Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

113.§. Az elektron elektromágneses alakfaktorai

113.§. Az elektron elektromágneses alakfaktorai

Vizsgáljuk a Γμ=Γμ(p2,p1;k) vertexoperátort abban az esetben, amikor a két elektronvonal külső, a fotonvonal pedig belső. A külső elektronvonalakhoz az u1=u(p1) és ū2=ū(p2) tényezők tartoznak, így Γ a diagram kifejezésében a

12.34. egyenlet - (113,1)

jfiμ=ū2Γμu1


alakban fordul elő. Mint a 108. §-ban már megjegyeztük, ez az elektron átmenetiáramának kifejezése a sugárzási korrekciók figyelembevételével. A relativisztikus és mértékinvariancia követelményei lehetővé teszik az áram mátrixszerkezetének általános feltárását.

Az elektromágneses kölcsönhatás V=e(jA) operátorának valódi skalár (nem pszeudoskalár) volta fejezi ki a térparitás megmaradását e kölcsönhatásokban. Ezért a jfi átmeneti áram valódi (és nem axiális) négyesvektor. Tehát a két valódi négyes-vektorból, p1-ből és p2-ből és az u1 és u2 bispinorokból felépített négyesvektorokkal kell kifejezhetőnek lennie. Az u2-ben és u1-ben bilineáris független négyesvektorok száma három:

ū2γu1, (ū2u1)p1, (ū2u1)p2,

vagy ami ugyanaz,

12.35. egyenlet - (113,2)

ū2γu1,(ū2u1)P,(ū2u1)k,


ahol P=p1+p2, k=p2–p1. A mértékinvariancia követelménye az átmenetiáram k-ra való merőlegességét jelenti:

12.36. egyenlet - (113,3)

jfik=0.


Ezt a feltételt a (113,2)-beli négyesvektorok közül az első kettő elégíti ki; a

12.37. egyenlet - (113,4)

(p̂1m)u1=0,ū2(p̂2m)=0


Dirac-egyenletek figyelembevételével az első, Pk=0 miatt pedig a második. Így ajfiáram a két négyesvektor lineáris kombinációja lehet:

jfiμ=f1(ū2u1)Pμ+f2(ū2γμu1),

ahol f1 és f2 invariáns függvények, amelyeket az elektron elektromágneses alakfaktorainak hívunk.

Mivel a p1 és p2 négyesimpulzusok szabad elektronokhoz tartoznak (p12=p22=m2), és a három szereplő négyesimpulzusból (p1,p2,k), ahol k=p2–p1, csak egyetlen független skalárváltozót lehet összeállítani, pl. k2-et, az alakfaktorok csak k2-től függenek.

Az áram kifejezését a független tagok eltérő megválasztásával más alakban is megadhatjuk. A (113,4) egyenletet és a γ mátrixok csererelációit felhasználva, könnyű meggyőződni arról, hogy

12.38. egyenlet - (113,5)

(ū2σμνu1)kν=2m(ū2γμu1)+(ū2u1)Pμ,


ahol σμν=(1/2)(γμγν–γνγμ). E kombinációt szorzó alakfaktornak, mint majd megmutatjuk, fontos fizikai jelentése van, ezért a

12.39. egyenlet - (113,6)

Γμ=γμf(k2)12mg(k2)σμνkν


alakot használjuk, ahol fés g két új alakfaktor; az 1∕2m tényező explicit kiemelésének értelmét később látni fogjuk.[413] A rövidség kedvéért írjuk az áram helyett egyszerűen a vertexoperátort, odagondolva az ū2…u1-gyel történő„szendvicselést”.

Az alakfaktorok tulajdonságainak ismertetéséhez tekintsük az elektron külső térrel való kölcsönhatását leíró (107,16) diagramot. A megfelelő szórásamplitúdó,

12.40. egyenlet - (113,7)

Mfi=ejfiμ𝒜μ(e)(k),


ahol μ(e) (a vákuumpolarizáció figyelembevételével adódó) effektív külső tér.

A (113,7) amplitúdó a reakció két csatornáját írja le. A szórási csatornában az invariánst t változóra a

t=k2=(p2–p1)2≤0

egyenlőtlenség teljesül. A p2→p–, p1→–p+ helyettesítéssel térhetünk át a szétsugárzási csatornára , amely egy p–és p+ négyesimpulzusú elektron-pozitron pár keletkezését írja le. Ebben a csatornában

t=(p–+p+)2≥4m2.

A 0<t<m2 tartomány nem fizikai.

Alkalmazzuk a (108,12) unitaritási feltételt . A szórási csatornában (t<0) nincs fizikai közbenső állapot: egy szabad elektron nem tud impulzusa megváltoztatása árán egyéb részecskéket kelteni. Természetesen a nemfizikai tartományban sem adódik ilyen. Így a t<4m2 tartományban (108,12) jobb oldala nulla, így a Tfi (vagy ami ugyanaz: az Mfi) mátrix hermitikus:

Mfi=Mif∗.

A kezdeti és a végállapot cseréje p2 és p1 cseréjét és egyúttal a k→–k cserét jelenti, Mfi-t a (113,7) alakban írva, ebből

jfiμμ(e)(k)=jifμ∗μ(e)∗(–k)

következik. Azonban (e)(–k)=(e)∗(k), így ebből az áram hermitikussága is következik:

12.41. egyenlet - (113,8)

jfi=jif,hat<4m2.


A γ mátrixok (21,7) tulajdonságát kihasználva, könnyű belátni, hogy

(ū2γμu1) =(ū1γμu2)∗, (ū2σμνu1) =–(ū1σμνu2)∗.

Így jfi csak az f(t) és g(t) függvények komplex konjugáltjaiban tér el jif∗-től; a (113,8) egyenlőségből következik, hogy e függvények valósak. Tehát

12.42. egyenlet - (113,9)

f(t)=g(t)=0,hat<4m2.


A szétsugárzási csatornában (t>4m2) az f végállapot egy pár, amely eltérő impulzusú párrá (rugalmas szórással) vagy valamilyen ennél bonyolultabb rendszerré alakulhat. Így az unitaritási egyenlet jobb oldala nullától különböző, az Mfi mátrix (és vele jfi) nem hermitikus, az alakfaktorok tehát komplexek.

Az f(t) és g(t) függvények analitikus tulajdonságai ugyanolyanok, minta 108. §-ban vizsgált (t) függvényé (bár azokat ugyanolyan direkt eljárással igen nehéz belátni). A függvények analitikusak a komplex t síkon egy t=4m2-nél induló, t=+∞-ig tartó, a pozitív féltengely mentén haladó vágástól eltekintve. Emellett teljesülnek az

f∗(t)=f(t∗), g∗(t)=g(t∗)

feltételek is.

A (107,19) renormálási feltételt a (113,6) vertexoperátorra alkalmazva adódik az

12.43. egyenlet - (113,10)

f(0)=1


követelmény. Ennek automatikus figyelembevételére [f(t)-nek imaginárius részéből történő kiszámítása során] a (108,8) alakú diszperziós összefüggést nem közvetlenül az f(t) függvényre, hanem (f–1)∕t-re alkalmazzuk. Ekkor„egylevonásos” diszperziós előállításra jutunk:

12.44. egyenlet - (113,11)

f(t)1=tπ4m2f(t)t(tti0)dt.


A g(t) az alakfaktor értékkészletét fizikai előírások nem korlátozzák eleve, így levonás nélküli diszperziós összefüggést írunk fel rá:

12.45. egyenlet - (113,12)

g(t)=1π4m2g(t)tti0dt.


A g(0) függvényértéknek fontos fizikai jelentése van: az elektron mágneses momentumának korrekcióját adja. Hogy erről meggyőződhessünk, vizsgáljuk meg a nemrelativisztikus elektron szórását időben állandó, térben lassan változó mágneses téren.

A (113,7) amplitúdó g(k2) alakfaktorral kapcsolatos tagja a következő alakú:

12.46. egyenlet - (113,13)

δMfi=e2mg(k2)(ū2σμνu1)kνAμ(e)(k).


Tisztán mágneses térben A(e)μ=(0,A); a tér időbeli állandósága azt jelenti, hogy a kμ négyesvektor kμ=(0,k) alakú, a térbeli lassú változásnak pedig a kiskértékek felelnek meg [a későbbi k→0 határátmenetet szem előtt tartvaírtunk (113,13)-ba A(e)-t az effektív (e) helyett]. A (113,13) kifejezést explicit alakban felírva és ezt a háromdimenziós mennyiségekkel kifejezve,

δMfi=(e/2m)g(–k2)(ū2Σu1)i(k×Ak)

adódik, ahol Σ a (21,21) mátrix. Az i(k×Ak) szorzatot a mágneses térerősséggel (Hk) helyettesíthetjük, majd vehetjük a k→0 határátmenetet. Végül a nemrelativisztikus w1 és w2 spinorokra áttérve (23,12) szerint:

ū2=√(2m)w2∗ / 0, u1=√(2m)(w1 / 0),

és kapjuk a végső

12.47. egyenlet - (113,14)

δMfi=e2mg(0)Hk2m(w2σw1)


kifejezést. Ezt az összefüggést a Φk skalárpotenciállal leírt statikus elektromos téren történő szórás

Mfi=–e(ū2γ0u1)Φk≈–eΦk⋅2m(w2∗w1)

amplitúdójával hasonlíthatjuk össze. Látjuk, hogy az elektronhoz mágneses térben a

–(e/2m)g(0)σHk

potenciális energia korrekciót rendelhetjük hozzá. Eszerint az elektronnak

12.48. egyenlet - (113,15)

μ=e2mcg(0)


„anomális” mágneses momentuma van (a szokásos egységrendszerben felírva), és ez kiegészíti az (eℏ/2mc) Dirac-féle mágneses momentumot.



[413] A félreértések elkerülése végett emlékeztetünk arra, hogy a (113,6) definícióban lényeges, hogy k a csúcsba torkolló fotonvonal négyesimpulzusa. Kimenő vonal esetén a második tag előjele ellentétes lenne.