Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

117.§. Nemzérus tömegű lágy fotonok emissziója

117.§. Nemzérus tömegű lágy fotonok emissziója

Mikor a 114. §-ban az elektron alakfaktorait kiszámítottuk, azt találtuk, hogy a virtuális fotonok kis frekvenciáira a fellépő integrálok divergálnak. Ez a divergencia szoros kapcsolatban áll a 95. §-ban már tárgyalt infravörös katasztrófával . Ott megjegyeztük, hogy töltött részecskék részvételével végbemenő folyamatok [így a (114,1) gráf segítségével ábrázolható, külső térben történő elektronszórás] hatáskeresztmetszeteiről önmagában beszélni értelmetlen – egyidejűleg figyelembe kell venni tetszőleges számú lágy foton emisszióját . Amint azt a későbbiekben (119. §) részletesen megmagyarázzuk, a lágy kvantumok emisszióját is figyelembe vevő összesített hatáskeresztmetszetben a divergenciák kiejtik egymást. Természetes azonban, hogy a divergens integrálok előzetes „levágását” az összeadandó hatáskeresztmetszetek mindegyikében egyformán kell elvégeznünk.

A 114. §-ban ezt a levágást úgy értük el, hogy a virtuális fotonnak véges λ tömeget adtunk. Ezért úgy kell megváltoztatnunk a 95. §-ban levezetett képleteket is, hogy nemzérus tömegű lágy „fotonok” emisszióját írják le.

Formális szemszögből az ilyen foton az 1 spinű „vektor”-részecskékhez tartozik, amelyeknek szabad terét a 14. §-ban tárgyaltuk. Ezeket a részecskéket egy Ψμ négyesvektor írja le, amely a másodkvantálási reprezentációban a következő alakú:

12.101. egyenlet - (117,1)

Ψμ=4πkα12ω(ckαeμ(α)eikx+ckα+eμ(α)eikx),α=1,2,3


[ahol (14,14)-hez képest megváltoztattuk a jelöléseket, hogy azok megfeleljenek a foton esetének].

A (117,1) „fotonok” kölcsönhatását az elektronokkal ugyanolyan Lagrange-függvénnyel kell leírni, mint a valódi fotonok esetén:

12.102. egyenlet - (117,2)

ejμΨμ


(az Aμ potenciált Ψμ-vel helyettesítettük). Ekkor a véges tömegű fotonok emisszióját leíró amplitúdók a szokásos gráfszabályokkal számíthatók ki, azzal a különbséggel, hogy

12.103. egyenlet - (117,3)

k2=λ2,


és az emittált foton polarizációjára valóösszegezést három független (két transzverzális és egy longitudinális) polarizációra kell elvégeznünk, a valódi foton esetén viszont csak kettőre kell összegezni.

A polarizálatlan részecskék sűrűségmátrixát könnyen meghatározhatjuk a

12.104. egyenlet - (117,4)

ke=0,ee=1


feltételek felhasználásával [vö. (14,12), (14,13)]. A keresett mátrixot

ϱμν=eμeν∗¯=agμν+bkμkν

alakba írva, és a (117,4) feltételekkel az a és b együtthatókat meghatározva, azt kapjuk, hogy

12.105. egyenlet - (117,5)

ϱμν=13gμνkμkνλ2.


Ugyanilyen alakú a vektorrészecskék propagátorának számlálója is:

Dμν=(4π/k2–λ2)(gμν–(kμkν/λ2)).

A mértékinvariancia miatt azonban a valódi folyamatok amplitúdói nem függnek a fotonpropagátor longitudinális részétől , és ez a tulajdonság nem kapcsolódik a transzverzális rész konkrét alakjához. Így a zárójelben a második tag elhagyható, és ugyanolyan típusú kifejezést kapunk, mint a szokásos fotonok esetén:

Dμν=(4π/k2–λ2)gμν

(ezt használtuk a 114. §- és 116. §-ban).

Most vizsgáljuk meg a (95. §-ban megmagyarázott értelemben) lágy fotonok emisszióját .

A 95. §(95,5) és (95,6) képleteinek levezetése átvihető erre az esetre, azzal a módosítással, hogy az elektronpropagátorok nevezőjében szereplő (p±k)2 kifejtésekor egy k2=λ2 tag is megjelenik. Ekkor (95,6) helyett a következő kifejezést kapjuk:

dσ=dσrug⋅e2|(p′e/p′k+λ2∕2)–(pe/pk–λ2∕2)|2(d3k/4π2ω),

ahol dσrug ugyanannak a folyamatnak a hatáskeresztmetszete a lágy kvantum emissziója nélkül (ezt feltételesen nevezzük „rugalmas” folyamatnak).[420] A továbbiakban a d3k szerinti integrálás során a |k|∼λ értékek lesznek lényegesek. Ekkor p′k∼pk≫λ2, és így a nevezőkben λ2-et elhagyhatjuk. A foton polarizációjára (117,5) segítségével kell összegezni (az átlagolás eredményét meg kell szorozni 3-mal). A fenti elhanyagolás után (117,5) második tagja nem ad járulékot a hatáskeresztmetszethez, és így[421]

12.106. egyenlet - (117,6)

dσ=dσruge2p(pk)p(pk)2d3k4π2ω.


Tehát visszakaptuk a (95,7) képletet, amelyben azonban most

12.107. egyenlet - (117,7)

ω=k2+λ2.


A (117,6) képlet teljesen általános jellegű. Érvényes rugalmas és rugalmatlan szórásra, sőt akkor is, ha a kimenő részecskék különböznek a bemenőktől. A d3k szerinti további integrálás eredménye függ a p és p′ négyesvektoroktól, más szóval az alapfolyamat jellégétől.

Tekintsük a rugalmas szórás esetét, amikor

|p|=|p′|, ε=ε′,

és határozzuk meg egy ωmax-nál kisebb frekvenciájú foton emissziójának teljes valószínűségét, ahol

12.108. egyenlet - (117,8)

λωmaxm.


A d3k szerinti integrálást végezzük el először a nemrelativisztikus határesetben. Ha |p|=|p′|≪m, akkor

((p′/(p′k))–(p/(pk)))2≈((qk)2/m2ω4)–(q2/m2ω2)

(q=p′–p). Ezt k irányára integrálva a következő kifejezést kapjuk:

(4πq2/m2ω2)((k2/3ω2)–1).

Ezután (117,6) alapján

dσ=dσrug⋅(e2q2/πm2)∫0ω=ωmax[1–(k2/3(k2+λ2))](k2d|k|/(k2+λ2)3∕2),

vagy az ωmax∕λ≫1 feltételezéssel elvégezve az integrálást,

12.109. egyenlet - (117,9)

dσ=dσrug2α3πq2m2ln2ωmaxλ56,haq2m2.


A relativisztikus esetben az integrál kiszámításához használjuk fel a (127,4) képletet. Ennek segítségével a szögek szerinti integrál

I=∫(dΩk/(pk)(p′k))=∫01dx∫(dΩk/[(pk)x+(p′k)(1–x)]2),

vagy a p=(ε,p)-vel és p′=(ε′,p′)-vel való skalárszorzatokat felbontva,

I=∫01dx∫(dΩk/{εω–k[px+p′(1–x)]}2).

Most a belső integrál könnyen kiszámítható gömbi koordinátákban, ha a poláris tengelyt a px+p′(1–x) vektor irányában vesszük fel. Ekkor

I=∫01(4πdx/(εω)2–[px+p′(1–x)]2k2)=∫01(4πdx/[m2+q2x(1–x)]k2+ε2λ2).

A két másik integrált [ahol (pk)2 és (p′k)2 van a nevezőben] megkaphatjuk ebből a q=0 helyettesítéssel. Észrevéve, hogy

pp′=ε2–pp′=m2+(1/2)q2,

a következő kifejezést kapjuk:

12.110. egyenlet - (117,10)

dσ=2e2π01dx0ωmaxk2d|k|k2+λ2m2+12q2[m2+q2x(1x)]k2+𝜀2λ2m2m2k2+𝜀2λ2.


A d|k| szerinti integrálás a következő alakú integrálok kiszámítására vezethető vissza:

∫0ωmax(k2d|k|/(ak2+λ2)√(k2+λ2)) =(1/a)∫0ωmax(d|k|/√(k2+λ2))–(λ2/a)∫0ωmax(d|k|/(ak2+λ2)√(k2+λ2))≈ ≈(1/a)ln(2ωmax/λ)–(1/a)∫0∞(dz/(az2+1)√(z2+1)).

A második integrálban |k|→λz, az (ωmax∕λ) felső határt pedig ∞-nel helyettesítettük, ami az integrál konvergenciája miatt megengedett.

A (117,10)-ben ezután fellépő dx szerinti integrálokat már nem lehet elemi függvények segítségével kifejezni. Az eredmény a következő alakra hozható:

12.111. egyenlet - (117,11)

dσ=αK|q|2mln2ωmaxλ+K1dσrug,


ahol[422]

12.112. egyenlet - (117,12)

K(ξ)=2π2ξ2+1ξξ2+1ln(ξ+ξ2+1)1,


12.113. egyenlet - (117,13)

K1=2𝜀π|p|ln𝜀+|p|m2m2+q2π𝜀201dxa1aln1+1aa,


a=(1/ε2)[m2+q2x(1–x)].

Határozzuk meg a hatáskeresztmetszetet ultrarelativisztikus esetben. Feltételezzük, hogy nemcsak ε≫m, hanem |q|≫m is teljesül, vagyis a szórási szög nem túl kicsi. Ebben az esetben a (117,13) integráljában az az x tartomány a lényeges, amelyre a≪1; a megfelelő elhanyagolások után

K1≈(q2/2πε2)∫01(lna/a) dx≈(1/2π)∫(ln(q2/ε2)+lnx+ln(1–x)/x(1–x)) dx.

Az integrált a∼1-nél le kell vágni, azaz x∼m2∕q2-nél alulról és 1–x∼m2∕q2-nél felülről. Ekkor

K1≈(1/2π)[2ln(q2/ε2)ln(q2/m2)–ln2(q2/m2)]=(1/2π)[ln2(q2/m2)–4ln(ε/m)ln(q2/m2)].

Ez a képlet a logaritmusok négyzeteit tartalmazó pontossággal, ahogy mondani szokták, kétszeresen logaritmikus pontossággal igaz. Ugyanilyen pontossággal (117,11) első tagjában elegendő a

K(ξ)≈(4/π)lnξ (ξ≫1)

kifejezést helyettesíteni. Így a végeredmény:

12.114. egyenlet - (117,14)

dσ=2απlnq2m2 lnωmaxλ ln𝜀mlnq2m2+14ln2q2m2dσrug,q2m2.




[420] A 95. §-ban a dσrug hatáskeresztmetszetet dσ0-val jelöltük.

[421] Első pillantásra kétség merülhet fel, hogy szabad-e λ2-et az átlagolás előtt elhanyagolni, mivel (117,5) második tagjának nevezőjében λ2 áll. Könnyű azonban közvetlenül meggyőződni arról, hogy ez a tag az átlagolás után ∼λ4(1/λ2) járulékot ad, így elhagyható.

[422] A K(ξ) függvénnyel már találkoztunk a 95. § feladataiban. Ez nem meglepő, mivel (117,11)-et logaritmikus pontossággal megkaphatjuk, ha a zérus tömegű fotonok emissziójának (95,8) hatáskeresztmetszetét dω szerint λ-tól ωmax-ig integráljuk. Ha ξ helyett a változót vezetjük be, ahol ξ=sh(/2), akkor K()=(2/π)(cth–1). (117,12a)