Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

115.§. Az elektron anomális mágneses momentuma

115.§. Az elektron anomális mágneses momentuma

Amint a 113. §-ban már megjegyeztük, g(0) értéke határozza meg az elektron mágneses momentumának sugárzási korrekcióját. Ha csak ezt a mennyiséget akarjuk kiszámítani, akkor természetesen nem szükséges az egész g(t) függvényt kiszámítanunk. (114,14) és (113,12) segítségével azt kapjuk, hogy

12.71. egyenlet - (115,1)

g(0)=1π4m2g(t)tdt=α4π1dxx32x1=α2π.


Ezt a korrekciót figyelembe véve, az elektron mágneses momentuma:

12.72. egyenlet - (115,2)

μ=e2mc1+α2π.


Ezt a képletet először Schwinger (1949) vezette le.

A következő közelítésben (∼α2) az alakfaktorok sugárzási korrekcióit hét gráffal (103,10)c-i ábrázolhatjuk. Már a g(0) érték, meghatározása is nagyon bonyolult számításokat követel ebben a közelítésben. A számítások részleteiért az eredeti cikkekre utalva, itt csak a második közelítésben kapott korrekció végeredményét közöljük:[415]

12.73. egyenlet - (115,3)

g(2)(0)=απ2197144+π212π22ln2+34ζ(3)=0,328α2π2,


és így az elektron mágneses momentuma:

12.74. egyenlet - (115,4)

μ=e2mc1+α2π0,328α2π2.


Időzzünk el a g(2)(0)-ban szereplő vákuumpolarizációs járuléknál . Ezt a következő, foton-sajátenergiás részt tartalmazó gráf írja le:

12.75. egyenlet - (115,5)


Ez csak annyiban különbözik az első közelítés (114,1) gráfjától, hogy a D(f2)=4π∕f2 fotonpropagátor helyett a

D(f2)((f2)/4π)D(f2)=(4π/f2)((f2)/f2)

kifejezés szerepel benne, ahol (f2) a 110. §-ban kiszámított polarizációs operátor, első (∼α) közelítésben. Az előző szakaszban végzett számításokat a fenti változtatással részlegesen megismételve, a következő kifejezést kapjuk a korrekció „polarizációs részére”:

12.76. egyenlet - (115,6)

gpolar(2)(t)=αm2t(t4m2)11𝒫(f2)f21+3cos𝜃2dcos𝜃,


ahol

12.77. egyenlet - (115,7)

f2=t4m22(1 cos𝜃)


[l. (114,6)]. Ennek, majd a

12.78. egyenlet - (115,8)

gpolar(2)(0)=1π4m2gpolar(2)(t)dtt


integrálnak a kiszámítása a

12.79. egyenlet - (115,9)

gpolar(2)(0)=α2π211936π23=0,016α2π2


értékre vezet; ez ∼5%-át képezi a (115,3)értéknek.

Már említettük (a 111. §. végén), hogy a sugárzási korrekciókhoz bizonyos járulékot adhatnak más részecskék vákuumpolarizációs effektusai is. A müonos vákuumnak az elektron anomális mágneses momentumához való járulékát ugyancsak a (115,6)-(115,8) képletekből kapjuk, ahol (beleértve az f2 változó definícióját is) m most is az elektron tömege (me), viszont a (f2)-ben szereplő m paraméternek a müon tömegét (mμ) kell venni. (f2)∕f2 csak az f2∕mμ2 hányados függvénye. A (115,8) integrálban az a tartomány lényeges, ahol t (és így f2 is) me2 nagyságrendű; ezért f2∕mμ2∼(me∕mμ)2≪1, és az integrálok értékét megbecsülhetjük a megfelelő határesetre vonatkozó (110,14) képlet segítségével, amely szerint

((f2)/f2)=–(α/15π)(f2/mμ2).

Innen látható, hogy a vákuum müonpolarizációs járulékag(2)(0)-hoz az (me∕mμ)2 kis szorzótényezőt tartalmazza.

A fentivel ellentétes helyzettel állunk szemben, amikor a müon mágneses momentumát számítjuk ki. Mivel (115,3)-ban a részecske tömege nem szerepel, így g(2)(0)-nak ez az értéke a müon esetére is vonatkozik. Itt a vákuum müonos polarizációját vettük figyelembe. Viszont más részecskék – az elektronok – vákuumának polarizációjából származó járulék ebben az esetben lényegesen nagyobb. Ezt a (115,6)-(115,8) képletek alapján kell kiszámítani, ahol az m→mμ helyettesítést hajtjuk végre, és ahol (t) az elektron polarizációs operátora . Az előző esettel ellentétben most az f2∕me2∼(mμ∕me)2≫1 tartomány ad lényeges járulékot, és így (f2) helyébe a megfelelő határesetben érvényes (110,15) kifejezést írhatjuk:

((f2)/f2)=(α/3π)ln(|f2|/me2).

Az integrálok kiszámítása a következő eredményre vezet:

12.80. egyenlet - (115,10)

[g(2)(0)]polarelektr=απ213lnmμme2536=1,09α2π2


(H. Suura, E. H. Wichman, 1957; A. Peterman, 1957).

Ezt (115,3)-mal összeadva, a müon mágneses momentumára azt kapjuk, hogy

12.81. egyenlet - (115,11)

μmüon=e2mμc1+α2π+0,76α2π2.


Megjegyezzük, hogy a vákuum müonos polarizációjának járuléka g(2)(0)-nak mindössze∼2%-a. Ugyanilyen nagyságrendű járulékot adott volna (a tömegek közelsége folytán) a vákuum pionos polarizációja is, amelyet egyáltalán nem lehet pontosan kiszámítani.[416]



[415] C. Sommerfield, Phys. Rev. 107, 328 (1957); Ann. Phys. 5, 26 (1958) és A. Peterman, Helv. Phys. Acta 30, 409 (1957). Az unitaritást felhasználó módszerrel végzett számítást l. M. V. Tyerentyev, ZSETF 43, 619 (1962).

[416] Ezért nem lenne értelme a müon mágneses momentumát ∼α3 nagyságrendben kiszámítani.