Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

104.§. A Dyson-egyenletek

104.§. A Dyson-egyenletek

A pontos propagátorok és a vertexfüggvény között integrálegyenletek teremtenek kapcsolatot. Eredetük különösen világos a grafikus módszer alkalmazásakor.

Az előző szakaszban bevezetett, a reducibilitásra vonatkozó fogalmak természetesen nemcsak a csúcsrészre, de egyéb diagramokra (vagy részeikre) is kiterjeszthetők. Vizsgáljuk meg ilyen szempontból az elektron sajátenergiás diagramjait .

Könnyű belátni, hogy e diagramok végtelen sokaságából csak egy irreducibilis választható ki, a

másodrendű diagram. E diagram bármely további bonyolítása belső vonalainak (elektron- vagy foton-) vagy egyik csúcsának korrekciójaként tekinthető. Lényeges, hogy a diagram szemmel látható szimmetriája révén az összes csúcs korrekciója hozzárendelhető a két csúcs egyikéhez (bármelyikhez).[390]

Mivel az összes kompakt sajátenergiás rész közül csak egyetlen irreducibilis, így ezek összességét (azaz az ℳ tömegoperátort) egyetlen vázdiagrammal ábrázolhatjuk:

11.82. egyenlet - (104,1)


Analitikus alakban írva az előző grafikus egyenlőséget, azt kapjuk, hogy[391]

11.83. egyenlet - (104,2)

(p)=G1(p)𝒢1(p)==ie2γν𝒢(p+k)Γμ(p+k,p;k)𝒟μν(k)d4k(2π)4.(104,2)


Hasonló kifejezés írható fel a polarizációs operátorra is. A foton kompakt sajátenergiás betétrészei közül ugyancsak egyetlen irreducibilis található, aminek következtében szintén egyetlen vázdiagrammal adható meg:

11.84. egyenlet - (104,3)


A megfelelő analitikus egyenlet:

11.85. egyenlet - (104,4)

𝒫μν(k)4π=Dμν1(k)𝒟μν1(k)==ie2 Spγμ𝒢(p+k)Γν(p+k,p;k)𝒢(p)d4k(2π)4(104,4)


[a (104,2)és (104,4) egyenletekben a bispinor indexeket elhagytuk].

A (104,2) és (104,4) összefüggéseket nevezzük Dyson-egyenleteknek . Azok analitikusan is levezethetők.

Így a (104,2) egyenlet levezetéséhez tekintsük a

(p̂–m)illk(x–x′)=–i(p̂–m)il⟨0|TΨl(x)Ψ̄k(x′)|0⟩

mennyiséget (p=i∂ az x szerinti differenciálás operátora). Ezt (99,5) segítségével ugyanúgy számítjuk ki, mint a (76,7) egyenlőség levezetése során azt szabad részecskék esetében tettük. Az eredmény:

(p̂–m)illk(x–x′)=–ieγilν⟨0|TAν(x)Ψl(x)Ψ̄k(x′)|0⟩+δikδ(4)(x–x′);

a δ-függvényt tartalmazó rész a jobb oldalon ugyanúgy lép fel, mint (76,7)-ben, mivel a ψ-operátorok egyidejű felcserélési relációi a Heisenberg-képben ugyanazok, mint a kölcsönhatásiban. Az első tag viszont éppen –ieγνilKlkν(x,x,x′), így (a bispinor indexeket elhagyva) írhatjuk, hogy

11.86. egyenlet - (104,5)

(p̂m)𝒢(xx)=ieγμKμ(x,x,x)+δ(4)(xx).


A Fourier-transzformáltakra valóáttéréshez megjegyezzük, hogy a (103,3)összefüggést d4kd4p2∕(2π)8 szerint integrálva,

11.87. egyenlet - (104,6)

Kμ(p+k,p;k)d4k(2π)4=Kμ(0,0,x3)eipx3d4x3==Kμ(x,x,x)eip(xx)d4(xx)(104,6)


adódik, amiből látszik, hogy a bal oldali integrál éppen a Kμ(x,x,x′) Fourier-transzformáltja (a δ-függvény leválasztása után). Így (104,5) mindkét oldalának Fourier-transzformáltját véve, felhasználva a (103,9) definíciót és figyelembe véve, hogy p̂–m=G–1(p), kapjuk a

G–1(p)(p)=1–ie2∫γν(p+k)Γμ(p+k,p;k)(p)⋅μν(k)(d4k/(2π)4)

összefüggést. Végül ezt jobbról –1(p)-vel szorozva, megkapjuk (104,2)-t.



[390] A tisztánlátás kedvéért aláhúzzuk, hogy bár megkapjuk a kívánt diagramhalmazt, ha csak az egyik csúcshoz rajzolunk korrekciókat, de a korrekciós blokk szerkezete általában különböző aszerint, hogy melyik csúcshoz rendeljük hozzá. Példaként tekintsük a diagramot, ahol négyzettel kereteztük be azokat a betétrészeket, amelyek a csúcs szerepét játsszák aszerint, hogy ugyanannak a diagramnak melyik csúcsához rendeljük a korrekciókat.

[391] Ha (104,1)-ben a pontos vertexoperátort a bal oldali vertexhez rendeljük, akkor a (104,2) egyenletben a γ és Γ tényezők felcserélődnek. Magától értetődően, az egyenlet két alakja ekvivalens.