Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

105.§. A Ward-azonosság

105.§. A Ward-azonosság

A mértékinvariancia következményeként még egy, a Dyson-egyenleteknél egyszerűbb összefüggéssel kapcsolható egybe a fotonpropagátor és a vertexoperátor.

Levezetéséhez végezzük el a (99,8) mértéktranszformációt, feltéve, hogy χ(x)≡δχ(x) infinitezimális, egyszerű (nem operátor) függvénye a téridőnek. Ekkor az elektronpropagátor a

11.88. egyenlet - (105,1)

δ𝒢(x,x)=ie𝒢(xx)[δχ(x)δχ(x)]


mennyiséggel változik meg. Hangsúlyozzuk, hogy az ilyen típusú mértéktranszformáció sérti a téridő homogenitását, és a δ függvény már külön-külön függ azxés az x′ változóktól, nem csupán az x–x′ különbségtől. Más szavakkal, impulzusreprezentációban δ két impulzustól függ:

δ(p2,p1)=∬δ(x,x′)eip2x–ip1x′d4xd4x′.

Ebbe (105,1)-et behelyettesítve és a d4xd4ξ vagy ad4ξd4x′ szerint integrálva (ξ=x–x′), azt kapjuk, hogy

11.89. egyenlet - (105,2)

δ𝒢(p+q,p)=ieδχ(q)[𝒢(p)𝒢(p+q)].


Másrészt az Aμ(x) operátorhoz mértéktranszformációkor a

11.90. egyenlet - (105,3)

δAμ(e)(x)=xμδχ


függvényt adjuk hozzá, amely infinitezimális külső térként tekinthető. Impulzusreprezentációban

11.91. egyenlet - (105,4)

δAμ(e)(q)=iqμδχ(q).


A δ propagátorkorrekcióúgy is számítható, mint a propagátor megváltozása e tér hatására. δχ-ben első rendig nyilván egyetlen vázdiagrammal ábrázolható a változás:

Itt a vastag szaggatott vonal a külső tér effektív vonala, azaz ehhez [l. (100,15)] a

δAμ(e)(q)+δAλ(e)(q)(λν(q)/4π)νμ(q)

tényező tartozik. Ám a δAλ(e)(q) négyesvektor longitudinális (q-hoz viszonyítva), a λν tenor viszont transzverzális. Így a második tag nulla; ami megmarad, az

11.92. egyenlet - (105,5)


egyenlőségként írható, ahol a vékony szaggatotthoz a szokásos módon a δA(e) teret rendeljük hozzá. Analitikusan:

11.93. egyenlet - (105,6)

δ𝒢=e𝒢(p+q)Γμ(p+q,p;q)𝒢(p)δAμ(e).


Ebbe (105,4)-et behelyettesítve és a kapott eredményt (105,2)-vel összehasonlítva, a

(p+q)–(p)=–(p+q)Γμ(p+q,p;q)(p)⋅qμ

összefüggésre jutunk, illetve az inverz mátrixokra nézve

11.94. egyenlet - (105,7)

𝒢1(p+q)𝒢1(p)=qμΓμ(p+q,p;q)


(H. S. Green, 1953).

Ebben az egyenlőségben elvégezve a q→0 határátmenetet, és végtelen kicsiny qμ esetén összehasonlítva a két oldalt, a

11.95. egyenlet - (105,8)

pμ𝒢1(p)=Γμ(p,p;0)


egyenlőségre az ún. Ward-azonosságra jutunk (J. G. Ward, 1950). Látható, hogy –1(p) impulzus szerinti deriváltja a vertexoperátor nulla impulzusátadáshoz tartozóértékével egyezik.[392] A (p) függvény deriváltjára a

11.96. egyenlet - (105,9)

pμi𝒢(p)=i𝒢(p)[iΓμ(p,p;0)]i𝒢(p)


azonosság igaz.

Hasonló módon a magasabb deriváltakat is megadhatjuk, ha a δχ-ben magasabb rendű tagokig elmegyünk. Ezekre a képletekre azonban nem lesz szükségünk.

Vizsgáljuk most a polarizáció vektorának∂(k)∕∂kμ derivált függvényét. A (p) függvénytől eltérően ez a mennyiség mértékinvariáns, és így a (105,4) fiktív külső tér bevezetésekor változatlan marad. Ezért deriváltjának megadására a fenti módszer nem alkalmazható. Kiszámítására mégis egy jól definiált diagram-összefüggést kaphatunk.

E célból tekintsük az első diagramot, amely -be járulékot ad – a másodrendű

11.97. egyenlet - (105,10)


diagramot. A folytonos vonalaknak az iG(p) és iG(p+k) mennyiségeket feleltetjük meg. A k szerinti deriválás ezek közül a másodikat i∂G(p+k)∕∂k-ra változtatja, ami a (105,9) azonosság következtében ekvivalens egy nulla impulzusú fotonvonalnak az eléktronvonalra való „ráültetésével”:

11.98. egyenlet - (105,11)


Látjuk, hogy az első nem eltűnő rendben a keresett mennyiség kifejezhető egy 3 fotonágú diagrammal. Azonnal hangsúlyozzuk, hogy ez a diagram nem egy fotonnak kettővé való felhasadását írja le. E folyamat amplitúdóját a (105,11) diagram és egy, a belső elektronvonál irányításában tőle különböző diagram írná le, ezeknek összege a Furry-tétel alapján nulla. A (105,11) diagram egymagában azonban nullától külöböző lehet.

Hasonlóan differenciálhatjuk a bonyolultabb diagramokat is minden k-tól függő elektronvonalhoz egy k′=0 impulzusú fotonvonalat kapcsolva. Vannak azonban olyan diagramok is, amelyekben a belső fotonvonalak is k-függők, például a

egyenlőség bal oldalán álló diagramban. A zárójelbeli diagram deriváltját itt új grafikus jelölés bevezetésével fejezhetjük ki grafikusan – a fiktív háromfotonos csúcséval , amelyben három fotonvonal találkozik, és amelyhez a

11.99. egyenlet - (105,12)

4πiD1kμ=2ikμvμ


mennyiségeket rendelhetjük. Ezek után tetszőleges diagramot differenciálhatunk, ak-tól függő vonalakhoz vμ-t vagy γμ-t rendelve, majd azt a szokásos szabályok szerint kiértékelve. Ezeket a magasabb rendű korrekciókat összegezve, az adódik, hogy

11.100. egyenlet - (105,13)

14π𝒫μνkλ=𝒱μλν,


ahol ieμλν az összes, a fent mutatott módon kapott 3 fotonágú diagramösszegeként adódó belső betétrészt jelöli.

A továbbiak szempontjából még a polarizációs operátor második deriváltjára is szükségünk lesz. Hasonló módon, még egyszer deriválva a (105,13) egyenletet, kapjuk, hogy

11.101. egyenlet - (105,14)

14π2𝒫μνkϱkσ=𝒮μϱσν+𝒮μσϱν,


ahol ie2 a 4 fotonágú belső betétrészekösszegét képviseli:

11.102. egyenlet - (105,15)


[ez természetesen tartalmazza a fiktív 3 fotonágú csúcsok(105,12) járulékát is].



[392] Nulladik közelítésben, azaz szabad részecskék propagátorára ez az azonosság nyilvánvaló: G–1(p)=p̂–m, így ∂G–1∕∂pμ=γμ.