Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

114.§. Az elektron alakfaktorának kiszámítása

114.§. Az elektron alakfaktorának kiszámítása

Nézzük meg, hogyan lehet ténylegesen kiszámítani az elektron alakfaktorait (J. Schwinger , 1949).

A perturbációszámítás nulladik rendjében a vertexoperátor Γμ=γμ tehát az elektron-alakfaktorok:

f=1, g=0.

Az alakfaktorokhoz az első sugárzási korrekciót a következő diagram adja:

12.49. egyenlet - (114,1)


(két valódi elektronvégződéssel és egy virtuális fotonvégződéssel). Számítsuk ki először az alakfaktorok képzetes részeit . Amint azt az előző szakaszban megmutattuk, ezek csak a szétsugárzási csatornában különböznek zérustól (itt k2>4m2; ennek megfelelően a (114,1) diagram elektronvégződéseihez tartozó négyesimpulzusok egy keletkező elektronnak és pozitronnak felelnek meg, így p–és –p+ segítségével jelöljük őket. A (114,1) diagram analitikus kifejezése:

12.50. egyenlet - (114,2)

ieū(p)Γμu(p+)==(ie)3ū(p)γνiG(p)γμG(pk)γνDμν(f)d4p(2π)4u(p+),(114,2)


vagy kifejtve:

12.51. egyenlet - (114,3)

γμf(k2)12mg(k2)σμνkν=iφμ(p)d4p(p2m2)[(pk)2m2],


ahol bevezettük a

12.52. egyenlet - (114,4)

φμ(p)=e2γν(p̂+m)γμ(p̂k̂+m)γν4π3(pp)2


jelölést, és a tömörség kedvéért elhagytuk az ū(p–)…u(–p+) tényezőket; a továbbiakban mindenütt fel fogjuk tételezni, hogy az egyenlőségek mindkét oldalát ezek közé fogjuk („szendvicselés”).

A (114,1) diagramon behúzott vízszintes pontozott vonal a gráfot két részre vágja, így jelölve azt a közbenső állapotot; amely az alakfaktor képzetes részének az unitaritási feltétel alapján való kiszámításakor fellépne: ez egy elektron–pozitron pár olyan állapota, amelyben az impulzusok p–-tól és p+-tól különböznek. Ugyanez a kettévágás mutatja, hogy a (114,2) integrálban hol kell a pólustényezők helyettesítését elvégezni, ha a (112,9) szabály szerint számolunk [(114,3)-ban ezeket a tényezőket az integrandusban kiemeltük].

(114,3)-ban ugyanolyan alakú integrál szerepel, mint (112,2)-ben. Így a közbenső lépéseket elhagyva, rögtön felírhatjuk a (112,10)-nek megfelelő eredményt:

12.53. egyenlet - (114,5)

2γμf(t)22mσμνkνg(t)=π22t4m2tφμ(p)dΩp,


ahol t=k2, az integrálást a p vektor irányára végezzük, a p–′≡pésp+′≡k–p négyesvektorok pedig a φμ(p) függvény (114,4) definíciójában valódi (nem pedig virtuális) részecskék négyesimpulzusai. A (114,5) kifejezést abban a vonatkoztatási rendszerben írtuk fel, amelyben k=0; ez a keletkezett p–,p+ pár tömegközépponti rendszere (és így a „közbenső”p–′,p+′ páré is). Ebben a rendszerben tehát:

k=(k0,0), p–=((k0/2),p–), p+=((k0/2),–p–), p=((k0/2),p),

és könnyen ellenőrizhető, hogy

12.54. egyenlet - (114,6)

f2=(pp)2=2p2(1 cos𝜃)=t4m22(1 cos𝜃),


ahol a pés p– vektorok által bezárt szög. Helyettesítsük most (114,4)-et (114,5)-be,és küszöböljük ki az integrandusban fellépőγν…γν mátrixokat a (22,6) képletek segítségével. Ekkor azt kapjuk, hogy

12.55. egyenlet - (114,7)

γμf(t)12mσμνkνg(t)==e24t(t4m2)dΩp2π(1 cos𝜃)γν(p̂+m)γμ(p̂k̂+m)γν==e24t(t4m2)dΩf2π(1 cos𝜃)[2m2γμ+4m(Pμ+2fμ)+2(p̂+f̂)γμ(p̂+f̂)],(114,7)


ahol bevezettük az

12.56. egyenlet - (114,8)

f=pp=(0,f),P=pp+=(0,2p)


négyesvektorokat.

Az integrálást így visszavezettük

12.57. egyenlet - (114,9)

(I,Iμ,Iμν)=(1,fμ,fμfν)1 cos𝜃dΩf2π


integrálok kiszámítására.

Az I integrál logaritmikusan divergál, mikor →0. Ezt az integrált

I=∫0t–4m2(d(f2)/f2)=∫0–(t–4m2)(d(f2)/f2)

alakba írva, látjuk, hogy a divergencia a virtuális foton kis „tömegének” felel meg. Így ez „infravörös” divergencia . Ennek a részletes tárgyalását elhalasztjuk a 119. §-ig. Itt csak azt jegyezzük meg, hogy ez a divergencia fiktív abban az értelemben, hogy ha helyesen vesszük figyelembe az összes fizikai jelenséget, a hasonló divergenciák kölcsönösen kompenzálják egymást, és eltűnnek. Ezért az integrált alulról tetszőleges módon „levághatjuk”, és a későbbiekben, valódi fizikai folyamatok kiszámításánál, a levágási határral nullához tartunk.

Itt a legegyszerűbb relativisztikusan invariáns módon végezni a levágást. Ezért az f virtuális fotonnak egy kicsi, de véges λ tömeget adunk (λ≪m), azaz a (114,2)-ben szereplő D(f2) fotonpropagátorban az

12.58. egyenlet - (114,10)

f2f2λ2


helyettesítést hajtjuk végre. Ezután az első integrál:

12.59. egyenlet - (114,11)

I=0(t4m2)d(f2)f2λ2= lnt4m2λ2.


Az Iμ integrálnak, ahol fμ a térszerű négyesvektor, a Pμ négyesvektorral kell arányosnak lennie, ugyanis a rendelkezésünkre álló két négyesvektor, Pμ és kμ közül csak Pμ térszerű (tetszőleges p+,p– mellett). Így Iμ=APμ. Ezt az egyenlőséget Pμ-vel szorozva és a PμIμ integrált az elektron–pozitron pár tömegközépponti rendszerében kiszámítva [az f és P négyesvektorok komponenseit ekkor (114,8) adja meg], azt kapjuk, hogy

A=(1/2p2)∫–11(qpdcos/1–cos)=–(1/2)∫–11dcos=–1.

Tehát

12.60. egyenlet - (114,12)

Iμ=Pμ.


Hasonlóképpen számítható ki az

12.61. egyenlet - (114,13)

Iμν=14P2gμνPμPνP2+14PμPν


integrál is (az együtthatók meghatározásához elegendő az Iμμés az IμνPμPν integrálokat kiszámítani).

A további számításokat a következőképpen végezzük. A (114,11)-(114,13) integrálokat (114,7)-be helyettesítve, több tagból álló összeget kapunk, amelyet ū(p–)…u(–p+) közé kell fogni. Mindegyik tagban (a γμ mátrixok felcserélési szabályainak segítségével) a p̂+ tényezőt jobbra, p̂–-ot pedig balra visszük; ezután p̂–→m, p̂+→–m szerint helyettesíthetjük őket, mivel

ū(p–)p̂–=mū(p–), p̂+u(–p+)=–mu(–p+).

Az így kapott

–4(p+p–)Iγμ+2mPμ–3P2γμ

összegben Pμ-t helyettesíthetjük a vele ekvivalens (ū…u között!)

Pμ→2mγμ+σμνkν

kifejezéssel [vö. (113,5)]. Végül minden mennyiséget a t=k2 invariáns segítségével kifejezve (2p+p–=t–2m2,P2=4m2–t), majd a (114,7) egyenlőség két oldalát összehasonlítva, az alakfaktorok képzetes részeire a következő képleteket kapjuk:

12.62. egyenlet - (114,14)

g(t)=αm2t(t4m2),


12.63. egyenlet - (114,15)

f(t)=α4t(t4m2)3t+8m2+2(t2m2)lnt4m2λ2.


Infravörös divergencia csak ℑf(t)-ben van.

Maguk az f(t) és g(t) függvények, képzetes részeik alapján a (113,11), (113,12) képletek segítségével számíthatók ki. Az integrálást ezekben a képletekben célszerű ugyanazokkal a helyettesítésekkel elvégezni, amelyeket a 110. §-ban (t) kiszámításakor használtunk. Az alakfaktorok a ξ(110,11) változó függvényében a következők:

12.64. egyenlet - (114,16)

g(ξ)=απξlnξξ21,


12.65. egyenlet - (114,17)

f(ξ)1=α2π21+1+ξ21ξ2 lnξlnmλ3(1+ξ2)+2ξ2(1ξ2)lnξ++1+ξ21ξ2π2612ln2ξ2F(ξ)+2lnξln(1+ξ),(114,17)


ahol F(ξ) a (127,19) szerint definiált Spence-függvény .

A nemfizikai tartományban (0<t∕m2<4) a ξ=eiφ helyettesítés célszerű. Ekkor az alakfaktorok:

12.66. egyenlet - (114,18)

f(φ)=απ1φtgφlnmλ+3cosφ+12sinφφ+2tgφ0φ2ξtgξdξ,


12.67. egyenlet - (114,19)

g(φ)=α2πφsinφ.


Végül közöljük a kis |t|értékek mellett igaz képleteket:

12.68. egyenlet - (114,20)

f(t)1=αt3πm2lnmλ38,ha|t|4m2,g(t)=α2π.(114,20)


A nagy |t|értékekre fennálló kifejezések:

12.69. egyenlet - (114,21)

f(t)1=α2π12ln2|t|m2+2lnmλln|t|m2+iα2 lntλ2,hat4m2,0,hat4m2,


12.70. egyenlet - (114,22)

g(t)=αm2πtln|t|m2+iαm2t,hat4m2,0,hat4m2.


A (114,21) képlet (ℜf tekintetében), ahogy mondani szokták, kettős logaritmikus pontossággal érvényes, azaz nagy logaritmusértékek négyzeteit tartalmazó pontossággal.[414]



[414] A vertexoperátorra vonatkozó kifejezés abban az esetben, mikor egy virtuális és egy valódi elektron-, valamint egy valódi fotonvégződés van, a következő helyen található meg: A. I. Ahiezer , V. B. Bereszteckij : Kvantumelektrodinamika, 3. kiadás, „Nauka”, 1969, 36. §., 505. old.