Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

103.§. A vertexoperátor

103.§. A vertexoperátor

A bonyolult diagramokból a sajátenergiás betétek mellett azokra vissza nem vezethető, más típusú blokkokat is el lehet különíteni. Fontos blokkcsoportot kapunk, ha a

11.65. egyenlet - (103,1)

Kikμ(x1,x2,x3)=0|TAμ(x1)Ψi(x2)Ψ̄k(x3)|0


függvényt vizsgáljuk, amelynek egy vektor-, és két bispinor indexe van; a téridő homogenitása miatt azonban csak az x1,x2,x3 független változók különbségeitől függ. A kölcsönhatási kép operátoraival kifejezve, K alakja a következő:

11.66. egyenlet - (103,2)

Kikμ(x1,x2,x3)=0|TAintμ(x1)Ψiint(x2)Ψ̄kint(x3)S|00|S|0.


Az impulzusreprezentációra valóáttéréskor a következő képletet alkalmazzuk:

11.67. egyenlet - (103,3)

(2π)4δ(4)(p1+kp2)Kikμ(p2,p1;k)==Kikμ(x1,x2,x3)eikx1+ip2x2ip1x3d4x1d4x2d4x3.(103,3)


Grafikusan ábrázolva, Kikμ-nek a

11.68. egyenlet - (103,4)


(háromágú ) blokkok feleltethetők meg, melyek három külső vonalán (egy foton- és két elektronvonalán) haladó impulzusokra a

11.69. egyenlet - (103,5)

p1+k=p2


impulzusmegmaradás-törvényérvényes.

A fenti függvény perturbatív kifejtésének nulladrendű tagja eltűnik, az elsőrendűt koordinátareprezentációban a

Kμ(x1,x2,x3)=e∫G(x2–x)γνG(x–x3)⋅Dνμ(x1–x) d4x,

impulzusreprezentációban a

11.70. egyenlet - (103,6)

Kμ(p2,p1;k)=eG(p2)γνG(p1)Dνμ(k)


képlet adja meg (a bispinor indexeket elhagytuk). A megfelelő diagram:

11.71. egyenlet - (103,7)


A következő rendű közelítésre áttérve, új csúcsok épülnek be az előző ábrába. De nem minden új lehetőség ad lényegesen újat. Így harmadrendben a következő diagramok tanulmányozandók:

11.72. egyenlet - (103,8)


Az első hármat (egyetlen foton-, illetve elektronvonal elvágásával szétvághatjuk az egyszerű (103,7) vertex és egy másodrendű sajátenergiás betét összegére; ez azonban a negyedik diagram esetében nem lehetséges. Ez a helyzet általában is. Az első típusba sorolható korrekciók (103,6)-ban G-nek és D-nek a és pontos propagátorokkal való helyettesítésére vezetnek. A megmaradt tagok új mennyiséget építenek fel, amely (103,6)-ban γμ helyére kerül. Ezt Γμ jelöli, és a

11.73. egyenlet - (103,9)

Kμ(p2,p1;k)={i𝒢(p2)[ieΓν(p2,p1;k)]i𝒢(p1)}[i𝒟νμ(k)]


képlet határozza meg.

Azt a blokkot, melyet a Feynman-diagram egyéb részeivel egy foton- és két elektronvonal köt össze, csúcsrésznek nevezzük, ha ezt a blokkot nem lehet további részekre bontani egyetlen (elektron vagy foton-) vonal elvágásával. A Γμ mennyiség reprezentálja a csúcsrészek (végtelen) összegét, beleértve az egyszerű γμ-t is. Neve vertexoperátor (vagy vertexfüggvény ).

Íme, a vertexoperátorban járulékot adó összes diagram ötödrendig bezárólag:

11.74. egyenlet - (103,10)


[A –ieΓ pontos vertexoperátort vastag ponttal jelöltük.]

A Γ operátornak (csakúgy, mint az egyszerű vertex γ operátorának) két bispinor és egy négyesindexe van. Két elektron- (p1,p2) és egy fotonimpulzus (k) függvénye. De egyidejűleg mindhárom impulzus nem tartozhat valódi részecskéhez: a (103,4) diagram egymagában (ellentétben a bonyolultabb diagramokkal) egy foton abszorpcióját írná le szabad elektronon, amely folyamatot azonban a négyesimpulzus megmaradása valódi részecskékre tiltja. Ezért legalább a diagram egyik ágának virtuális részecskét (vagy külső teret) kell leírnia.

A csúcsrészeket két újabb kategóriába oszthatjuk: reducibilisra és irreducibilisra . Irreducibilisnek hívjuk azokat, amelyek nem tartalmaznak belső vonalakra vonatkozó sajátenergiás betéteket, és amelyekben nem választhatók le belső csúcsokra vonatkozó (alacsonyabb rendű) korrekciók. Így a (103,10) diagramok közül csak b) és d) irreducibilis (az egyszerű a) diagramtól eltekintve). A g), h), i) diagramok sajátenergiás betétet tartalmaznak, a c) diagramon a felső szaggatott vonalat mint a felső verteihez járuló korrekciót lehet tekinteni, az e) és f) diagramok oldalsó fotonja viszont az oldalsó vertexek korrekcióit adja.

Az irreducibilis diagramokban a belső vonalakat vastag vonalakkal helyettesítve, a csúcsokat pedig vastag pontokkal (azaz a közelítő D,G propagátorokat a pontos -re, -re, a közelítő γ vertexoperátorokat a pontos Γ-ra[388] cserélve), megkapjuk a vertexoperátor sorfejtését:

11.75. egyenlet - (103,11)


Ez az egyenlőség Γ-ra integrálegyenletet ad, ahol a jobb oldal végtelen sok tagból áll.

Az elmondottakból világos a tetszőleges számú külső vonalat tartalmazó blokkok pontos kifejezése konstrukciójának általános elve. Ezek a Heisenberg-operátorokT-szorzatának vákuumbeli várható értékei: minden egyes Ψ(x) operátorhoz egy végső elektron,Ψ̄(x)-hez egy kezdeti elektron, és A(x)-hez egy foton tartozik.

Még egy példaként a

11.76. egyenlet - (103,12)


alakú, négy elektron-ágú diagramot vizsgáljuk. Ezekre a diagramokra a

11.77. egyenlet - (103,13)

Kik,lm(x1,x2;x3,x4)=0|TΨi(x1)Ψk(x2)Ψ̄l(x3)Ψ̄m(x4)|0


függvény vizsgálatával jutunk (amely természetesen csak argumentumainak különbségétől függ). Fourier-transzformáltja

11.78. egyenlet - (103,14)

Kik,lm(x1,x2;x3,x4)ei(p3x1+p4x2p1x3p2x4)d4x1d4x2d4x3d4x4==(2π)4δ(4)(p1+p2p3p4)Kik,lm(p3,p4;p1,p2)(103,14)


alakban állítható elő, ahol

11.79. egyenlet - (103,15)

Kik,lm(p3,p4;p1,p2)==(2π)4δ(4)(p1p3)𝒢il(p1)𝒢km(p2)(2π)4δ(4)(p2p3)𝒢im(p1)𝒢kl(p2)++𝒢in(p3)𝒢kr(p4)[iΓnr,st(p3,p4;p1,p2)]𝒢sl(p1)𝒢tm(p2).(103,15)


Az utóbbi kifejezés első két tagja Γ(p3,p4;p1,p2) definíciójából kizárja a két össze nem függő, két külsőággal rendelkező betétre széteső diagramokat, amelyek grafikusan

alakban jelennek meg. A harmadik tagban a tényezők Γ definícióját azokra a diagramokra korlátozzák, amelyek a külső elektronvonalak korrekcióit nem tartalmazzák.

Megjegyezzük, hogy a Fermi-statisztikájúψ-operátorok T-szorzatának tulajdonságai Γ(p3,p4;p1,p2)-re antiszimmetriát követelnek meg a megfelelő külső impulzusok felcserélésekor

11.80. egyenlet - (103,16)

Γik,lm(p3,p4;p1,p2)=Γki,lm(p4,p3;p1,p2)=Γki,ml(p3,p4;p2,p1).


Ha a p1,p2,p3,p4 impulzusok valódi részecskékhez tartoznak, akkor a (103,12) diagram összefüggő járulékai két elektron szórását írják le. E folyamat amplitúdóját a külső vonalaknak a megfelelő részecskék hullámfüggvényét megfeleltetve (a propagátorok helyett) kapjuk meg:[389]

11.81. egyenlet - (103,17)

iMfi=ūi(p3)ūk(p4)iΓik,lm(p3,p4;p1,p2)ul(p1)um(p2).


A (103,16)összefüggés értelmében ez az amplitúdó automatikusan antiszimmetrikus az elektronok felcserélésével szemben.



[388] Az így kapott ábrákat vázdiagramoknak nevezzük.

[389] A továbbiak során (107. §) belátjuk, hogy a valódi folyamatok amplitúdójának konstrukciója során a diagram szabad végein a sajátenergiás betéteket nem kell figyelembe venni.