Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

106.§. Az elektron propagátora külső térben

106.§. Az elektron propagátora külső térben

Ha a rendszer adott A(e)(x) külső elektromágneses térben helyezkedik el, akkor a pontos elektronpropagátort ugyanúgy mint eddig, a (102,1) formula adja, de a H=H0+V Hamilton-operátor, amelyet a Heisenberg-képbeli téroperátorok megadásához használunk, tartalmazni fogja az elektronoknak a külső térrel való kölcsönhatását is:

11.103. egyenlet - (106,1)

V=eAμjμd3x+eAμ(e)jμd3x.


Minthogy a külső tér sérti a téridő homogenitását a (x,x′) propagátor mindkét változótól külön-külön függ, nemcsak az x–x′ különbségtől.

Ha a szokott módon áttérünk a kölcsönhatási kép használatára, akkor a szokásos diagramtechnikára jutunk azzal az eltéréssel, hogy a virtuális fotonvonalakon kívül a külső tér vonalai is előfordulnak. Ez a módszer azonban kényelmetlen abban az esetben, ha a külső tér nem tekinthető kis perturbációnak, és főleg, ha a részecskék kötve lehetnek a külső térben. Az elektron külső térbeli propagátora többek között éppen azért fontos, hogy a kötött állapot tulajdonságait, speciálisan a sugárzási korrekciókkal módosított energiaszintjeit, tanulmányozhassuk. E propagátor konstrukciójára az operátorok olyan reprezentációját használjuk, amelyben a külső tér hatását egzaktul figyelembe vesszük az elektron-foton kölcsönhatásnak már a nulladik rendjében is (W. H. Furry, 1951).

A továbbiakban a külső teret stacionáriusnak, azaz időfüggetlennek tételezzük fel.

A ψ-operátorok kívánt reprezentációját a külső térbeli második kvantálás (32,9) képletei adják:

11.104. egyenlet - (106,2)

Ψe(t,r)=n{anψ(+)(r)ei𝜀n(+)t+bn+ψn()(r)ei𝜀n()t},Ψ̄(e)(t,r)=n{an+ψ̄n(+)(r)ei𝜀n(+)t+bnψ̄()(r)ei𝜀n()t},(106,2)


ahol ψn(±)(r)és εn(±) az elektron és pozitron hullámfüggvényei és sajátenergiái, amelyek az „egyrészecskés” feladatnak – a külső térbeli Dirac-egyenletnek– megoldásai. Könnyű belátni, hogy a (106,2) operátorok olyan képbeli operátorok, amelyek a kölcsönhatási és a Heisenberg-kép között helyezkednek el valahol középúton (Furry-reprezentáció) . Ugyanis a következő alakbanírhatók:

11.105. egyenlet - (106,3)

Ψ(e)(t,r)=eiH1tΨ(r)eiH1t,Ψ̄(e)(t,r)=eiH1tΨ̄(r)eiH1t,(106,3)


ahol

H1=H0+e∫Aμ(e)(x)jμ(x) d3x.

Az elektromágneses tér operátora Aμ természetszerűleg felcserélhető H1 második tagjával, így szempontjából a Furry-kép a kölcsönhatási képpel azonos.

A nulladrendű elektronpropagátor az új reprezentációban

11.106. egyenlet - (106,4)

Gik(e)(x,x)=i0|TΨi(e)(x)Ψ̄k(e)(x)|0


alakú. A Ψ(e)(t,r) téroperátor a külső térbeli Dirac-egyenletnek tesz eleget:

11.107. egyenlet - (106,5)

[p̂eÂ(e)(x)m]Ψ(e)(t,r)=0,


G(e)-re viszont a

11.108. egyenlet - (106,6)

[p̂eÂ(e)(x)m]G(e)(x,x)=δ(4)(xx)


egyenlet vonatkozik [hasonlítsuk össze a (104,5) eredménnyel].

A pontos propagátort e2 hatványai szerinti sor alakjában megadó diagrammódszert a Heisenberg-képről a Furry-képre áttérve alkothatjuk meg, ugyanúgy, ahogy korábban a kölcsönhatási képben tettük. Végeredményben azonos alakú diagramokat kapunk, mint ott, de a folytonos vonalaknak ez esetben az iG(e) mennyiség felel meg (iG helyett).

A diagramok analitikus felírásakor egyetlen lényegtelen eltérés jelentkezik, amely azzal kapcsolatos, hogy G(e) a koordinátareprezentációban nemcsak az x–x′ különbség függvénye. Állandó külső térben azonban az időbeli homogenitás megmarad, és így a t és t′ időpillanatok az előzőkhöz hasonlóan csak a t–t′≡τ különbség alakjában jelennek meg, így

G(e)=G(e)(τ,r,r′).

Az impulzusreprezentációra a függvény összes változója szerinti Fourier-transzformációval térhetünk át:

11.109. egyenlet - (106,7)

G(e)(τ,r,r)=ei(p2rp1r𝜀τ)G(𝜀,p2,p1)d𝜀2πd3p1(2π)3d3p2(2π)3.


Minden egyes vonalhoz, melynek iG(e)(ε,p2,p1)-et feleltetünk meg, így egy virtuális energiaértéket és két impulzust, a kezdeti p1-et és a végsőp2-t kell hozzárendelnünk:

11.110. egyenlet - (106,8)

iG(e)(𝜀,p2,p1)=p2𝜀p1.


Ezzel megkapjuk a diagramok analitikus alakjának felírási szabályait, amelyekben megszokott módon integrálunk dε∕2π szerint, viszont a d3p1∕(2π)3és ad3p2∕(2π)3 impulzusok szerinti integrálást egymástól függetlenül végezzük el az impulzusmegmaradás figyelembevételével, minden csúcsban. Így például

11.111. egyenlet - (106,9)

=e2G(e)(𝜀,p2,p)γμG(e)(𝜀ω,pk,pk)××γνG(e)(𝜀,p,p1)Dμν(ω,k)d4k(2π)4d3p(2π)3d3p(2π)3.(106,9)


Fontos észrevétel, hogy a most bemutatott módszerben az önmagukban zárt elektronvonalakat tartalmazó diagramokat szintén figyelembe kell vennünk, amelyek pedig a szokásos módszerben, mint pl. a „vákuumárammal ” kapcsolatosakban, elhagyhatók voltak. Külső tér esetén ez az áram már nem kell, hogy nulla legyen, mivel a külső tér „polarizálja a vákuumot ”. Így a

11.112. egyenlet - (106,10)


diagram felső hurokjához az

11.113. egyenlet - (106,11)

iG(e)(ω,p+k,p)d3p(2π)3dω2π


tényező tartozik. Ez esetben azonban pontosabb tartalmat kell adnunk a dω szerinti integrálásnak. A helyzet az, hogy a dω szerinti integrálással a G(e)(τ) függvényt a τ=0 helyen kapjuk; de a G(e)(τ) függvény ott éppen szakadásos, így meg kell mondanunk, hogy a két határérték közül melyiket kell tekintetbe vennünk. A kérdés tisztázásához elegendő figyelembe vennünk, hogy a (106,11) integrál azoknak aΨ-operátoroknak az összevonásából származik, amelyek azonos áramban fordulnak elő:

jμ=Ψ̄(e)(t,r)γμΨ(e)(t,r),

ahol Ψ(e) a Ψ(e)-től balra áll. A (106,4) propagátordefiníció szerint ez a sorrend t=t′ esetén akkor adódhat, ha t′-t mint t′=t+0-t tekintjük, azaz a G(e)(t–t′) függvényt a t–t′→–0 helyen vesszük. Másképp fogalmazva, a (106,11) integrált (dω/2π) szerint véve, a következőképpen kell értelmezni:

11.114. egyenlet - (106,12)

eiωτdω2πτ0.


A tömegoperátort külső térben ugyanúgy definiáljuk, mint a 102. §-ban: –iℳ a kompakt sajátenergiás blokkok összege. Ez a jelen esetben az ε energia és a p1,p2 impulzusok függvénye (p1 és p2 azokhoz a vonalakhoz tartoznak, amelyek bemennek, illetve elhagyják a betétrészt):

11.115. egyenlet - (106,13)


(102,6) levezetésével azonos módon eljárva, kapjuk a

11.116. egyenlet - (106,14)

𝒢(𝜀,p2,p1)G(e)(𝜀,p2,p1)==G(e)(𝜀,p2,p)(𝜀,p,p)𝒢(𝜀,p,p1)d3p(2π)3d3p(2π)3(106,14)


egyenletet.

Könnyebben áttekinthető alakra jutunk, ha a térkomponensek szerint visszatérünk a koordinátareprezentációra a

11.117. egyenlet - (106,15)

𝒢(𝜀,r,r)=𝒢(𝜀,p2,p1)ei(p2rp1r)d3p1d3p2(2π)6


függvényt bevezetve. Hasonló eljárást követünk a többi függvényre is. A(106,14) egyenlet inverz Fourier-transzformációját elvégezve, a következőt kapjuk:

(ε,r,r′)–G(e)(ε,r,r′)=∬G(e)(ε,r,r2)ℳ(ε,r2,r1)(ε,r1,r′) d3x1d3x2.

Alkalmazzuk az egyenletre a

γ0ε–γp–eγμAμ(e)(x)

operátort (ε szám, p=–i∇ az r koordináták szerinti differenciálás operátora). Ennek során vegyük figyelembe, hogy (106,6) szerint

11.118. egyenlet - (106,16)

[γ0𝜀γpeÂ(e)(x)]G(e)(𝜀,r,r)=δ(rr).


Eredményként a következő egyenlet adódik:

11.119. egyenlet - (106,17)

[γ0𝜀γpeÂ(e)(x)]𝒢(𝜀,r,r)(𝜀,r2,r1)𝒢(𝜀,r1,r)d3x1=δ(rr).


A (e)(ε,r,r′) függvény jelentősége az, hogy pólusai az elektron külső térbeli energiaszintjeit határozzák meg.

Ezt elsőként a G(e)(ε,r,r′) közelítő függvényre mutatjuk meg. A (106,2) operátorokat a (106,4) propagátordefinícióba helyettesítve [a szabad részecskékre vonatkozó (76,12)-nek megfelelő képletekhez hasonlóan], azt kapjuk, hogy

11.120. egyenlet - (106,18)

Gik(e)(tt,r,r)=inψni(+)(r)ψ̄nk(+)(r)exp{i𝜀n(+)(tt)},hat>t,inψni()(r)ψ̄nk()(r)exp{i𝜀n()(tt)},hat<t,


majd a Fourier-transzformáltakraáttérve,

11.121. egyenlet - (106,19)

Gik(e)(𝜀,r,r)=nψni(+)(r)ψ̄nk(+)(r)𝜀𝜀n(+)+i0+ψni()(r)ψ̄nk()(r)𝜀𝜀n(+)+i0.


Látható, hogy G(e)(ε,r,r′) mint ε analitikus függvénye a pozitív valós féltengelven pólusokkal rendelkezik, amelyek megegyeznek az elektron energiaszintjeivel, ugyanakkor a negatív féltengelyen is pólusai vannak, a pozitron energiaszintjeinek megfelelően. Az εn(±)>mértékek alkotják a folytonos spektrumot,[393]és a megfelelő pólusok az ε sík két vágását hozzák létre: –∞-től–m-ig az egyiket és m-től +∞-ig a másikat. Az |ε|<m szakaszon találjuk a diszkrét energiaszinteket meghatározó pólusokat.

A pontos (ε,r,r′) propagátorra hasonló kifejtést kaphatunk, ha azt Schrödinger-operátorok mátrixelemeivel fejezzük ki, amelyekkel a Heisenberg-operátorok mátrixelemeit az

11.122. egyenlet - (106,20)

m|Ψ(t,r)|n=m|Ψ(r)|nei(EnEm)t


egyenlet köti össze (hasonlóan Ψ̄-ra). Itt En a pontos (az összes sugárzási korrekciót tartalmazó) külső térbeli energiaérték. A Ψ operátor eggyel (azaz+|e|-kel) növeli, a Ψ̄ csökkenti a rendszer töltését. Eszerint az ⟨n|Ψ|0⟩és⟨0|Ψ̄|n⟩ mátrixelemekben az |n⟩állapotoknak +1 töltésű rendszert kell képviselniük, azaz egy pozitron mellett csak bizonyos számú elektron-pozitron pártés néhány fotont tartalmazhatnak; az állapotok energiáját En(–)-szal jelöljük. Hasonló módon a ⟨0|Ψ|n⟩és ⟨n|Ψ̄|0⟩ mátrixelemekben az |n⟩állapotok 1 elektront + párok és fotonok rendszerét tartalmazhatják (En+ energiával). Ekkor(106,18) helyett a

11.123. egyenlet - (106,21)

𝒢ik(tt,r,r)==in0|Ψi(r)|nn|Ψ̄k(r)|0exp{iEn(+)(tt)},hat>t,in0|Ψ̄k(r)|nn|Ψi(r)|0exp{iEn()(tt)},hat<t(106,21)


egyenletet kapjuk, és ebből

11.124. egyenlet - (106,22)

𝒢ik(𝜀,r,r)=n0|Ψi(r)|nn|Ψ̄k(r)|0𝜀En(+)+i0++0|Ψ̄k(r)|nn|Ψi(r)|0𝜀+En()i0(106,22)


adódik.

Legyen ε valamely En(+) diszkrét energiaszint értékéhez (vagy –En(–)-hoz) közel. Ekkor az egész (106,22) összegből elég csak a megfelelő pólusú tagot megtartani. Ezt (106,17)-be helyettesítve, látjuk, hogy a második változótól, r′-től függő tényezők az egyenletből (r≠r′ esetén) kiesnek. Ekkor tehát a ⟨0|Ψ(r)|n⟩ függvényre [vagy ⟨n|Ψ(r)|0⟩-ra, amelyet a rövidség kedvéért Ψn(r)-rel jelölünk][394] homogén integro-differenciálegyenlet adódik. Elhagyva az n indexet:

11.125. egyenlet - (106,23)

[γ0𝜀+iγeÂ(e)(r)]ikΨk(r)ik(𝜀,r,r1)Ψk(r1)d3x1=0.


Az En diszkrét energiaértékek most mint ennek az egyenletnek a sajátértékei tekinthetők. Eszerint a (106,23) egyenlet képezi azok szokásos meghatározásának alapját.

Fejezzük ki például (106,23)-ból az ℳ-ben elsőrendű korrekciót a

11.126. egyenlet - (106,24)

[γ0𝜀+iγeÂ(e)(r)]Ψn(r)=0


Dirac-egyenlet megoldásából adódóεn energiaértékhez; legyen (106,24)ψn(r) megoldása az

11.127. egyenlet - (106,25)

ψnψnd3x=1


feltétellel normálva. A (106,23) egyenlet sajátfüggvényét keressük

11.128. egyenlet - (106,26)

Ψn(r)=ψn(r)+ψn(1)(r)


alakban, ahol ψn(1) a ψn(r) korrekciója. (106,26)-ot a (106,23) egyenletbe helyettesítve és azt balról ψ̄n(r)-rel megszorozva, majd d3x szerint integrálva,[395] kapjuk a keresett energiaeltolódást:

11.129. egyenlet - (106,27)

Enenψ̄ni(r)ik(𝜀,r,r1)ψnk(r1)d3xd3x1.




[393] Feltételezzük, hogy a külső tér a végtelenben eltűnik.

[394] A sugárzási korrekciókat elhanyagolva Ψn(r) (az egyelektronos vagy egypozitronos állapotokra) a Dirac-egyenletψn(+) vagy ψn(–) megoldásaival egyezik meg.

[395] Az integrálás során használjuk ki a (106,24) egyenlet differenciáloperátorának önadjungált voltát, hogy hatását ψn(1)-ről ψ̄n-re átháríthassuk.