Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

116.§. A tömegoperátor kiszámítása

116.§. A tömegoperátor kiszámítása

A tömegoperátor kiszámításával fogjuk szemléltetni a Feynman-integrálok közvetlen regularizációjának módszerét.

Az első el nem tűnő közelítésben a tömegoperátort a

12.82. egyenlet - (116,1)


diagramban levő hurok jelképezi. Ennek a

–iℳ̄(p)=(–ie)2∫γμG(p–k)γνDμν(k)(d4k/(2π)4)

integrál felel meg. A propagátorokat beírva és γμ…γμ tényezőket a (22,6) képletek szerint egyszerűsítve, azt kapjuk, hogy

12.83. egyenlet - (116,2)

̄(p)=8πi(2π)4e22mp̂+k̂[(pk)2m2](k2λ2)d4k


(az ℳ betű fölötti vonással az integrál nemregularizált értékét jelöljük). A fotonpropagátorban bevezettük a fiktív „fotontömeget” , λ-t, hogy így elkerüljük (akárcsak a 114. §-ban) az infravörös divergenciákat .

Alakítsuk át a fenti integrált a (127,4) képlet segítségével, ahol a1 és a2(116,2) nevezőjében álló két tényező. Az új integrál nevezőjében levő tagok egyszerű átcsoportosítása után azt kapjuk, hogy

12.84. egyenlet - (116,3)

̄(p)=8πi(2π)4e2d4k01dx2mp̂+k̂[(kpx)2a2]2,


ahol

12.85. egyenlet - (116,4)

a2=m2x2(p2m2)x(1x)+λ2(1x).


A k→k+px helyettesítéssel a (116,3) integrált olyan alakra hozhatjuk, amelyben a nevező csak k2-től függ. Ekkor azonban (127,17) és (127,18) szerint egy additív állandót kell hozzáadni az integrálhoz:

12.86. egyenlet - (116,5)

̄(p)=8πi(2π)4e2d4k01dx2mp̂(1x)(k2a2)2iπ24p̂


[itt a k̂-ot tartalmazó tagot a számlálóból elhagytuk, mivel a k négyesvektor irányára integrálva eltűnik – vö. (127,8)].

Ennek az integrálnak a regularizációja olyan levonásokat jelent, amelyek (107,20) alakú kifejezést eredményeznek. Az utóbbi először is abban tér el a fenti integráltól, hogy ha p egy valódi elektron négyesimpulzusa, akkor az u(p) amplitúdóval szorozva, eltűnik. Ezt a követelményt, u(p) bevezetése nélkül, úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ℳ(p)-nek a

12.87. egyenlet - (116,6)

p̂m,p2m2


helyettesítésre el kell tűnnie. A (116,5) integrál alakja ebből a szempontból célszerű, mert a p négyesimpulzust csak p̂és p2 alakban tartalmazza (a kp alakú tagok hiányzanak).

(116,5)-ből a belőle (116,6) helyettesítéssel kapott kifejezést levonva, a következőket kapjuk:

12.88. egyenlet - (116,7)

8πi(2π)4d4k01dx[2mp̂(1x)]1(k2a2)21(k2a02)2d4k01dx1x(k2a02)2(p̂m)iπ24(p̂m),(116,7)


ahol

a02=m2x2+λ2(1–x).

A végleges regularizációhoz azonban még egy levonást kell elvégeznünk: (107,20) szerint a (116,6) helyettesítés esetén nemcsak maga ℳ(p) kell, hogy eltűnjék, hanem annak az egyik (p̂–m) tényező nélküli része is. A megfelelő levonások kiejtik (116,7)-ben a kapcsos zárójelben álló második és harmadik tagot.[417] Az első integrált átalakítjuk úgy, hogy még egy segédintegrált vezetünk be a (127,5) képlet segítségével, ahol n=2, a és b pedig k2–a2 és k2–a02. Ekkor az integrál a

(p̂–m)(16πi/(2π)4)e2∫ d4k∫01dx∫01dz((p̂+m)[2m–p̂(1–x)]x(1–x)/[k2–a02+(p2–m2)x(1–x)z]3)

alakra hozható [itt felhasználtuk a p2–m2=(p̂–m)(p̂+m) azonosságot is]. Végezzük el a d4k szerinti integrálást. Feltéve, hogy p2–m2<0, és (127,14)-et felhasználva, azt kapjuk, hogy

(p̂–m)(e2/2π)∫01dx∫01dz((p̂+m)[2m–p̂(1–x)]x(1–x)/m2x2+λ2(1–x)+(m2–p2)x(1–x)z).

Ezután, ideiglenesen elhagyva a (p̂–m) tényezőt, ki kell vonnunk a fentiből a (116,6) helyettesítéssel kapott integrált; ennek eredményeként az adódik, hogy

12.89. egyenlet - (116,8)

(p)=(p̂m)2e22π01dx01dzm(1x2)(p̂+m)(1x)212x(1+x)zx2+(λm)2m2x+(m2p2)(1x)z


[a közös nevezőben elhagytuk a λ2 tagot, mert ez nem vezet divergenciára; másholλ2(1–x)-et λ2-tel helyettesítettünk, mivel az infravörös divergenciának azx→0 divergencia felel meg].

(116,8)-ban az integrálás (először dz, majd dx szerint) eléggé hosszadalmas, de elemi, és a következő végeredményre vezet:

12.90. egyenlet - (116,9)

(p)=α2πm(p̂m)212(1ϱ)123ϱ1ϱlnϱp̂+mmϱ12(1ϱ)2ϱ+ϱ2+4ϱ41ϱlnϱ+1+2lnλm,(116,9)


ahol

ϱ=(m2–p2/m2)

(R. Karplus , N. M. Kroll , 1950). Az integrál kiszámításakor feltételeztük, hogy ϱ>0, mégpedig ϱ≫λ∕m. A pólusok kikerülésének szabálya szerint, ha a (116,9) kifejezést analitikusan folytatjuk a ϱ<0 tartományba, a logaritmus fázisát az m→m–i0 helyettesítéssel kapjuk meg; ekkor ϱ→ϱ–i0, tehát lnϱ-t ϱ<0 esetén a következőképpen kell érteni:

12.91. egyenlet - (116,10)

lnϱ= ln|ϱ|iπ,ϱ<0.


Vizsgáljuk meg a tömegoperátor viselkedését p2≫m2 esetén. Ekkor –ϱ≈p2∕m2≫1, és logaritmikus pontossággal

12.92. egyenlet - (116,11)

(p)=[𝒢1(p)G1(p)]α4πp̂lnp2m2.


Akárcsak a fotonpropagátor esetén [vö. a polarizációs operátorra vonatkozó(110,15)és (110,16) képletekkel], a G–1-hez járuló korrekció csak akkor kicsi, ha az energia nem túlságosan nagy, éspedig ha

(α/4π)ln(p2/m2)≪1.

Az adott esetben azonban a logaritmikus növekedés bizonyos értelemben fiktív, mivel a mérték, vagyis a foton propagátorában szereplő D(l) megfelelő választása mellett ez eltüntethető (L. D. Landau , A. A. Abrikoszov , I. M. Halatnyikov , 1954). Ehhez a

12.93. egyenlet - (116,12)

D(l)=0


mértéket kell választani, míg a (116,9) képletet a

12.94. egyenlet - (116,13)

D(l)=D


mértékben kaptuk. A (116,12) mértéknek ez a tulajdonsága különösen kényelmes, ha az elmélet jellegét a p2≫m2 tartományban vizsgáljuk, és ezt fel is fogjuk használni a 128. §-ban.

A fenti állítás bizonyítására megjegyezzük, hogy ha csupán az ∼e2 nagyságrendű tagokkal törődünk, a (116,13) mértékről a (116,12) mértékre való áttérés transzformációját infinitezimálisnak tekinthetjük [mivel (102,14)-ben a kitevőben e2 van]. Ennek megfelelően közvetlenül felhasználhatjuk a (102,16) képletet, ahol most

δd(l)(q)=–(D/q2)=–(4π/(q2)2),

és ahol az integrandusban a függvényt a megfelelő pontossággal G-vel helyettesítjük. A d4q szerinti integrálban lényeges lesz a q≫p tartomány; ekkor az integrandusban szereplő G(p–q) sokkal kisebb lesz, mint G(p), és így elhanyagolható. Tehát

δ–1=–G–2(p)δ(p)=–ie2G–1(p)∫δd(l)(q)(d4q/(2π)4).

Végül a (127,11) és (127,12) transzformációt felhasználva, azt kapjuk, hogy

δ–1(p)=–(e2/4π)G–1(p)∫(d(–q2)/–q2)≈–(e2/4π)p̂ln(Λ2/p2),

ahol Λ egy segédmennyiség, az integrálás felső határa, és az ebben való divergenciát a renormálás szünteti meg. Ez azt jelenti, hogy egy ugyanilyen kifejezést kell levonni, amelyben p2≈m2. Így végül azt kapjuk, hogy

δ–1=(e2/4π)p̂ln(p2/m2).

Ez a kifejezés éppen kiejti (116,11)-ben a –1–G–1 különbséget.

Végül vizsgáljuk meg azokat az okokat, amelyek szükségessé teszik a véges „fotontömeg ”, λ bevezetését a (116,2) integrál regularizálásakor, ami viszont szorosan kapcsolódik az integrandus p2→m2 viselkedéséhez.

Először is megjegyezzük, hogy ez az integrál λ=0 esetén véges a p2=m2 helyen (az adott szempontból lényegtelen divergenciát, amely nagy k értékekhez tartozik, megszüntethetjük, ha a k tér nagy, de véges tartományára integrálunk). λ bevezetését a renormálási integrál levonása követeli meg, amely enélkül divergálna a p2=m2 helyen. Vizsgáljuk meg ezért a nemrenormált tömegoperátorp2→m2 viselkedését. Mivel ez lényegesen függ a mérték választásától, tekintsük az általános esetet, amikor a mérték tetszőleges [ugyanakkor a (116,2) integrált egy bizonyos – a (116,13) – mérték esetére írtuk fel].

Használjuk fel ismét a (102,16) transzformációt. Írjuk fel δd(l)-et a következő alakban:

12.95. egyenlet - (116,14)

δd(l)(q)=δD(l)q2=4π(q2)2δa(q2),


ahol δa egy olyan a(q2) függvény variációja, amely csak a q2∼m2 tartományban változik lényegesen, és a q2≈m2 helyen véges. (102,16) jobb oldalán, az integrandusban fellépő(p)–(p–q) különbség két tagja közel van egymáshoz, ha q kicsi, és így az integrál konvergens. Észrevéve, hogy kis qértékekre

(p–q)∼(1/p2–m2–2qp),

látjuk, hogy (p–q)-t el lehet hagyni (p)-hez képest, ha q≫(p2–m2)∕m. A

δ(p)=ie2(p)∫δd(l)(q)(d4q/(2π)4)=–(e2/4π)(p)∫δa(q2)(d(–q2)/–q2)

integrál logaritmikusan divergál a

((p2–m2)2/m2)≪q2≪m2

tartományban. Így logaritmikus pontossággal

(δ/)=–(e2/2π)δa(m2)ln(m2/p2–m2).

Ezt az egyenlőséget integrálhatjuk. Észrevéve, hogy α≡e2→0 esetén a pontos propágátor, , egybe kell essék a szabad részecskék G propagátorával , azt kapjuk, hogy

12.96. egyenlet - (116,15)

𝒢(p)=1p̂mm2p2m2α2π(Ca0),


ahol a0=a(m2), C pedig egy állandó. Hogy az utóbbit meghatározzuk, hasonlítsuk össze a

12.97. egyenlet - (116,16)

𝒢1(p)=(p̂m)1+α2π(Ca0)lnϱ


kifejezést, amelyet (116,15)-ből α szerinti első közelítésben kapunk, a (116,2)-ből λ=0 esetén adódó

12.98. egyenlet - (116,17)

𝒢1(p)=(p̂m)1+απlnϱ


kifejezéssel.[418] A (116,14) definíció szerint az a(q2) függvény egybeesik a D(l)∕D hányadossal. Ezért a (116,13) mérték, amelyhez (116,17) tartozik, a=a0=1-nek felel meg. Ahhoz, hogy (116,16)és (116,17) az adott a0 mellett egybeessék, az kell, hogy C=3 legyen.

Így végül a nemrenormált elektronpropagátor a p2→m2 határátmenet esetén (infravörös aszimptotika) a következő:

12.99. egyenlet - (116,18)

𝒢(p)=p̂+mp2m2m2p2m2α2π(3a0)


(A. A. Abrikoszov , 1955).[419]

A renormált propagátornak a p2=m2 helyen egyszerű pólusa kell, hogy legyen. Látjuk, hogy (116,18) ennek a feltételnek csak olyan mérték esetén tesz eleget, amelyben

12.100. egyenlet - (116,19)

D(l)=3D


(azaz a0=3). Ebben az esetben a Feynman-integrálok regularizációjakor (amelynek célja az integrálás felső határával kapcsolatos divergencia eltüntetése) nem szükséges bevezetni a „véges fotontömeget”. Ha más mértéket választunk, a zérus fotontömeg a p2=m2 helyen egyszerű pólus helyett elágazási pontot eredményez, és ennek a „hibának” a kiküszöbölésére kell bevezetnünk a végesλ paramétert.



[417] Ezzel az „útközben elvégzett renormálás” során elhagyjuk a Z1 renormálási állandóhoz ( 107. §) járuló korrekciókat. A megfelelő integrálok logaritmikusan divergálnak. Ha bevezetjük a Λ2≫m2,p2 „levágási paramétert ”, és a d4k szerinti integrálást a k2≤Λ2 tartományra korlátozzuk, akkor ezt a korrekciót explicit alakban is megadhatjuk. A számítások eredménye: Z1=1+Z1(1), Z1(1)=–(α/2π)[(1/2)ln(Λ2/m2)+ln(λ2/m2)+(9/4)]. (116,7a)

[418] Ahhoz, hogy (116,17)-et megkapjuk, nem kell újra elvégeznünk a számításokat. (116,9)-ben a lnϱ-val arányos tagot éppen a ϱ≫λ feltevés mellett kaptuk, ez pedig megengedi a λ→0 határátmenetet. Az ln(λ∕m)-mel arányos tag a renormálási integrál levonása miatt lép fel, és (116,2)-ben nem szerepel. Könnyen belátható, hogy ez a levonás nem érinti az lnϱ-val arányos tagokat.

[419] A fenti képlet érvényessége csupán az α≪1, |lnϱ|≫1 egyenlőtlenségekkel kapcsolatos, a perturbációszárnítás képletei viszont (α/2π)|lnϱ|≪1 teljesülését is megkövetelnék. Azt is megjegyezzük, hogy p2–m2 előjele itt lényegtelen, mivel (116,18) képzetes része amúgy is túlmenne a kifejezés pontosságán.