Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

111.§. A Coulomb-törvény sugárzási korrekciói

111.§. A Coulomb-törvény sugárzási korrekciói

A kapott eredményeket alkalmazzuk a Coulomb-törvény korrekcióinak meghatározására. Ezeket szemléletesen mint a vákuum pontszerű töltés körüli polarizációját írhatjuk le.

A rögzített (e1) töltés tere a korrekciók figyelembevétele nélkül a Φ≡A0(e)=e1∕r skalár Coulomb-potenciállal adható meg. Ennek háromdimenziós Fourier-transzformáltja :

Φ(k)≡A0(e)(k)=(4πe1/k2).

Ha a sugárzási korrekciókat is tekintetbe vesszük, a teret egy „effektív”

12.17. egyenlet - (111,1)

𝒜0(e)=A0(e)+𝒟0ϱ𝒫ϱλ4πAλ(e)=A0(e)+14π𝒫𝒟A0(e)


térrel helyettesítjük [vö. (100,15)]. A második tag adja a skalárpotenciál keresett korrekcióját. A perturbációszámítás első közelítését (k2)-re alkalmazva, az előző szakasz eredményeit használjuk, (k2)-re pedig a nulladik közelítést, azaz

(k2)≈D(k2)=–(4π/k2).

Így a tér potenciáljához járuló sugárzási korrekció

12.18. egyenlet - (111,2)

δΦ(k)=4πe1(k2)2𝒫(k2).


Inverz Fourier-transzformációval kaphatjuk a módosítás koordinátatérbeli alakját:

12.19. egyenlet - (111,3)

δΦ(r)=eikrδΦ(k)d3k(2π)3.


Mivel δΦ(k) csak t=–k2 függvénye, így a szög szerinti integrálást elvégezve,

δΦ(r)=(1/4π2)∫0∞δΦ(t)(sin(r√(–t))/r) d(–t)=(1/4π2r)ℑ∫–∞∞δΦ(–y2)eiryydy

adódik (az utóbbi átalakításban kihasználtuk az integrandusnak mint y=√(–t) függvényének párosságát). Ezután az integrálási kontúrt a komplex y változó felső félsíkjába tolhatjuk el, és összeejthetjük a (–y2) függvény vágásával (19. ábra).

19. ábra.

Ez a vágás a 2im pontban kezdődik, és a pozitív képzetes tengely mentén halad (a fizikai levélnek a vágás bal partja felel meg). y helyett az y=ix új változót bevezetve,

δΦ(r)=(1/2π2r)∫2m∞ℑδΦ(x2)e–rxxdx.

Végül a t=x2 integrálra visszatérve, adódik a

12.20. egyenlet - (111,4)

δΦ(r)=14π2r4m2δΦ(t)ertdt


végeredmény. Az

ℑδΦ(t)=–(4πe/t2)ℑ(t)

képzetes részt (110,8)-ból vehetjük, majd nyilvánvaló változócserék után

12.21. egyenlet - (111,5)

Φ(r)=e1r+δΦ(r)=e1r1+2α3π1e2mrζ1+12ζ2ζ21ζ2dζ


adódik (E. Uehling, R. Serber, 1935).

Ezt az integrált két szélsőséges esetben könnyen kiszámíthatjuk. Először a kis r távolságok esetét tekintjük (mr≪1). Az integrál első tagját két részre bontjuk:

I=∫1∞e–2mrζ(√(ζ2–1)/ζ2) dζ=∫1ζ1… dζ+∫ζ1∞… dζ≡I1+I2,

ahol ζ1-et úgy választjuk, hogy az 1∕mr≫ζ1≫1 feltétel teljesüljön. Ennek alapján az első integrálban r=0 írható, amivel

I1≈∫1ζ1(√(ζ2–1)/ζ2) dζ≈ln2ζ1–1

adódik. I2-ben éppen ellenkezőleg, a gyök alatt az 1 elhanyagolható:

I2≈∫ζ1∞e–2mrζ(dζ/ζ)=–lnζ1⋅e–2mrζ1+2mr∫ζ1∞e–2mrζlnζdζ.

A kitevőbe és az integrál alsó határába ζ1=0 helyettesíthető. Ezután a 2mrζ=x helyettesítést végrehajtva, adódik, hogy

I2=–ln2ζ1+ln(1/mr)+∫0∞e–xlnxdx=–ln2ζ1+ln(1/mr)–C,

ahol C=0,577… az Euler-szám.(111,5) második tagjának integráljában azonnal r=0-t helyettesíthetünk:

I3≈(1/2)∫1∞(√(ζ2–1)/ζ4) dζ=(1/6).

A három integrál eredményét összeadva (amelynek során a ζ1 segédmennyiség kiesik), a következőt kapjuk az elektrosztatikus potenciálra :

12.22. egyenlet - (111,6)

Φ(r)=e1r1+2α3πln1mrC56,r1m.


Ha mr≫1, az integrálba a lényeges járulékot a ζ–1∼1∕mr≪1 tartomány adja, amely a ζ=1+ξ helyettesítéssel és a megfelelő elhanyagolásokkal az

e–2mr∫0∞e–2mrξ(3/2)√(2ξ) dξ=(3/8(mr)3∕2)√πe–2mr

integrálra vezet.

Így ez esetben a potenciál:[411]

12.23. egyenlet - (111,7)

Φ(r)=e1r1+α4πe2mr(mr)32,r1m.


Látjuk, hogy a vákuumpolarizáció a pontszerű töltés terét az r∼1∕m(=ℏ∕mc) tartományban változtatja meg, ahol m az elektron tömege. E tartományon kívül a tér módosulása exponenciálisan lecseng.

Még egy általános érvényű megjegyzés. Mindeddig feltettük, hogy a sugárzási korrekciók a foton és az elektron–pozitron tér kölcsönhatásából származnak. Így a foton sajátenergiás ábráiban elektronhurkokat rajzolva, figyelembe vettük a foton és az „elektron–pozitron vákuum” kölcsönhatását. A foton azonban más részecskék „vákuumaival” is kölcsönhat, ez pedig ugyanilyen sajátenergiás diagramokkal írható le, amelyekben azonban a hurkokat a megfelelő részecskék adják. E diagramok járuléka az elektrondiagramokéhoz nagyságrendileg me∕m valamely hatványával aránylik, ahol m az adott részecske, me az elektron tömege.

Az elektronhoz legközelebbi tömegű részecskék a müonok és a pionok. Az me∕mμ és me∕mπ hányadosok numerikusan α-hoz közeli értékűek. E részecskék járulékát tehát a következő rendű elektronjárulékkal együtt kell figyelembe vennünk. A müonokra a jelenlegi elmélet keretei között a számítás elvégezhető, viszont az (erősen kölcsönható) pionokra nem megengedett.

Ez a körülmény elvileg korlátozza a jelenlegi kvantumelmélet konkrét effektusainak számíthatóságát. Már az elektron-foton kölcsönhatásból származó korrekciók tetszőleges rendig való vizsgálata is meghaladja a megengedett pontosság követelményeit.

A Coulomb-törvény e szakaszban tárgyalt sugárzási korrekciói , mint láttuk, az r≾1∕me tartományban lényegesek. Ehhez hozzátehetjük, hogy a kapott képletek r<1∕mμ (vagy 1∕mπ) távolságokon belül újból rosszak lesznek, és a más részecskék vákuumpolarizációjából származó effektusok is lényegesekké válnak.



[411] δΦ(r)-ben az e–2mr tényező eredete már a kiindulási (111,4) integrálból világos: nagy r-ekre csak az alsó határhoz közeli t értékek fontosak. Más szavakkal, az exponenciális tényező kitevőjét a δΦ(t) függvény első szingularitásának a helye határozza meg.