Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

108.§. A fotonpropagátor analitikus tulajdonságai

108.§. A fotonpropagátor analitikus tulajdonságai

A fotonpropagátor analitikus tulajdonságainak tanulmányozását legkényelmesebb a Π(k2) függvény tulajdonságaival kezdeni. A helyzet ugyanis az, hogy a (100,1) definíció felhasználása erre a célra az Aμ(x) operátorok mértéktranszformációs többértékűsége és tulajdonságainak ebből következő határozatlansága miatt nehézkes.

A foton sajátenergiás függvényének az áramoperátor mértékinvariáns mátrixelemeivel való felírása alapján a 101. §-ban levezettük a Π(k2) függvény (101,11) integrál-előállítását. A k2 változót t-vel[402] jelölve, vizsgáljuk Π(t) tulajdonságait a komplex t síkon.

A

11.150. egyenlet - (108,1)

Π(t)=0ϱ(t)dttt+i0


integrálalakból látszik, hogy a negatív valós féltengelyen a Π(t) függvény valós, a félsík további részén pedig kielégíti a

11.151. egyenlet - (108,2)

Π(t)=Π(t)


szimmetriarelációt.

A Π(t) függvény szinguláris pontjai csak a ϱ(t) függvényből származhatnak. Ezek a valódi részek virtuális fotonkeltésének küszöbenergiáihoz tartozó t=k2 értékeknél helyezkednek el. Az energiaértékek elérésekor a (101,9) összegbe új típusú közbenső állapotok „lépnek be”. Ezeknek az állapotoknak a járuléka a küszöb alatt nulla, felette pedig nullától különböző, azaz szingularitásra vezet a küszöbérték pontjában. Ezek a küszöbértékek természetesen valósak, nemnegatívok.[403] Így a Π(t) függvény szinguláris pontjai a pozitív féltengelyen helyezkednek el. Ha a síkot e féltengely mentén felvágjuk, Π(t) az így kapott felvágott síkban mindenütt analitikus.

A (108,1) nevezőjében a +i0 tag arra utal, hogy a t′=t-beli pólust alulról kell kerülnünk. Ez a kijelentés Π(t)-hez, valós t-kre, a t-vel a vágás felső széléhez tartva adódó értéket rendeli hozzá. A (76,18) szabály szerint:

11.152. egyenlet - (108,3)

1x±i0=P1xiπδ(x),


amelyet kihasználva,

11.153. egyenlet - (108,4)

Π(t)Π(t+i0)=πϱ(t).


A vágáshoz alulról tartva, ℑΠ előjelet vált, ℜΠ pedig mindkét ponton azonos.Így a Π(t) függvény ugrása a vágáson

11.154. egyenlet - (108,5)

Π(t+i0)Π(ti0)=2πiϱ(t).


Ebből a szempontból a (108,1) integrálelőállítás egyszerűen a Π(t) analitikus függvényre vonatkozó Cauchy-előállításként tekinthető. Ugyanis a Cauchy-formulát alkalmazva,

11.155. egyenlet - (108,6)

Π(t)=12πicΠ(t)dttt,


ahol C a vágást kikerülő, (108,7) görbe:

11.156. egyenlet - (108,7)


A végtelenben Π(t) elég gyors lecsökkenését feltételezve, a nagy körön az integrál értéke nulla, a vágás mentén vett integrálok pedig a következő összefüggést adják (diszperziós előállítás ) a Π(t) függvényre:

11.157. egyenlet - (108,8)

Π(t)=1π0Π(t+i0)ttdt=1π0Π(t)tti0dt.


Ezt (108,4) segítségével a (108,1) alakra hozhatjuk.[404]

A (t) és (t) függvények analitikus tulajdonságai Π(t)-ével egyezők, minthogy ez utóbbival az egyszerű (101,2) és (100,20) képletek révén kifejezhetők. (t)-re

11.158. egyenlet - (108,9)

𝒟(t)=4πt1+Π(t)t


írható. Ezt a valós pozitív (t>0) féltengelyen a t→t+i0 előírás szerintértelmezzük. (t) képzetes részét ezután (108,3)és (108,4) segítségével számolhatjuk, ahol (107,6) figyelembevételével kihasználjuk, hogy Π(t)∕t→0, hat→0. Ekkor

11.159. egyenlet - (108,10)

𝒟(t)=4π2δ(t)+4πt2Π(t)=4π2δ(t)4π2t2ϱ(t)


adódik. A (t) függvényre a (108,8) típusú diszperziós összefüggést felírva, a következő integrál-előállítást kapjuk:

11.160. egyenlet - (108,11)

𝒟(t)=4πt+i0+4π0ϱ(t)t2dttt+i0.


Ezt Källen–Lehmann előállításnak hívjuk (G. Källen 1952, H. Lehmann , 1954).

A (t) függvény vágásának elhelyezkedése (és a vágáson vett ugrása, képzetes része) és az a+b→c+d folyamat amplitúdójára alkalmazott, a (107,4) diagrammal kifejezett unitaritási feltétel között mély kapcsolat van (ez a reakció tisztán fiktív; azonban nem mond ellent a megmaradási törvényeknek, így az unitaritás formálisan erre is érvényes kell legyen).

E folyamat kezdeti állapotában (i) két „klasszikus”, a és b részecskét találunk, a végállapotban c-t és d-t. A (72,2) unitaritási feltétel:

11.161. egyenlet - (108,12)

TfiTif=i(2π)4nTfnTinδ(4)(PfPi),


ahol az összegezést az nösszes fizikai közbensőállapotra vesszük.[405] Ez esetben a fenti kijelentés nyilván fotonok és valódi párok halmazát takarja, amelyeket virtuális fotonnal kelthetünk, azaz éppen azokat az állapotokat, amelyek a(101,9)-beli ϱ(k2) függvényben előfordulhatnak. Tehát az Mfiés Mif∗ amplitúdók rendre a (k2)és ∗(k2) tényezőket, különbségük pedig az ℑ(k2)-et tartalmazza. Így látjuk, hogy a [(108,4)-ből már ismert] kapcsolat képzetes részének megjelenése és a közbensőállapotok fellépte között az unitaritás szükségszerű következménye.

A továbbiakban belátjuk, hogy (t) tényleges perturbatív kiszámítását képzetes részének [vagy ami ugyanaz, a (t) függvénynek] a számításával érdemes kezdeni, amely nem tartalmaz divergens kifejezéseket. Ha ezután (t)-t (108,8) jellegű diszperziós kifejezéssel számoljuk, az integrál divergál, és érdemes a (0)=0 és ′(0)=0 feltételek teljesítésére további levonásokat végeznünk. Ezeket a divergens integrállal való közvetlen számítás nélkül is elvégezhetjük. Elegendő a (108,8) diszperziós előállítást nem egyszerűen a (t), hanem rögtön a (t)∕t2 kifejezésre alkalmazni. Ekkor (t) a

11.162. egyenlet - (108,13)

𝒫(t)=t2π0𝒫(t)t2(tti0)dt


alakban adható meg. Ez konvergens integrál, és az adódó függvény automatikusan eleget tesz az összes kiszabott feltételnek.[406]



[402] Ne keverjük össze az idő szimbólumával!

[403] Így a k2=0 pont három (vagy páratlan számú) valós foton keltésének küszöbe, a k2=4m2 az elektron-pozitron páré stb.

[404] A kvantumtérelméletben a diszperziós relációkat elsőként M. Gell-Mann , M. L. Goldberger és W. E. Thirring alkalmazták (1954).

[405] Emlékeztetünk arra, hogy a Tfi amplitúdó csak szorzótényezőkben tér el Mfi-től – l. (65,10).

[406] A (108,13) alakú kifejezést „kétlevonásos” diszperziós relációnak hívjuk. A (t)∕t2 függvényre való áttérés lényege világosabb lesz, ha (108,13)-at (t)=(1/π)∫0∞(ℑ(t′) dt′/t′–t–i0)–(1/π)∫0∞(ℑ(t′)/t′) dt′–(t/π)∫0∞(ℑ(t′)/t′2) dt′alakban írjuk. Ha ez első („regularizálatlan”) integrált ̄(t)-ként írjuk, akkor a jobb oldali kifejezés ̄(t)–̄(0)–t̄′(0)alakban írható.