Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

109.§. A Feynman-integrálok regularizálása

109.§. A Feynman-integrálok regularizálása

A renormálásnak az előző szakaszban megadott fizikai feltételei elvileg lehetőséget adnak az összes elektrodinamikai folyamat amplitúdójának végessé tételére a perturbációszámítás minden rendjében.

Elsőként nézzük meg közelebbről a Feynman-diagramok alapján felírt integrálokban fellépő divergenciák jellegét. Erre fontos utalást ad az integrandusokban előforduló virtuális impulzusok hatványkitevőinek összeszámolása.

Tekintsünk egy n-edrendű diagramot (mely n számú csúcsot tartalmaz), amelynek Ne külső elektron- és Nγ, külső fotonvonala van. Ne páros, és az ábra elektronvonalai Ne∕2 számú, egymást folytonosan követő elektronvonal sorozatába rendezhetők, amelyek mindegyike külső elektronvonallal kezdődik, és azzal is végződik. A belső elektronvonalak száma minden ilyen sorozatban eggyel kevesebb a vonalon levő csúcsok számánál, így a belső elektronvonalak száma

n–(Ne/2).

Minden csúcspontba egy fotonvonal torkollik; Nγ számú olyan csúcs van, amelyhez külső, a maradék n–Nγ számúhoz pedig belső fotonvonal tartozik. Minthogy minden belső fotonvonal két csúcsot köt össze, így ezek száma

(n–Nγ/2).

Minden fotonvonalhoz a D(k) függvényt rendeljük hozzá, amely k-t a –2-edik hatványon tartalmazza. Az elektronvonalakat az analitikus kifejezésekben reprezentáló G(p) függvény p-t (ha p2≫m2) a –1-edik hatványon tartalmazza. Tehát végeredményben a négyesimpulzusok kitevője az integrandus nevezőjében

2n–(Ne/2)–Nγ.

Az integrálások száma (d4p vagy d4k szerint) megegyezik a belső vonalak számával, ha levonjuk belőle a virtuális impulzusokra vonatkozó megmaradási tételekből következő n–1 számú megkötést (az n-edik a teljes diagramra vonatkozó impulzus-megmaradást adja, csak a külső impulzusokat tartalmazza). Ha ezt 4-gyel szorozzuk, akkor a komponensenkénti integrálások száma:

2(n–Ne–Nγ+2).

Végül az integrálások számának és a nevezőben levő négyesimpulzusok kitevőjének különbsége:

11.163. egyenlet - (109,1)

r=432NeNγ.


Megjegyezzük, hogy r független a diagram rendjétől.

Az r<0 feltétel teljesülése általában önmagában nem elegendő az integrál konvergenciájának biztosításához. Az szükséges, hogy hasonló r′ számok jellemezzék a belső blokkokat is. Az r′>0 karakterisztikájú blokkok jelenléte divergenciára vezetne, függetlenül a többi integrál esetleges „szuperkonvergenciájától ”. Az r<0 feltétel viszont elegendő a legegyszerűbb, az n=Ne+Nγ összefüggéssel és egyetlen d4p szerinti integrállal jellemezhető diagramokra.

Ha r≥0, az integrál mindenképpen divergál. A divergencia foka r-nél nem kisebb, ha r páros, és legalább r–1, ha r páratlan (az utóbbi esetben a divergencia fokának eggyel való csökkenése a páratlan számú négyesvektor szorzata teljes térfogatra vett integráljának eltűnéséhez kapcsolódik). Ugyanakkor az r′>0 belső blokkok jelenléte növelheti a divergencia fokát.

Vegyük észre, hogy mivel Ne és Nγ egész számok, a (109,1) egyenletből láthatóan csak egészen kevés olyan értéket vehetnek fel, amely r≥0-t ad. Felsoroljuk a legegyszerűbb ilyen típusú diagramokat, de rögtön eltekintünk az Ne=Nγ=0 (vákuumpolarizáció) és az Ne=0, Nγ=1 (áram vákuumbeli várható értéke ) esetektől, minthogy ezeknek nincs fizikai tartalmuk és a 100. § alapján ezeket egyszerűen el kell hagynunk. A megmaradtak a következők:

11.164. egyenlet - (109,2)


Az első ábra esetén kvadratikus, az összes többiben (r=0 vagy r=1) logaritmikus a divergencia.

A (109,2)d) diagram a vertexoperátorhoz adódó első korrekció. Ennek ki kell elégítenie a (107,19) feltételt, amelyet ez alkalommal

11.165. egyenlet - (109,3)

ū(p)Λμ(p,p;0)u(p)=0,hap2=m2


alakban írunk, ahol

11.166. egyenlet - (109,4)

Λμ=Γμγμ.


Jelöljük a diagramnak megfelelő integrált Λ̄μ(p2,p1;k)-val. Ez logaritmikusan divergál, és magától értetődően nem tesz eleget (109,3)-nak. Természetesen képezhetünk olyan mennyiséget, amely kielégíti azt:

11.167. egyenlet - (109,5)

Λμ(p2,p1;k)=Λ̄μ(p2,p1;k)Λ̄μ(p1,p1;0)p12=m2.


A Λμ(p2,p1;k) integrál vezető divergenciáját akkor kapjuk, ha az integrandusban a virtuális foton f impulzusát tetszőlegesen nagynak választjuk. Ez

–4πie2∫(γνf̂γμf̂γν/f2⋅f2⋅f2)(d4f/(2π)4)

alakú,[407] és független a külső vonalak négyesimpulzusától. Ezért a (109,5) különbségből a divergencia kiesik, és véges mennyiségre jutunk. A divergenciák eltávolításának e levonás útján végzett műveletét nevezzük regularizációnak .

Hangsúlyoznunk kell azonban, hogy Λμ(p2,p1;k) egy levonással való regularizálhatóságát az biztosítja, hogy ez esetben a divergencia csak logaritmikus, azaz a lehető legkevésbé erős. Ha különböző rendű szingularitások fordulnának elő az integrálban, akkor k=0 esetén egy levonás elégtelennek bizonyulna az összes divergenciák eltávolítására.

Γ μ első korrekciójának (azaz Λμ sorfejtése első tagjának) meghatározása után az elektronpropagátor elsőrendű módosítását [a (109,2)a) diagramot] a (105,8) Ward-azonosság segítségével számíthatjuk, miután azt erre a célra

11.168. egyenlet - (109,6)

(p)pμ=Λμ(p,p;0)


alakban írtuk ( helyett az ℳ tömegoperátort, Γμ helyett Λμ-t bevezetve). Ezt az egyenletet az

11.169. egyenlet - (109,7)

ū(p)(p)u(p)=0,hap2=m2


határfeltétel mellett integráljuk, amely (107,20) következménye.

Végül a polarizációs operátor sorfejtése első tagjának kiszámítására a (105,14) azonosságot használjuk, amely bizonyos indexpárok összeejtése után a

(3/4π)(∂2/∂kσ∂kσ)=2

alakra hozható, ahol a skalár =(1/3)μμ és az =μϱϱμ függvényekre kaptunk differenciálegyenletet. Mindkét függvény csak a k2 skalár változótól függ, ezért ezt az alakot a

11.170. egyenlet - (109,8)

2k2𝒫(k2)+𝒫(k2)=4π3𝒮(k2)


egyenletté egyszerűsíthetjük, ahol a vesszők k2 szerinti differenciálást jelentenek. A ′(0)=0 feltétel értelmében az egyenletből világosan kitűnik az

11.171. egyenlet - (109,9)

𝒮(0)=0


követelmény.

(k2)-et a perturbációszámítás első rendjében a (109,2)e) diagramból kell számítani (a külső ágakon a k,k,0,0 négyesimpulzusokkal). A megfelelő Feynman-integrál , amelyet ̄(k2)-tel jelölünk, logaritmikusan divergál, és a (109,9) feltételt kielégítő egy levonással regularizálható:

(k2)=̄(k2)–̄(0).

Ezek után (k2) a (109,8) egyenletnek a (0)=′(0)=0 kezdőfeltételek melletti megoldásával adható meg.

A perturbációszámítás következő rendjében a vertexoperátor Λμ(2) korrekcióját a (103,10)c–i) diagramok adják. Közülük az irreducibilis (103,10)d–f) diagramok (109,5)-tel azonosan egy levonással regularizálhatók csakúgy, mint a Λμ(1) elsőrendű korrekció számításakor. A reducibilis diagramok alacsonyabb rendű, belső sajátenergiás betéteit és csúcsrészeit azonnal helyettesíthetjük a már regularizált elsőrendű módosításokkal ((1),ℳ(1),Λμ(1)), majd az így adódó integrálokat újra (109,5) szerint regularizáljuk.[408] A (2) és ℳ(2) korrekciók ezek után (109,6) és (109,8) segítségével számíthatók.

A leírt következetes eljárás elvi lehetőséget kínál ,ℳés Λμ teljes kifejezésének kiszámítására a perturbációszámítás tetszőleges rendjéig. Ezzel együtt ugyanez érvényes lesz a fizikai szórásfolyamatok amplitúdóira is, amelyeket ,ℳés Λμ betétrészeket tartalmazó diagramok írnak le.

Látjuk, hogy ily módon a 108. §-ban megállapított fizikai feltételek elegendőek az elmélet összes lehetcéges Feynman-diagramjának egyértelmű regularizációjára. Ez a körülmény távolról sem triviális tulajdonsága a kvantumelektrodinamikának. Neve renormálhatóság.[409]

A sugárzási korrekciók tényleges kiszámítására a fent leírt eljárás gyakran nem a legegyszerűbb és legésszerűbb út. A következő fejezetben többek között látni fogjuk, hogy a célszerű eljárás kezdete a megfelelő mennyiség képzetes részének kiszámítása lehet, ezeket pedig konvergens integrálok adják. Ezután a teljes mennyiséget diszperziós összefüggések segítségével adhatjuk meg. Ennek révén a levonásokkal végzett közvetlen regularizáció nehézkes, áttekinthetetlen számításai elkerülhetők.



[407] Az integrál teljes kifejezését a 114. §-ban közöljük – l. (114,2).

[408] A még magasabb rendű diagramok esetén előfordulhat, hogy az négyágú blokkokat is már eleve regularizált értékeikkel kell helyettesítenünk.

[409] A renormálás matematikailag szigorú megalapozását N. N. Bogoljubov és D. V. Sirkov : Bevezetés a kvantált terek elméletébe (Gosztehizdat, 1957, oroszul) című munkában találhatja meg az olvasó.