ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

116.§. A tömegoperátor kiszámítása

A tömegoperátor kiszámításával fogjuk szemléltetni a Feynman-integrálok közvetlen regularizációjának módszerét.

Az első el nem tűnő közelítésben a tömegoperátort a

12.82. egyenlet - (116,1)

diagramban levő hurok jelképezi. Ennek a

–iℳ̄(p)=(–ie)2∫γμG(p–k)γνDμν(k)(d4k/(2π)4)

integrál felel meg. A propagátorokat beírva és γμ…γμ tényezőket a (22,6) képletek szerint egyszerűsítve, azt kapjuk, hogy

12.83. egyenlet - (116,2)

\bar{ℳ} (p) = - \frac{8 π i}{{(2 π)}^{4}} e^{2} \int \frac{2 m - \hat{p} + \hat{k}}{[{(p - k)}^{2} - m^{2}] (k^{2} - λ^{2})} d^{4} k

(az betű fölötti vonással az integrál nemregularizált értékét jelöljük). A fotonpropagátorban bevezettük a fiktív „fotontömeget” , -t, hogy így elkerüljük (akárcsak a 114. §-ban) az infravörös divergenciákat .

Alakítsuk át a fenti integrált a (127,4) képlet segítségével, ahol és (116,2) nevezőjében álló két tényező. Az új integrál nevezőjében levő tagok egyszerű átcsoportosítása után azt kapjuk, hogy

12.84. egyenlet - (116,3)

\bar{ℳ} (p) = - \frac{8 π i}{{(2 π)}^{4}} e^{2} \int d^{4} k \int_{0}^{1} d x \frac{2 m - \hat{p} + \hat{k}}{{[{(k - p x)}^{2} - a^{2}]}^{2}},

ahol

12.85. egyenlet - (116,4)

a^{2} = m^{2} x^{2} - (p^{2} - m^{2}) x (1 - x) + λ^{2} (1 - x) .

A k→k+px helyettesítéssel a (116,3) integrált olyan alakra hozhatjuk, amelyben a nevező csak -től függ. Ekkor azonban (127,17) és (127,18) szerint egy additív állandót kell hozzáadni az integrálhoz:

12.86. egyenlet - (116,5)

\bar{ℳ} (p) = - \frac{8 π i}{{(2 π)}^{4}} e^{2} \{\int d^{4} k \int_{0}^{1} d x \frac{2 m - \hat{p} (1 - x)}{{(k^{2} - a^{2})}^{2}} - \frac{i π^{2}}{4} \hat{p} \}

[itt a -ot tartalmazó tagot a számlálóból elhagytuk, mivel a négyesvektor irányára integrálva eltűnik – vö. (127,8)].

Ennek az integrálnak a regularizációja olyan levonásokat jelent, amelyek (107,20) alakú kifejezést eredményeznek. Az utóbbi először is abban tér el a fenti integráltól, hogy ha egy valódi elektron négyesimpulzusa, akkor az u(p) amplitúdóval szorozva, eltűnik. Ezt a követelményt, u(p) bevezetése nélkül, úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ℳ(p) -nek a

12.87. egyenlet - (116,6)

\hat{p} \to m, p^{2} \to m^{2}

helyettesítésre el kell tűnnie. A (116,5) integrál alakja ebből a szempontból célszerű, mert a négyesimpulzust csak és alakban tartalmazza (a alakú tagok hiányzanak).

(116,5)-ből a belőle (116,6) helyettesítéssel kapott kifejezést levonva, a következőket kapjuk:

12.88. egyenlet - (116,7)

\begin{matrix} \begin{aligned} \frac{- 8 π i}{{(2 π)}^{4}} \{\int d^{4} k \int_{0}^{1} d x \cdot [2 m - \hat{p} (1 - x)] [\frac{1}{{(k^{2} - a^{2})}^{2}} - \frac{1}{{(k^{2} - a_{0}^{2})}^{2}}] - \\ - \int d^{4} k \int_{0}^{1} d x \frac{1 - x}{{(k^{2} - a_{0}^{2})}^{2}} (\hat{p} - m) - \frac{i π^{2}}{4} (\hat{p} - m) \}, \end{aligned} & (116,7) \end{matrix}

ahol

A végleges regularizációhoz azonban még egy levonást kell elvégeznünk: (107,20) szerint a (116,6) helyettesítés esetén nemcsak maga ℳ(p) kell, hogy eltűnjék, hanem annak az egyik (p̂–m) tényező nélküli része is. A megfelelő levonások kiejtik (116,7)-ben a kapcsos zárójelben álló második és harmadik tagot.^[417] Az első integrált átalakítjuk úgy, hogy még egy segédintegrált vezetünk be a (127,5) képlet segítségével, ahol n=2 , és pedig k2–a2 és k2–a02 . Ekkor az integrál a

(p̂–m)(16πi/(2π)4)e2∫ d4k∫01dx∫01dz((p̂+m)[2m–p̂(1–x)]x(1–x)/[k2–a02+(p2–m2)x(1–x)z]3)

alakra hozható [itt felhasználtuk a p2–m2=(p̂–m)(p̂+m) azonosságot is]. Végezzük el a d4k szerinti integrálást. Feltéve, hogy p2–m2<0 , és (127,14)-et felhasználva, azt kapjuk, hogy

(p̂–m)(e2/2π)∫01dx∫01dz((p̂+m)[2m–p̂(1–x)]x(1–x)/m2x2+λ2(1–x)+(m2–p2)x(1–x)z).

Ezután, ideiglenesen elhagyva a (p̂–m) tényezőt, ki kell vonnunk a fentiből a (116,6) helyettesítéssel kapott integrált; ennek eredményeként az adódik, hogy

12.89. egyenlet - (116,8)

ℳ (p) = {(\hat{p} - m)}^{2} \frac{e^{2}}{2 π} \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} d z \frac{m (1 - x^{2}) - (\hat{p} + m) {(1 - x)}^{2} [1 - \frac{2 x (1 + x) z}{x^{2} + {(λ ∕ m)}^{2}}]}{m^{2} x + (m^{2} - p^{2}) (1 - x) z}

[a közös nevezőben elhagytuk a tagot, mert ez nem vezet divergenciára; máshol λ2(1–x) -et -tel helyettesítettünk, mivel az infravörös divergenciának az x→0 divergencia felel meg].

(116,8)-ban az integrálás (először , majd szerint) eléggé hosszadalmas, de elemi, és a következő végeredményre vezet:

12.90. egyenlet - (116,9)

\begin{matrix} \begin{aligned} ℳ (p) & = \frac{α}{2 π m} {(\hat{p} - m)}^{2} \{\frac{1}{2 (1 - ϱ)} (1 - \frac{2 - 3 ϱ}{1 - ϱ} ln ϱ) - \\ - \frac{\hat{p} + m}{m ϱ} [\frac{1}{2 (1 - ϱ)} (2 - ϱ + \frac{ϱ^{2} + 4 ϱ - 4}{1 - ϱ} ln ϱ) + 1 + 2 ln \frac{λ}{m}] \}, \end{aligned} & (116,9) \end{matrix}

ahol

(R. Karplus , N. M. Kroll , 1950). Az integrál kiszámításakor feltételeztük, hogy ϱ>0 , mégpedig ϱ≫λ∕m . A pólusok kikerülésének szabálya szerint, ha a (116,9) kifejezést analitikusan folytatjuk a ϱ<0 tartományba, a logaritmus fázisát az m→m–i0 helyettesítéssel kapjuk meg; ekkor ϱ→ϱ–i0 , tehát lnϱ -t ϱ<0 esetén a következőképpen kell érteni:

12.91. egyenlet - (116,10)

ln ϱ = ln | ϱ | - i π, ϱ < 0 .

Vizsgáljuk meg a tömegoperátor viselkedését p2≫m2 esetén. Ekkor –ϱ≈p2∕m2≫1 , és logaritmikus pontossággal

12.92. egyenlet - (116,11)

ℳ (p) = - [𝒢^{- 1} (p) - G^{- 1} (p)] \approx \frac{α}{4 π} \hat{p} ln \frac{p^{2}}{m^{2}} .

Akárcsak a fotonpropagátor esetén [vö. a polarizációs operátorra vonatkozó(110,15)és (110,16) képletekkel], a G–1 -hez járuló korrekció csak akkor kicsi, ha az energia nem túlságosan nagy, éspedig ha

Az adott esetben azonban a logaritmikus növekedés bizonyos értelemben fiktív, mivel a mérték, vagyis a foton propagátorában szereplő D(l) megfelelő választása mellett ez eltüntethető (L. D. Landau , A. A. Abrikoszov , I. M. Halatnyikov , 1954). Ehhez a

12.93. egyenlet - (116,12)

D^{(l)} = 0

mértéket kell választani, míg a (116,9) képletet a

12.94. egyenlet - (116,13)

D^{(l)} = D

mértékben kaptuk. A (116,12) mértéknek ez a tulajdonsága különösen kényelmes, ha az elmélet jellegét a p2≫m2 tartományban vizsgáljuk, és ezt fel is fogjuk használni a 128. §-ban.

A fenti állítás bizonyítására megjegyezzük, hogy ha csupán az ∼e2 nagyságrendű tagokkal törődünk, a (116,13) mértékről a (116,12) mértékre való áttérés transzformációját infinitezimálisnak tekinthetjük [mivel (102,14)-ben a kitevőben van]. Ennek megfelelően közvetlenül felhasználhatjuk a (102,16) képletet, ahol most

és ahol az integrandusban a függvényt a megfelelő pontossággal -vel helyettesítjük. A d4q szerinti integrálban lényeges lesz a q≫p tartomány; ekkor az integrandusban szereplő G(p–q) sokkal kisebb lesz, mint G(p) , és így elhanyagolható. Tehát

δ–1=–G–2(p)δ(p)=–ie2G–1(p)∫δd(l)(q)(d4q/(2π)4).

Végül a (127,11) és (127,12) transzformációt felhasználva, azt kapjuk, hogy

δ–1(p)=–(e2/4π)G–1(p)∫(d(–q2)/–q2)≈–(e2/4π)p̂ln(Λ2/p2),

ahol egy segédmennyiség, az integrálás felső határa, és az ebben való divergenciát a renormálás szünteti meg. Ez azt jelenti, hogy egy ugyanilyen kifejezést kell levonni, amelyben p2≈m2 . Így végül azt kapjuk, hogy

Ez a kifejezés éppen kiejti (116,11)-ben a –1–G–1 különbséget.

Végül vizsgáljuk meg azokat az okokat, amelyek szükségessé teszik a véges „fotontömeg ”, bevezetését a (116,2) integrál regularizálásakor, ami viszont szorosan kapcsolódik az integrandus p2→m2 viselkedéséhez.

Először is megjegyezzük, hogy ez az integrál λ=0 esetén véges a p2=m2 helyen (az adott szempontból lényegtelen divergenciát, amely nagy értékekhez tartozik, megszüntethetjük, ha a tér nagy, de véges tartományára integrálunk). bevezetését a renormálási integrál levonása követeli meg, amely enélkül divergálna a p2=m2 helyen. Vizsgáljuk meg ezért a nemrenormált tömegoperátor p2→m2 viselkedését. Mivel ez lényegesen függ a mérték választásától, tekintsük az általános esetet, amikor a mérték tetszőleges [ugyanakkor a (116,2) integrált egy bizonyos – a (116,13) – mérték esetére írtuk fel].

Használjuk fel ismét a (102,16) transzformációt. Írjuk fel δd(l) -et a következő alakban:

12.95. egyenlet - (116,14)

δ d^{(l)} (q) = \frac{δ D^{(l)}}{q^{2}} = \frac{4 π}{{(q^{2})}^{2}} δ a (q^{2}),

ahol egy olyan a(q2) függvény variációja, amely csak a q2∼m2 tartományban változik lényegesen, és a q2≈m2 helyen véges. (102,16) jobb oldalán, az integrandusban fellépő (p)–(p–q) különbség két tagja közel van egymáshoz, ha kicsi, és így az integrál konvergens. Észrevéve, hogy kis értékekre

látjuk, hogy (p–q) -t el lehet hagyni (p) -hez képest, ha q≫(p2–m2)∕m . A

δ(p)=ie2(p)∫δd(l)(q)(d4q/(2π)4)=–(e2/4π)(p)∫δa(q2)(d(–q2)/–q2)

integrál logaritmikusan divergál a

tartományban. Így logaritmikus pontossággal

Ezt az egyenlőséget integrálhatjuk. Észrevéve, hogy α≡e2→0 esetén a pontos propágátor, , egybe kell essék a szabad részecskék propagátorával , azt kapjuk, hogy

12.96. egyenlet - (116,15)

𝒢 (p) = \frac{1}{\hat{p} - m} {(\frac{m^{2}}{p^{2} - m^{2}})}^{\frac{α}{2 π} (C - a_{0})},

ahol a0=a(m2) , pedig egy állandó. Hogy az utóbbit meghatározzuk, hasonlítsuk össze a

12.97. egyenlet - (116,16)

𝒢^{- 1} (p) = (\hat{p} - m) [1 + \frac{α}{2 π} (C - a_{0}) ln ϱ]

kifejezést, amelyet (116,15)-ből szerinti első közelítésben kapunk, a (116,2)-ből λ=0 esetén adódó

12.98. egyenlet - (116,17)

𝒢^{- 1} (p) = (\hat{p} - m) [1 + \frac{α}{π} ln ϱ]

kifejezéssel.^[418] A (116,14) definíció szerint az a(q2) függvény egybeesik a D(l)∕D hányadossal. Ezért a (116,13) mérték, amelyhez (116,17) tartozik, a=a0=1 -nek felel meg. Ahhoz, hogy (116,16)és (116,17) az adott mellett egybeessék, az kell, hogy C=3 legyen.

Így végül a nemrenormált elektronpropagátor a p2→m2 határátmenet esetén (infravörös aszimptotika) a következő:

12.99. egyenlet - (116,18)

𝒢 (p) = \frac{\hat{p} + m}{p^{2} - m^{2}} {(\frac{m^{2}}{p^{2} - m^{2}})}^{\frac{α}{2 π} (3 - a_{0})}

(A. A. Abrikoszov , 1955).^[419]

A renormált propagátornak a p2=m2 helyen egyszerű pólusa kell, hogy legyen. Látjuk, hogy (116,18) ennek a feltételnek csak olyan mérték esetén tesz eleget, amelyben

12.100. egyenlet - (116,19)

D^{(l)} = 3 D

(azaz a0=3 ). Ebben az esetben a Feynman-integrálok regularizációjakor (amelynek célja az integrálás felső határával kapcsolatos divergencia eltüntetése) nem szükséges bevezetni a „véges fotontömeget”. Ha más mértéket választunk, a zérus fotontömeg a p2=m2 helyen egyszerű pólus helyett elágazási pontot eredményez, és ennek a „hibának” a kiküszöbölésére kell bevezetnünk a véges paramétert.

^[417] Ezzel az „útközben elvégzett renormálás” során elhagyjuk a renormálási állandóhoz ( 107. §) járuló korrekciókat. A megfelelő integrálok logaritmikusan divergálnak. Ha bevezetjük a Λ2≫m2,p2 „levágási paramétert ”, és a d4k szerinti integrálást a k2≤Λ2 tartományra korlátozzuk, akkor ezt a korrekciót explicit alakban is megadhatjuk. A számítások eredménye: Z1=1+Z1(1), Z1(1)=–(α/2π)[(1/2)ln(Λ2/m2)+ln(λ2/m2)+(9/4)]. (116,7a)

^[418] Ahhoz, hogy (116,17)-et megkapjuk, nem kell újra elvégeznünk a számításokat. (116,9)-ben a lnϱ -val arányos tagot éppen a ϱ≫λ feltevés mellett kaptuk, ez pedig megengedi a λ→0 határátmenetet. Az ln(λ∕m) -mel arányos tag a renormálási integrál levonása miatt lép fel, és (116,2)-ben nem szerepel. Könnyen belátható, hogy ez a levonás nem érinti az lnϱ -val arányos tagokat.

^[419] A fenti képlet érvényessége csupán az α≪1 , |lnϱ|≫1 egyenlőtlenségekkel kapcsolatos, a perturbációszárnítás képletei viszont (α/2π)|lnϱ|≪1 teljesülését is megkövetelnék. Azt is megjegyezzük, hogy p2–m2 előjele itt lényegtelen, mivel (116,18) képzetes része amúgy is túlmenne a kifejezés pontosságán.