Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

112.§. A polarizációs operátor képzetes részének kiszámítása Feynman-integrálokkal

112.§. A polarizációs operátor képzetes részének kiszámítása Feynman-integrálokkal

A polarizációs operátor közvetlen számítása a (110,1) hurkos diagram alapján, a perturbációszámítás első közelítésében az

12.24. egyenlet - (112,1)

i𝒫μν4πe2SpγμG(p)γνG(pk)d4p(2π)4


integiál kiszámításával volna lehetséges. A teljes négyesimpulzustérre vett integrál azonban kvadratikusan divergál, így csak a 109. §-ban kimondott szabályokat alkalmazva regularizálhatjuk, és juthatunk véges eredményre.

Ezt az utat nem reprodukáljuk itt teljességében, de megmutatjuk, hogy meg lehet adni a (112,1) integrál alapján a polarizációs operátor képzetes részét (amelyet a 110. §-ban az unitaritási feltételből határoztunk meg). Ez a levezetés is sok tanulságos momentumra irányítja rá a figyelmünket.

A (112,1) integrál képzetes része nem divergál, így nem igényel regularizációt. Az ℑ=(1/3)μμ skalárfüggvény:

ℑ=ℑ{i(4πe2/3(2π)4)∫(Spγμ(p̂+m)γμ(p̂–k̂+m)/(p2–m2+i0)[(p–k)2–m2+i0]) d4p}.

A nyom kiszámítása után az integrál alakja a következő:

12.25. egyenlet - (112,2)

𝒫(k2)=iφ(p)d4p(p2m2+i0)[(pk)2m2+i0],φ(p)=2e23π3(2m2+pkp2).(112,2)


Legyen k2>0; térjünk át arra a vonatkoztatási rendszerre, amelyben k=(k0,0). Ebben

(p–k)2=(p0–k0)2–p2.

Bevezetve az ε=√(p2+m2) jelölést (amely nem azonos a virtuális elektron p0 „energiájával”!), (112,2) átírható az

12.26. egyenlet - (112,3)

𝒫(k2)=d3pdp0iφ(p0,p)(p02𝜀2+i0)[(p0k0)2𝜀2+i0],φ(p0,p)=2e23π3(m2+𝜀2+p0k0p02)(112,3)


alakra.

Az integrandusnak négy pólusa van a p0 komplex változóban:

a) p 0=ε–i0, a’) p 0=–ε+i0,
b) p 0=k0–ε+i0, b’) p 0=k0+ε–i0.

20. ábra.

A 20. ábrán e pólusok helyzete látható. A meghatározottság kedvéért a k0>0 feltételt szabjuk ki (mivel a végeredmény csak k02 függ, és k0 előjelétől független). Számítsuk ki a (t) függvény ugrását a t=k2=k02 komplex síkbeli vágásán vagy, ami ezzel ekvivalens, a k0-sík valós tengelye mentén. A (t) függvény valós része folytonos a vágáson, így az ugrás

12.27. egyenlet - (112,4)

Δ𝒫(t)=2i𝒫(t).


Mindenekelőtt megmutatjuk, hogyan lehetséges pusztán az integrál alakjából meghatározni a vágás helyzetét. A (112,3) integrál belső részét (a dp0 szerintit) jelöljük I(p,k0)-lal. Mindaddig, amíg a 20. ábra felső és alsó pólusai véges távolságra vannak egymástól, a p0 szerinti integrálás útját a pólusoktól tetszőleges távol vezethetjük (a szaggatott vonal az ábrán). Így nyilvánvaló, hogy I(p,k0) értéke változatlan marad a b és b′ pólusok infinitezimális eltolásakor az imaginárius tengely mentén, azaz a k0→k0±iδ,δ→0 helyettesítés során. Más szavakkal, I(p,k0) értéke k0-lal akár alulról, akár felülről valós értékéhez tartva, azonos lesz, és így I(p,k0) nem ad járulékot Δ-hez. A helyzet alapvetően megváltozik, ha két pólus egymás alá kerül (a k0>0 feltétel teljesülésekor ez az a és b pólusokkal történhet meg), amikor is az integrálási görbe közéjük „szorul”, és nem mozdítható el. Így a Δ≠0 lehetőség csak akkor lép fel, ha a d3p szerinti integrálás tartományában valahol teljesül a k0–ε=ε feltétel, azaz k0=2ε=2√(p2+m2). Ehhez nyilvánvalóan teljesülnie kell k0≥2m-nek, azaz t≥4m2-nek.[412]

21. ábra.

Írjuk át az I(p,k0) integrált az

12.28. egyenlet - (112,5)

I(p,k0)=Ciφ(p0,p)dp0(p02𝜀2)[(p0k0)2𝜀2]


alakra, az i0 tagokat elhagyva és az integrálási görbét ennek megfelelően módosítva (l. 21. ábra). Azonnal látjuk, hogy a Δ(t) ugrás fellépése annak következménye, hogy az a pólust nem tudjuk elkerülni az integrálás kontúrjával (mikor a kontúr aés b közé„szorul”). Ezt figyelembe véve változtatjuk a C görbét C′-re, amely az a pont alatt halad, miközben fellép az e pont körüli kis körre vonatkozó integrál (l. a 21bábrát). Ezek után a C′ kontúrt mindig akadálytalanul tarthatjuk távol a pólusoktól, így ez az integrál csak a (t) függvény reguláris részébe ad járulékot. A keresett ugrás meghatározásához elegendő a C″ vonalintegrált tekinteni, amely az a-beli reziduum kiszámítására vezet. Ezt a műveletet az

12.29. egyenlet - (112,6)

1p02𝜀22πiδ(p02𝜀2)


helyettesítéssel végezhetjük el (a negatív előjel a görbe negatív irányításából ered). Ennek során a δ-függvény argumentumában csak ap0=+ε0 gyököt (azaz csak az a pólust körülvevő görbét) kell figyelembe vennünk. Ez automatikusan elérhető, ha csak a négyesimpulzustér felére integrálunk: p0>0.

A (112,6) helyettesítés után az I(p,k0) integrál ugrása közvetlenül számítható:

ΔI ={I(p,k0+iδ)–I(p,k0–iδ)}δ→+0= =–2πi∫0∞δ(p02–ε2)iφ(p0,p)[(1/(k0–p0)2–ε2+iδ)–(1/(k0–p0)2–ε2–iδ)] dp0.

Az

(1/(k0–p0)2–ε2±iδ)=P(1/(k0–p0)2–ε2)∓iπδ[(k0–p0)2–ε2]

[vö. (108,3)] egyenlőséget felhasználva, kapjuk a

ΔI=i(2πi)2∫0∞δ(p02–ε2)δ[(k0–p0)2–ε2]φ(p0,p) dp0

alakot. A δ-függvények argumentumait invariáns alakban írhatjuk, ha azokhoz p2-et hozzáadunk, és ki is vonjuk belőlük:

p02–ε2=p2–m2, (k0–p0)2–ε2=(k–p)2–m2.

Ezek után a végeredmény:

12.30. egyenlet - (112,7)

Δ𝒫(k2)=i(2πi)2p0>0d4pφ(p)δ(p2m2)δ[(pk)2m2].


A δ-függvények jelenléte miatt az integrálást valójában csak a

12.31. egyenlet - (112,8)

p2=m2és(pk)2=m2


hiperfelületek metszésvonalára kell elvégezni. Mivel e tartományban minden p négyesvektor időszerű, így a p0>0 integrálási feltétel invariáns jellegű (ap2=m2 kúp felsőága).

Hasonlítsuk össze (112,7)-et a kiindulási (112,2) képlettel. Mint látjuk, a (t) függvény ugrását formálisan úgy kaphatjuk meg, ha a kiindulási Feynman-integrálban elvégezzük a (110,1) ábra átvágott propagátoraira az

12.32. egyenlet - (112,9)

1p2m2+i02πiδ(p2m2)


helyettesítést (S. Mandelstam , 1958, R. Cutkosky , 1960).

Vegyük észre, hogy a (112,8) feltételek a fázistér olyan tartományát jelölik ki, ahol a gráf megfelelő vonalai virtuális részek helyett valódiak terjedését írják le (vagy amint mondják, a p és p–k négyesimpulzusok tömeghéjon vannak). Ez világosan utal az unitaritási összefüggésen alapuló módszerrel való kapcsolatra, ahol ugyanezeket a vonalakat helyettesítjük a közbenső állapot valós részecskéinek megfelelő vonalakkal.

Az matematikailag is kitűnik, hogy a divergencia miért hiányzik a képzetes részből: a képzetes részt a tömeghéj véges részére való integrálással kapjuk a teljes fázistérre való összegezés helyett.

Ahhoz, hogy a 110. §-ban levezetett képletet megkapjuk (112,7)-ből, térjünk vissza a k=0 vonatkoztatási rendszerbe, és végezzük el a

d4p=|p|εdεdp0dΩ

szerinti integrálást. Ez a δ-függvények segítségével részben elvégezhető. Ennek során, az elsőt

δ(p2–m2) dp0=δ(p02–ε2) dp0→(1/2ε)δ(p0–ε) dp0,

a másodikat pedig a

δ[(p–k)2–m2] dε =δ[(p0–k0)2–ε2] dε= =δ(–2εk0+k02) dε→(1/2k0)δ(ε–(k0/2)) dε

alakban kell használni. Végeredményben

12.33. egyenlet - (112,10)

Δ𝒫(t)=iπ22t4m2tφ(𝜀,p)dΩ


adódik, ahol t=k2=k02, a φ függvény értékeit pedig a

p0=ε=(k0/2), p2=ε2–m2=(k02/4)–m2

helyeken kell venni, azaz

φ(ε,p)=(e2/3π3)(2m2+t),

és szögtől független. Így a dΩ szerinti integrálás 4π-vel való szorzásra vezet, ami (110,8)-at adja.

A bemutatott levezetésben csak az a lényeges, hogy a diagramot két vonal felvágásával két részre tudtuk bontani. Így a megadott szabály érvényes lesz mindazokra a diagramokra is, amelyek két tetszőleges, két (elektron- vagy foton-) vonallal összeköthető blokkból állnak. A (112,9) helyettesítés révén kiszámított integrál ekkor az unitaritási módszerrel a kétrészecskés közbenső állapotokból számított járulékot határozza meg a diagram képzetes részéhez.



[412] Hasonló módon győződhetünk meg a vágás hiányáról t=k2<0 esetén. Ebben az esetben azt a koordináta-rendszert választva, amelyben k=(0,k), az integrandus pólusainak helyzetére p0=±(ε–i0), p0=±(√((p–k)2+m2)–i0)adódik. Mindkét alsó pólus mindig a jobb, mindkét felső mindig a bal p0 félsíkban fekszik, így egyik pár sem kerülhet egymás fölé.