Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

107.§. A renormálás fizikai feltételei

107.§. A renormálás fizikai feltételei

Az e fejezetben eddig kifejtett elmélet jelentős mértékben formális jellegű. Minden mennyiséggel mint végessel operáltunk, és nem fordítottunk figyelmet az elméletben előforduló divergenciákra. Többek között a ,,Γ függvények perturbatív kiszámítása során divergens integrálokkal találkozunk, amelyekhez, külön kiegészítő megfontolások nélkül, nem tudunk határozott értéket hozzárendelni. E divergenciák megjelenése a jelen kvantumelektrodinamika logikai lezáratlanságát (inkonzisztenciáját) jelzi. Látni fogjuk, hogy ennek az elméletnek a keretei között lehetséges határozott, a „végtelenek levonását” egyértelművé tevő előírások kidolgozása, amelyek végül is minden közvetlen fizikai jelentésű mennyiséghez véges értéket rendelnek. Ezek az előírások azon a nyilvánvaló fizikai követelményen alapulnak, hogy a foton tömege nulla, az elektron töltése és tömege pedig a megfigyelt mennyiségek legyenek.

Kezdjük a foton propagátorára kiszabott feltételek megvilágításával.

Olyan szórásfolyamatot vizsgálunk, amely egyetlen részecskét, egy virtuális fotont tartalmazó közbenső állapotok révén mehet végbe. Az amplitúdónak pólusa van ott, ahol a bejövő részecskék teljes P négyesimpulzusának négyzete a valódi foton tömegének négyzetével egyezik: P2=0; mint a 80. §-ban láttuk, ez a követelmény az unitaritás következménye. Az amplitúdó pólustagját a (80,1) típusú diagram adja:

11.130. egyenlet - (107,1)


a sugárzási korrekciók figyelembevételére a diagram két részét vastag szaggatott vonallal kell összekötnünk (a pontos fotonpropagátort kell alkalmaznunk). Tehát a (k2) függvénynek k2=0-ban pólusa kell legyen, azaz alakjára a

11.131. egyenlet - (107,2)

𝒟4πZk2,hak20


követelmény érvényes, ahol Z konstans. A (k2) polarizációs operátorra a (100,20) egyenlet szerint a

11.132. egyenlet - (107,3)

𝒫(0)=0


feltétel adódik. Ekkor a (107,2)-beli Z együttható az

(1/Z)=1–((k2)/k2)|k2→0

egyenlettel határozható meg.

A (k2) függvényre további megkötéseket kaphatunk, ha elemezzük a részecske elektromos töltésének fizikai definícióját. Eszerint két klasszikus (azaz elég nehéz) részecske, egymástól nagy távolságra[396] nyugalomban a Coulomb-törvény szerint hat kölcsön: U=e2∕r. Másrészt e kölcsönhatást a

11.133. egyenlet - (107,4)


diagram is leírja, ahol az alsó és felső részecskék klasszikus részecskéket jelentenek. A foton sajátenergiás korrekcióit a virtuális foton vonalán vettük figyelembe. Minden további korrekció, amely a nehéz részecskék vonalait módosítja, a diagramot nullává teszi. Ugyanis a (107,4) diagramhoz további belső vonalakat adva (pl. az a és c vagy a és b vonalakat fotonvonallal összekötve) további nehéz virtuális részecskék jelennek meg a diagramon, amelyekhez a megfelelő propagátorokat kell hozzárendelnünk. A tömeget a nevezőben tartalmazó propagátor az M→∞ határátmenetben azonban eltűnik.

A (107,4) diagram alakjából világos (l. 83. §), hogy a benne fellépő e2(k2) tényezőnek a kölcsönható részecskék közötti potenciál Fourier-transzformáltját kell adnia (egy előjel erejéig). A kölcsönhatás statikus jellege azt jelenti, hogy a virtuális fotonok frekvenciája ω=0, a nagy távolságok viszont kis k hullámszámvektoroknak felelnek meg. A Coulomb-potenciál Fourier-transzformáltja4πe2∕k2. Végül, minthogy csak k2=ω2–k2-től függ, a kapott feltétel a következő:[397]

11.134. egyenlet - (107,5)

𝒟4πk2,hak20,


azaz a (107,2)-beli együttható, Z=1. Eszerint a polarizációs operátorra, (k2)-re vonatkozó megkötés:

11.135. egyenlet - (107,6)

𝒫(k2)k20,hak20.


A már ismert (107,3)összefüggés mellett így a

11.136. egyenlet - (107,7)

𝒫(0)=0


összefüggés is teljesül.

A 100. §-ban megjegyeztük, hogy a valódi külső foton effektív vonalának a (100,15) tényezőt feleltetjük meg, amely (100,16) és (100,19) figyelembevételével

[1+(1/4π)(0)(0)]eμ

alakban írható. Ugyanakkor (107,5), (107,6) alapján most látjuk, hogy a korrekciót adó tag nulla. Más szavakkal, arra a fontos eredményre jutottunk, hogy a külső fotonvonalak sugárzási korrekcióját egyáltalán nem kell figyelembe venni.

Tehát természetes fizikai követelmények meghatározzák a (0) és ′(0) mennyiségek értékét (mindkettő zérus). Ugyanakkor, ha ezeket amennyiségeket perturbatív úton kívánnánk meghatározni, divergens integrálokra jutnánk. Úgy tűnik, e végtelen mennyiségek eltávolításának az az útja, hogy azokhoz előre, fizikai követelmények alapján meghatározott értékeket rendelünk. Ezt az eljárást hívják a szóban forgó mennyiségek renormálásának .[398]

Az eljárás az eddigiektől kissé eltérő formában is megfogalmazható. A töltés renormálásakor bevezetik a „csupasz” töltés fogalmát, amely az elektromágneses kölcsönhatás kiindulási Hamilton-függvényében fordul elő (ec). Ezután a renormálási feltétel ec2(k2)→4πe2∕k2 (ha k2→0) alakban fogalmazható meg, ahol e a részecske valódi fizikai töltése. Ebből ec2Z=e2, és ennek révén a nemfizikai ec, mennyiség eltűnik azokból a kifejezésekből, amelyek megfigyelhető folyamatokat írnak le. Ha rögtön a Z=1 követelménnyel élünk, akkor mintegy „menet közben” renormálunk, és a közbenső lépésekben is megszabadulunk a nemfizikai mennyiségek bevezetésének szükségességétől.

Térjünk rá az elektronpropagátor renormálásának megvilágítására. E célból tekintsünk egyetlen virtuális elektron mint közbenső állapot révén végbemenő szórásfolyamatot. E folyamat amplitúdójának pólusa van, mikor a bejövő részek teljes négyesimpulzusának négyzete a valódi elektron tömegnégyzetével egyezik meg: Pi2=m2. Az amplitúdó pólustagját a

11.137. egyenlet - (107,8)


alakú diagram írja le, ahol a vastag vonal a pontos elektronpropagátor. Eszerint a (p) függvénynek p2=m2 helyen pólusa van, azaz a p2→m2 határátmenetben az alakja:

11.138. egyenlet - (107,9)

𝒢(p)Z1p̂+mp2m2+i0+g(p),


ahol Z1 skalár, g(p) pedig p2→m2 esetén regulárisan viselkedő rész. A (107,9)-beli pólustag mártixszerkezete (a p̂+m-mel való arányosság) ugyanúgy az unitaritás következménye, mint magának a pólusnak a léte. Ezt a külső elektronvonalak renormálásával kapcsolatos meggondolásokkal egyidejűleg bizonyítjuk be.

Ha (p)(107,9) alakú, akkor az inverz mátrixra

11.139. egyenlet - (107,10)

𝒢1(p)1Z1(p̂m)(p̂m)g(p̂m),hap2m2


áll fenn. A tömegoperátor alakja tehát a következő:

11.140. egyenlet - (107,11)

=G1𝒢111Z1(p̂m)+(p̂m)g(p̂m),hap2m2.


Az effektív (pl. bejövő) elektronvonalnak [vö. (100,15)] az

11.141. egyenlet - (107,12)

𝒰(p)=u(p)+𝒢(p)(p)u(p)


szorzótényező felel meg, ahol u(p) az elektronnak a (p̂–m)u=0 Dirac-egyenletet kielégítő hullámfüggvénye. (p) a relativisztikus invariancia követelményeértelmében ( csakúgy, mint u bispinor) csak egy állandó skalár szorzótényezőben térhet el u(p)-tól:

11.142. egyenlet - (107,13)

𝒰(p)=Zu(p).


Ez a Z′ szorzó határozott kapcsolatban van a Z1 tényezővel, de ezt (107,10)-nek és(107,11)-nek (107,12)-be való egyszerű behelyettesítésével lehetetlen megadni a fellépő határozatlan mennyiségek miatt: a végeredmény függ attól, hogy milyen sorrendben végezzük el (107,12) egyes tényezőire a szóban forgó határátmenetet.

Megkerülhetjük azonban a helyes sorrend megadásának kérdését, ha ehelyett a (107,8) diagramon megadott rekacióra felírjuk az unitaritási feltételt . Az unitaritást általában nem különálló diagramokra, hanem teljes amplitúdókra szoktuk alkalmazni. De p2→m2 esetén a (107,8) pólustag adja a lényeges járulékot az Mfi amplitúdóhoz, így az egyéb, ugyanezt a reakciót leíró diagramoktól eltekinthetünk.

Az unitaritási feltétel értelmében, mint ezt a 80. §-ban megmutattuk, az amplitúdó imaginárius részében megjelenik egy δ-függvénnyel arányos tag az egyrészecskés közbenső állapotok hatásaként:

11.143. egyenlet - (107,14)

iπδ(p2m2)polarMfnMin,


ahol ez esetben az n index csak az egy valódi elektront tartalmazóállapotokat jelöli, az összegezés pedig ennek polarizációjára vonatkozik (a szükségtelen bonyodalmak elkerülése érdekében, csakúgy mint a 80. §-ban, feltételezzük, hogy az unitaritási feltételt a kezdetiés a végső részek helicitásában szimmetrizáltuk , és ekkor Mfi=Mif). Az Mfn amplitúdó a

diagrammal szemléltetett folyamatot írja le, és így alakja

Mfn=(Mfn′)=Z′(Mfn′u),

ahol Mfn′ egy szabad bispinor indexű szorzótényező.[399] Hasonló az Min∗ amplitúdó szerkezete:

Min∗=(̄Min′∗)=Z′(ūMin′∗).

Az elektron polarizációjára való összegezés az (Mfn′u)(ūMin′∗) kifejezésből Mfn′(p̂+m)Min-re vezet, így a (107,14) tag járuléka az Mfi amplitúdóhoz a

Zin′2iπδ(p2–m2){Mfn′(p̂+m)Min′∗}

alakot ölti. Az imaginárius rész e tagja révén megkapjuk az amplitúdó pólustagját; és (80,5) szerint az adódik, hogy

Mfi=–(Zin′2{Mfn′(p̂+m)Min′∗}/p2–m2+i0), p2→m2.

Másrészt ugyanezt az amplitúdót közvetlenül is kiszámítva a (107,8) diagramból, adódik, hogy

iMfi=iMfn′⋅i(p)⋅iMin′∗.

A két egyenlőség összehasonlítása alátámasztja a (p)-nek p2≈m2 körüli viselkedését [(107,9) első tagját] és azt kapjuk, hogy[400]

11.144. egyenlet - (107,15)

Z=Z1.


Ezek után megmutatjuk, hogy az elektronpropagátor kívánt alakjának megadásával a vertexoperátorra már nem adódik újabb megszorítás.

Tekintsük a

11.145. egyenlet - (107,16)


diagramot, amely az elektron A(e)(k) külső téren való szóródását írja le (első rendben a tér szerint sorba fejtve) az összes sugárzási korrekció figyelembevételével. A k→0 határátmenetben p2→p1≡p, a külső tér sajátenergiás korrekciói eltűnnek (emlékezzünk, hogy azok k2=0 esetén is eltűnnek már). Ekkor a diagramhoz tartozó amplitúdó,

11.146. egyenlet - (107,17)

Mfi=e𝒰̄(p)Γ(p,p;0)𝒰(p)A(e)(k0)


az A(e) potenciálnak és az elektron ̄Γátmeneti áramának szorzata. De k→0 esetén az A(e)(x) potenciál egy tértől és időtől független állandóhoz tart. Ehhez a potenciálhoz fizikai tér azonban nem tartozik (a mértékinvariancia speciális esete), így az elektromos áram semmiféle változását nem idézheti elő. Más szavakkal, a vizsgált határesetben az ̄Γátmeneti áramnak a szabad ūγuárammal kell megegyeznie:

11.147. egyenlet - (107,18)

𝒰̄(p)Γμ(p,p;0)𝒰(p)=Z1ū(p)Γμu(p)=ū(p)γμu(p).


Ez a követelmény lényegében megadja az elektron fizikai töltésének definícióját is. Ugyanis –1(p)-t (107,10)-ből a (105,8) Ward-azonosságba helyettesítve,

Γμ(p,p;0)=(1/Z1)γμ–γμg(p)(p̂–m)–(p̂–m)g(p)γμ

adódik, és a (107,18) egyenletet (p̂–m)u=0 és ū(p̂–m)=0 figyelembevételével ez kielégíti.

Látható, hogy a fizikai folyamat amplitúdójának megadásakor a Z1 „renormálási állandó ” kiesik. Kihasználva a Γ kiszámításakor fellépő divergenciák miatti határozatlanságot, megkövetelhetjük

11.148. egyenlet - (107,19)

ū(p)Γμ(p,p;0)u(p)=ū(p)γμu(p),hap2=m2


teljesülését, azazZ1=1 választható.

E definíció hasznát a külső elektronvonalak korrigálásának feleslegessé válása adja:

(p)=u(p).

Erről közvetlenül is meggyőződhetünk, ha észrevesszük, hogy Z1=1 választásakor a (107,11) tömegoperátor kifejezése az

11.149. egyenlet - (107,20)

=(p̂m)g(p̂m)


alakba megy át, és ekkor (107,12) második tagja nulla. Így a valódi részek külső vonalainak renormálásától eltekinthetünk – legyen az foton vagy elektron.[401]



[396] Az r≫1∕m távolságokat tekintjük, ahol m az elektron tömege.

[397] Az előjel nyilvánvaló: (k)2-nek a szabad fotonok D(k2) propagátorához kell tartania.

[398] A fenti megközelítés ötletét H. Kramers vetette fel 1947-ben. A renormálási módszer következetes megvalósítása a kvantumelektrodinamikában F. Dyson , S. Tomonaga , R. P. Feynman és J. Schwinger nevéhez fűződik.

[399] Itt pontosabb fogalmazás szükséges. Az elektron mint stabil rész valójában nem alakulhat át valódi részecskék más halmazába. Formálisan azonban ez utóbbiakként olyan fiktív részecskéket tekinthetünk, amelyeknek a tömege ezt az átalakulást lehetővé tenné. A kapott kifejezést analitikusan kell folytatni a valódi tömegekhez.

[400] A (107,15) egyenlőség közvetlen levezetése a (107,12) definícióból bonyolult számolást igényel; F. Dyson , Phys. Rev. 83, 608 (1951).

[401] A fotonpropagátor renormálásakor a Z=1 választás mint szükséges fizikai követelmény jelentkezett, és ebből a külső fotonvonalak korrekciójának eltűnése automatikusan következik. Formálisan azonban az elektron- és fotonvonalak viselkedése megegyezik: ha Z≠1 lenne, a valós foton eμ hullámamplitúdója a korrekciók figyelembevételével √Z-vel szorzódna.