Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

12. fejezet - XII. fejezet SUGÁRZÁSI KORREKCIÓK

12. fejezet - XII. fejezet SUGÁRZÁSI KORREKCIÓK

110.§. A polarizációs operátor kiszámítása

A sugárzási korrekciók tényleges kiszámítását a polarizációs operátorral kezdjük (J. Schwinger , 1949, R. P. Feynman , 1949). Ezt a perturbációszámítás első rendjében a hurkot tartalmazó

12.1. egyenlet - (110,1)


diagram adja meg.

Mint már megjegyeztük, a feladatot megkönnyíti, ha a számítást a keresett függvény imaginárius részének kiszámításával kezdjük. Ezt a legmegfelelőbb formában az unitaritási összefüggést felhasználva tehetjük meg. Ehhez a virtuális fotonvonalakat valamely képzelt „valódi” M2=k2 tömegű vektorrészecskéhez tartozóknak tekintjük, amely az elektronokkal a fotonnal azonos módon hat kölcsön. Így (110,1) valós folyamatot leíró diagrammá válik, amelyre az unitaritási követelmény alkalmazható.

Tehát (110,1)-et mint a vektor–bozon elektron–pozitron párrá való bomláson keresztül önmagába való átmenetét (az S-mátrix diagonális elemét) leíró diagramot tekintjük. A keresztek azokat a pontokat jelölik, ahol a diagramot felvágva, a közbenső állapotként fellépő elektron-pozitron párt kapjuk. Az elektron négyesimpulzusa p–=p, a pozitroné p+=–(p–k).

A (72,4) kétrészecskés unitaritási feltétel azonos kiinduló és végső rendszer esetén így írható:

12.2. egyenlet - (110,2)

2Mii=|p|(4π)2𝜀polar|Mni|2dΩ.


Itt a (110,1) diagram alapján képzett Mii amplitúdó a következő:

12.3. egyenlet - (110,3)

iMii=4πeμ4πeνi𝒫μν4π,


ahol eμ a bozon polarizációs négyesvektora, amely (14,13)-nak megfelelően kielégíti az

eμkμ=0

egyenletet.

Az Mni amplitúdót a bozon elektron-pozitron párrá történő elbomlásának diagramja adja:

A megfelelő analitikus kifejezés:

12.4. egyenlet - (110,4)

Mni=e4πeμjμ,jμ=ū(p)γμu(p+).


(110,3)-at és (110,4)-et (110,2)-be helyettesítve, az adódik, hogy

12.5. egyenlet - (110,5)

2eμeν𝒫μν=e24π|p|𝜀polarjμjνeμeνdΩ.


Ebben az egyenletben p=p–=–p+és ε=ε++ε–=2ε+ az impulzusok és azösszenergia a pár tömegközépponti rendszerében. Az integrálást p minden lehetséges iránya, az összegezést mindkét részecske polarizációja szerint el kell végeznünk.

Átlagoljuk (110,5) mindkét oldalát a bozon polarizációjára. Ezt az

eμ∗eν¯=–(1/3)(gμν–(kμkν/k2))

képlet segítségével végezhetjük el [l. alább (117,5)-öt]. Figyelembe véve a μν tenzor és a jμ vektor transzverzális jellegét (μνkν=0,jμkμ=0) és μμ-t 3-vel jelölve, kapjuk a

12.6. egyenlet - (110,6)

2𝒫=112π|p|𝜀polar(jj)dΩ


egyenlőséget.

A polarizációs összegezést szokásos módon, a nyom képzésével végezhetjük el, míg a dΩ szerinti integrálás 4π-vel való szorzásra redukálódik, így végeredményben a

2ℑ=e2(|p|/3ε)Spγμ(p̂–+m)γμ(p̂+–m)=–e2(8|p|/3ε)(p+p–+2m2)

adódik. Vezessük be a

12.7. egyenlet - (110,7)

t=k2=(p++p)2=2(m2+p+p)


változót. Ezzel

ε2=t, p2=(t/4)–m2,

és az ℑ-re vonatkozó egyenlőség ebben a változóban az

12.8. egyenlet - (110,8)

𝒫(t)=α3t4m2t(t+2m2),t4m2


alakot ölti. t=4m2 az elektron-pozitron pár virtuális fotonkeltésének küszöbenergiája (vö. a XI. fejezet33. lábjegyzetével); a perturbációszámítás adott rendjében (∼e2) a (110,2) unitaritási feltételben az egyetlen lehetséges közbensőállapot éppen az elektron-pozitron pár. Így ebben a közelítésbent<4m2 esetén (110,2) jobb oldala nulla:

12.9. egyenlet - (110,9)

𝒫(t)=0,t<4m2.


Ennél az oknál fogva a vizsgált közelítésben a (t) függvény komplex t síkbeli vágása csak t=4m2-től indul a valós tengely mentén, így ez az érték a diszperziós integrál alsó határa [l. (108,13)]:

12.10. egyenlet - (110,10)

𝒫(t)=α3πt24m2dttti0t4m2tt+2m2t2.


18. ábra.

A továbbiakban célszerű t helyett a

12.11. egyenlet - (110,11)

tm2=(1ξ)2ξ


változót használni. Ez a leképezés a komplex t felső félsíkot a komplex ξ felső félsík egységnyi sugarú félkörébe viszi át, amint az a 18. ábrán is látható (azonos jellegű vonal jelzi a két tartomány határán az egymásnak megfelelő szakaszokat). A (0≤t∕m2≤4) nemfizikai tartománynak a leképezés során a ξ=eiφ,0≤φ≤π félkör, a fizikai tartományoknak (t<0ést∕m2>4) pedig a bal és jobb oldali valós sugarak felelnek meg.

A (110,10) integrált legegyszerűbben a

(t′/m2)=((1+ξ′)2/ξ′), (dt′/m2)=–((1–ξ′2) dξ′/ξ′2)

helyettesítéssel számíthatjuk ki, miközben egyelőre csak a t<0 esetet tekintjük (ekkor ugyanis az integrálási tartományban a nevező nem zérus, és az i0 képzetes rész elhagyható). A ξ változóval kifejezve az integrálás eredményét,

12.12. egyenlet - (110,12)

𝒫(ξ)=αm23π223+53ξ+1ξ+ξ+1ξ41+ξ1ξlnξ.


Ezt az egyenlőséget analitikusan folytatva határozzuk meg (t)-t at>4m2 tartományban: e célból (110,12)-ben ξ=|ξ|eiπ-t írunk (ekkor a logaritmust tartalmazó tag az imaginárius részbe ad járulékot:lnξ=ln|ξ|+iπ).[410] A nemfizikai tartományban ξ=eiφ-t kell helyettesítenünk:

12.13. egyenlet - (110,13)

𝒫(t)=αm23π53sin2φ24+2+ sin2φ2φctgφ2,t4m2= sin2φ2.(110,13)


A kis |t|értékek határesetében (azaz, ha ξ→1) ez a képlet a

12.14. egyenlet - (110,14)

𝒫(t)=α15πt2m2,|t|4m2


alakot veszi fel. Ha |t| nagy (azaz ξ→0 esetet vizsgáljuk),

12.15. egyenlet - (110,15)

𝒫(t)=α3π|t|ln|t|m2,hat4m2,𝒫(t)=α3πtlntm2iπ,hat4m2,(110,15)


adódik.

A perturbációszámítás alapgondolatának megfelelően a kapott formulák addig értelmesek csak, amíg ∕4π≪D–1=t∕4π. Így a (110,15) eredmények alkalmazhatósági tartományát az

12.16. egyenlet - (110,16)

α3πln|t|m21


egyenlőtlenség korlátozza.



[410] Ilyen módon, amint kell is, a vágás felső partjához folytatunk analitikusan, minthogy a ξ síkbeli félkör a felső t félsíknak felel meg.