,8) szerint az ei|p|r∕r gömbhullám együtthatója a Coulomb-térben szórt elektron esetén

f()exp(–i(Zαm/|p|)ln|p|r)

alakú. Viszont ez az együttható éppen a külső téren való szóródás amplitúdója , és látjuk, hogy fázisa (r→∞ esetén) divergens tagot tartalmaz. Ha a szórási amplitúdót Zα hatványai szerint sorba fejtjük, ez a tag azt eredményezi, hogy a sor minden egyes tagja divergál [a másodiktól kezdve, mivel f() arányos Zα-val]. A relativisztikus esetben természetesen hasonló a helyzet.

Ez a gondolatmenet ugyanakkor azt is megmutatja, hogy a divergens tagoknak ki kell ejteniük egymást a hatáskeresztmetszetek kiszámításakor, ahol is a fázis lényegtelen. A számítások korrekt elvégzésének legegyszerűbb módja, hogy kezdetben árnyékolt Coulomb-potenciálon való szórást vizsgálunk, azaz

12.123. egyenlet - (118,9)

Φ(q)=4πZ|e|q2+δ2,


ahol a δárnyékolási állandó kicsi (δ≪|p|). Ezzel eltüntettük az amplitúdóból a divergenciát, majd a hatáskeresztmetszetet leíró végeredménybe már beírhatjuk a δ=0-t.

(118,9)-et (118,7)-be helyettesítve azt kapjuk, hogy

Mfi(2)=–(2/π)Z2α2ū(p′)[(γ0ε+m)J1+γJ]u(p),

ahol bevezettük a következő jelöléseket:

12.124. egyenlet - (118,10)

J1=d3f[(pf)2+δ2][(fp)2+δ2][p2f2+i0],J=fd3f[(pf)2+δ2][(fp)2+δ2][p2f2+i0]p+p2J2.(118,10)


Itt p2=ε2–m2=p′2, és a J integrál szimmetrikus p-ben és p′-ben; a vektorszimmetria miatt eleve nyilvánvaló, hogy J-nek p+p′ irányába kell mutatnia. A γ mátrixokat a

γpu =(γ0ε–m)u, ū′γp′ =ū′(γ0ε–m)

egyenlőségek segítségével kiküszöbölve, a következő kifejezéshez jutunk:

12.125. egyenlet - (118,11)

Mfi(2)=2πZ2α2ū(p)[γ0𝜀(J1+J2)+m(J1J2)]u(p).


A további számítások elvégzése céljából térjünk át (akárcsak a 81. §-ban) az u és u′ bispinor amplitúdókról a nekik [(23,9) és (23,11) szerint] megfelelő w és w′ háromdimenziós spinorokra . Egyszerű szorzással kapjuk, hogy

ū′u =w′∗{(ε+m)–(ε–m)cos+iνσ(ε–m)sin}w, ū′γ0u =w′∗{(ε+m)+(ε–m)cos–iνσ(ε–m)sin}w,

ahol

ν=(n×n′/sin), n=(p/|p|), n′=(p′/|p′|), cos=nn′.

Ezután a (118,11) amplitúdó a következő alakban írható:[423]

12.126. egyenlet - (118,12)

Mfi(2)=4πw(A(2)+B(2)νσ)w,A(2)=12π2Z2α2[(𝜀+m)+(𝜀m)cos𝜃]𝜀(J1+J2)++[(𝜀+m)(𝜀m)cos𝜃]m(J1J2),B(2)=i2π2Z2α2(𝜀m)sin𝜃[𝜀(J1+J2)m(J1J2)].(118,12)


Az első közelítés amplitúdója hasonló jelölésekkel a következő alakú:

12.127. egyenlet - (118,13)

Mfi(1)=4πw(A(1)+B(1)νσ)w,A(1)=Zαq2[(𝜀+m)+(𝜀m)cos𝜃],B(1)=iZαq2(𝜀m)sin𝜃,(118,13)


ahol q=p′–p.

A szórás hatáskeresztmetszetét és a polarizációs effektusokat az A=A(1)+A(2) és B=B(1)+B(2) mennyiségek segítségével fejezhetjük ki a III. 140. §-ban levezetett képletek segítségével. Így a polarizálatlan elektronok szórási hatáskeresztmetszete ,

dσ=(|A|2+|B|2) dΩ′≈ dσ(1)+2(A(1)ℜA(2)–iB(1)ℑB(2)) dΩ′.

A (118,12) és (118,13) képleteket behelyettesítve, egyszerű számítások után azt kapjuk, hogy

12.128. egyenlet - (118,14)

dσ(2)=dΩZ3α3𝜀3π2p2 sin2𝜃21v2 sin2𝜃2(J1+J2)+m2𝜀2(J1J2),


ahol p=|p|∕ε az elektron sebessége, a szórási szög. A szórás folyamán az elektronok polarizálódnak; a végállapotbeli elektronok polarizációs vektora :

ζ′=(2ℜ(AB∗)/|A|2+|B|2)ν≈(2(A(1)ℜB(2)–iB(1)ℑA(2))/|A(1)|2+|B(1)|2)ν,

vagy (118,12) és (118,13) behelyettesítésével:

12.129. egyenlet - (118,15)

ζ=4Zαmp4π2𝜀2 sin3𝜃2 cos𝜃21v2sin2𝜃2(J1J2)ν.


Számítsuk ki a J1 és a J2 integrált. Ezt megkönnyíti a (127,2) képlet szerinti parametrizálás alkalmazása. A J1 integrál a következő alakot ölti:

J1=–2∫01∫01∫01∫(d3fdξ1dξ2dξ3⋅δ(1–ξ1–ξ2–ξ3)/{[(p′–f)2+δ2]ξ1+[(p–f)2+δ2]ξ2+[f–p2–i0]ξ3}3).

A dξ3 szerinti integrálás eltünteti a δ-függvényt; a nevezőt átrendezve,

J1=–2∫01∫01–ξ2∫(d3fdξ1dξ2/{δ2(ξ1+ξ2)+p2(2ξ1+2ξ2–1)–2f(ξ1p′+ξ2p)+f2–i0}3).

f helyett az új k=f–ξ1p′–ξ2p változót bevezetve, a d3f szerinti integrálást

∫(d3k/(k2–a2–i0)3)=i(π2/4a3)

alakú integrálra vezethetjük vissza. Így

J1=–(iπ2/2)∫01∫01–ξ2(dξ1dξ2/{p2(ξ12+ξ22–2ξ1–2ξ2+1)+2ξ1ξ2pp′–δ2(ξ1+ξ2)–i0}3∕2).

ξ1 és ξ2 helyett vezessük be az x=ξ1+ξ2, y=ξ1–ξ2 szimmetrikus kombinációkat . A dy szerinti integrálás (0 és x határok közt) elemi, és eredménye

J1=–(iπ2/2|p|3)∫01(xdx/[bx2–2x+1–(δ2/p2)x–i0][(1–x)2–(δ2/p2)x–i0]1∕2),

ahol

b=(p2+pp′/2p2)=cos2(/2).

A dx szerinti integrált δ→0 esetén úgy számítjuk ki, hogy az integrálási tartományt két részre bontjuk:

∫01… dx=∫01–δ1… dx+∫1–δ11… dx, 1≫δ1≫(δ/|p|).

Az első integrálban δ=0 írható; ekkor[424]

∫01–δ1… dx=(1/2(1–b))ln((1–x)2/(bx2–2x+1–i0))|01–δ1=(1/2(1–b))[ln(δ12/1–b)+iπ].

A második integrálban mindenütt x=1 helyettesíthető az (1–x)2 tagot kivéve, és a nevező első zárójelében δ=0 írható. Ekkor[425]

∫1–δ11… dx =–(1/1–b)∫0δ1(dx′/(x′2–(δ2/p2)–i0)1∕2)= =–(1/1–b)[∫δ∕|p|δ1(dx′/(x′2–(δ2/p2))1∕2)+i∫0δ∕|p|(dx′/((δ2/p2)–x′2)1∕2)]= =–(1/1–b)[ln(2|p|δ1/δ)+i(π/2)].

A két integrált összeadva a δ1 mennyiség természetesen kiesik, és azt kapjuk, hogy

12.130. egyenlet - (118,16)

J1=iπ22|p|3 sin2𝜃2 ln2|p|δsin𝜃2.


A J2 integrált hasonlóan számíthatjuk ki, és az eredmény

12.131. egyenlet - (118,17)

J2=J1π31 sin𝜃24|p|3 cos2𝜃2 sin𝜃2iπ22|p|3 cos2𝜃2 lnsin𝜃2.


A fenti kifejezéseket be kell még helyettesítenünk (118,14)-be és (118,15)-be, és megkapjuk a végeredményt:[426]

12.132. egyenlet - (118,18)

dσ(2)=π(Zα)3𝜀4|p|3 sin3𝜃21 sin𝜃2dΩ,


12.133. egyenlet - (118,19)

ζ=2Zαm|p|𝜀2 sin3𝜃2 lnsin𝜃21v2 sin2𝜃2 cos𝜃2ν.


Az első Born-közelítésben az elektron és a pozitron szórási hatáskeresztmetszete (ugyanabban a külső térben) egybeesik. A második közelítésben ez a szimmetria elvész. Pozitronszórás esetén (töltése +|e|) az első közelítés, (118,16) előjele ellenkező lesz, de Mfi(2) nem változik. Így a dσ(2) hatáskeresztmetszet, amely az Mfi(1) és Mfi(2) interferenciatagja, előjelet vált. Ugyanez történik a polarizációs vektort leíró (118,19) kifejezéssel. Általában véve, az elektron szórási képleteiből megkaphatjuk a pozitron szórási képleteit , ha elvégezzük a formális Z→–Z cserét.



[423] Az A és B mennyiségek definíciója megegyezik a 37. § és a III. 140. § definíciójával, és egy szorzótényezőben eltér a 81. §-ban használttól.

[424] A pólus kikerülésének szabálya (az i0 tag) meghatározza a logaritmus argumentuma fázisának megváltozását, miközben x0-tól 1–δ1-ig változik: az elágazási pont alulról való megkerülésekor az argumentum 0-tól –π-ig változik.

[425] Ha a gyök alatti kifejezés negatívvá válik, ismét a kikerülési szabály határozza meg a négyzetgyök előjelét.

[426] A helyes eredményeket először W. A. McKinley és H. Feshbach (1948) vezették le a szórás parciális fázisainak pontos kifejezéseiből kiindulva. A perturbációszámításon alapuló számítást R. H. Dalitz (1950) végezte el.