Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

102.§. A pontos elektronpropagátor

102.§. A pontos elektronpropagátor

A foton esetéhez hasonlóan, a pontos elektronpropagátor definíciója

11.47. egyenlet - (102,1)

𝒢ik(xx)=i0|TΨi(x)Ψ̄k(x)|0


(i,k bispinor indexek), amely a szabad részecskék (76,1)-beli

11.48. egyenlet - (102,2)

Gik(xx)=i0|TΨiint(x)Ψ̄kint(x)|0


propagátorától a kölcsönhatási képbeli Ψ-operátoroknak Heisenberg-képbeliekkel való helyettesítésében tér el.

A (100,7) képlet lezetésével azonos megfontolásokkal ik-t a következő alakra hozhatjuk:

11.49. egyenlet - (102,3)

𝒢ik(xx)=i0|TΨiint(x)Ψ̄kint(x)S|00|S|0.


E kifejezés kifejtése e2 hatványai szerint függvénynek két külső elektronvonallal és különböző számú csúccsal rendelkező diagramok összességeként való előállítására vezet. A (102,3) egyenlet nevezőjének szerepe újra csak az izolált „vákuumhurkok” kiküszöbölése a sorfejtésből. Így ∼e4 pontosságig a propagátor grafikus előállítása (vastag folytonos vonal) a következő alakú:[383]

11.50. egyenlet - (102,4)


A vastag folytonos vonalhoz (impulzusreprezentációban) i(p) rendeljük hozzá, az egyenlőség jobb oldalának összes folytonos és szaggatott vonalához pedig a szabad részecskék megfelelő propagátorait, iG-t, illetve –iD-t.

A két elektronvonal által közrezárt blokkot az elektron sajátenergiás betétrészének nevezzük. Csakúgy, mint a foton esetében, ezt a részt akkor hívjuk kompaktnak , ha már nem bontható tovább két sajátenergiás betétre egy elektronvonal elvágásával. Az összes kompakt betétrész összegét –iℳik-val jelöljük; az ℳik(p) függvény neve tömegoperátor . Így ∼e4 rendben

11.51. egyenlet - (102,5)


Összegezéssel a (100,13) egyenlet levezetésével teljesen megegyező módon kapjuk a

11.52. egyenlet - (102,6)

𝒢(p)=G(p)+G(p)(p)𝒢(p)


(a bispinor indexeket elhagytuk), vagy az inverz mátrixokra vonatkozóan a

11.53. egyenlet - (102,7)

𝒢1(p)=G1(p)(p)=p̂m(p)


egyenletet.

A 99. §-ban már megjegyeztük, hogy a Heisenberg-képbeli ψ-operátorok (a kölcsönhatási képbeliekkel ellentétben) transzformálódnak az elektromágneses potenciálok mértéktranszformációja eredményeként. Ennek következtében a pontos propagátor nem mértékinvariáns. Alább megadjuk mértéktranszformációjának szabályát (L. D. Landau , I. M. Halatnyikov , 1952).

Eleve világos, hogy mértéktranszformáció során bekövetkező változását ugyanazzal a D(l) mennyiséggel kell kifejeznünk, amely e transzformáció során a foton-propagátorhoz adódik. Ez nyilvánvaló, ha észrevesszük, hogy mikor -t a perturbációszámítás diagramjai szerint számítjuk, akkor a sor minden tagját a D függvény segítségével lehet kifejezni, és azokban semmilyen más elektromágneses mennyiség nem lép fel. Ezt a körülményt a levezetés egyszerűsítésére használhatjuk fel: tetszőleges speciális feltevéssel élhetünk a (99,8) transzformációt jellemző χ operátorra vonatkozóan; a válasz általános érvényű lesz, amennyiben csak D(l)-lel kifejezhető.

A (99,8) transzformáció eredményeként a (100,1)-ben megadott és a (102,1)-beli átmegy a

11.54. egyenlet - (102,8)

𝒟μνi0|T[Aμ(x)μχ(x)][Aν(x)νχ(x)]|0,𝒢iki0|TΨi(x)eieχ(x)eieχ(x)Ψ̄k(x)|0(102,8)


függvényekbe.

Most feltételezzük, hogy a χ operátorok kielégítik a Wick-tételt, azaz szorzataik páronként átlagolódnak, függetlenül a T-szorzat egyéb operátoraitól; e feltevés egészen természetes, mivel a mértékinvariancia értelmében a χ „tér” nem vesz részt a kölcsönhatásban. Figyelembe vesszük azt is, hogy magának a χ operátornak is eltűnik a vákuumbeli várható értéke: ⟨0|χ|0⟩. Ekkor (102,8)-ban a χ-t tartalmazó tagok leválaszthatók és a képlet a következő alakot ölti:

11.55. egyenlet - (102,9)

𝒟μν𝒟μν+i0|Tμχ(x)νχ(x)|0,


11.56. egyenlet - (102,10)

𝒢ik𝒢ik+0|Teieχ(x)eieχ(x)|0.


E transzformációk közül az elsőt

11.57. egyenlet - (102,11)

𝒟μν(xx)𝒟μν(xx)+μνd(l)(xx),


alakban írhatjuk,[384] ahol

11.58. egyenlet - (102,12)

d(l)(xx)=i0|Tχ(x)χ(x)|0.


Ebből látszik, hogy d(l) meghatározza a (l) fotonpropagátor longitudinális részének a mértéktranszformáció során bekövetkező változását.

Ezek után fejtsük ki a

11.59. egyenlet - (102,13)

B0|Teieχ(x)eieχ(x)|0.


mennyiséget e hatványai szerint, és képezzük a várhatóértéket a Wick-tételt használva. Világos, hogy minden tag kifejezhetőd(l)-lel. A számítás jelentősen leegyszerűsödik, ha figyelembe vesszük, hogy az eredmény szempontjából χ(x)és χ(x′) nem felcserélhető jellege lényegtelen, ui. felcserélésük csak a nyilvánvalóan páros d(l)(x–x′) függvény argumentumának előjelváltására vezet.[385] Ha feltesszük χ(x)és χ(x′) kommutativitását, akkor (102,13)-ban a kitevőkösszeadhatók (és az időrendezés operátora elhagyható):

B=⟨0|eiφ|0⟩ φ=e[χ(x)–χ(x′)].

E kifejezés kifejtéséből az átlagolás során a páratlan kitevőjű hatványok eltűnnek,

B=∑n=0∞(1/(2n)!)⟨0|φ2n|0⟩.

Továbbá a Wick-tételt használva,

⟨0|φ2n|0⟩=((2n)!/2nn!)⟨0|φ2|0⟩;

a jobb oldali számegyüttható a 2n számú φ operátor lehetséges páronkénti összevonásainak száma (azaz azoknak a módoknak a száma, ahogyan 2n megszámozott pontot páronként össze lehet kötni).[386] Innen

B=∑n=0∞(1/n!)((1/2)⟨0|φ2|0⟩)n=exp(⟨0|φ2|0⟩/2).

Végül figyelembe véve, hogy

⟨0|φ2|0⟩=–e2⟨0|χ2(x)+χ2(x′)–2χ(x)χ(x′)|0⟩=2ie2[ d(l)(0)– d(l)(x–x′)],

transzformációjára, ha (102,11) szerint transzformálódott, a következő eredményt kapjuk:

11.60. egyenlet - (102,14)

𝒢(xx)𝒢(xx)exp{ie2[d(l)(0)d(l)(xx)]}.


Ez a képlet a propagátor koordinátareprezentációbeli alakjára vonatkozik. Általában nem írható át a Fourier-komponensekre , azaz nem lehet a (p) propagátor változását impulzusreprezentációban a (p) propagátor változásával kifejezni. Ez az áttérés azonban infinitezimális mértéktranszformáció esetén lehetséges. A világos írásmód kedvéért d(l)-et ez esetben δd(l)-lel jelölve, (102,14)-ből megváltozására a

11.61. egyenlet - (102,15)

δ𝒢(xx)=ie2𝒢(xx)[δd(l)(0)δd(l)(xx)]


összefüggés érvényes. Fourier-komponensekben kifejezve:[387]

11.62. egyenlet - (102,16)

δ𝒢(p)=ie2d4q(2π)4δd(l)(q)[𝒢(p)𝒢(pq)].


Itt δd(l)(q) a (l) függvény megváltozásával a

11.63. egyenlet - (102,17)

δ𝒟(l)(q)=q2δd(l)(q)


összefüggés szerint hozható kapcsolatba.

Az elektronpropagátorra is lehetséges lenne a (101,11) képlethez hasonló integrálelőállítás levezetése. A levezetés a ψ-operátor mátrixelemére vonatkozó

11.64. egyenlet - (102,18)

ψnm(x)=ψnm(0)ei(PmPn)x


összefüggésen alapszik, hasonlóan a 101. §-nak a (101,6) kifejezésében azáram-mátrixelemekre használt összefüggésekhez. Az árammal ellentétben azonban a ψ-operátorok nem mértékinvariánsak. Ezért a (102,18) típusú koordinátafüggés sem érvényes általában, hanem csak valamely meghatározott mérték használata esetén. Ugyanígy, csak egy meghatározott mérték használata esetén érvényes a(102,18)-ra alapozott integrálelőállítás is. E helyzet mélyebb fizikai oka abban rejlik, hogy a foton nulla tömege az infravörös katasztrófára vezet (95. §). Ennek következtében az elektron a kölcsönhatás során végtelen sok lágy kvantumot bocsát ki, amely körülmény nagymértékben csökkenti a (102,1) propagátor „egyrészecskés” propagátorként valóértelmezhetőségét.



[383] Mint a 100. §-ban már megmagyaráztuk, az önmagában zárt elektronvonalat tartalmazó diagramokat, amelyek itt már másodrendben megjelennének: nem kell figyelembe venni.

[384] (102,9)-ről (102,11)-re áttérhetünk, ha a d(l) függvény és t szerinti differenciálhányadosa t=t′-ben folytonos. Ellenkező esetben a kifejezések jobb oldalai a δ-függvényeket tartalmazó tagokban különböznének [vö. a (76,2) képlet levezetésével]. Impulzustérben ez a feltétel ekvivalens módon úgy fogalmazható meg, hogy d(l)(q)|q|2→∞ esetén 1∕q2-nél gyorsabban csökken.

[385] A χ(x) és χ(x′) operátorok felcserélési tulajdonságai nyilván lényegesek d(l)(x–x′) konkrét függvényalakjának meghatározása szempontjából. Megjegyezzük, hogy χ(x)-et a ∑λ(ω)(ake–ikx+ak+eikx) alakban választva, csak olyan transzformációkat engedünk meg, amelyek a téridő homogenitását nem sértik, azaz -nek csak x–x′-től való függésére vezetnek.

[386] Valóban, válasszunk valamilyen várható érték képzési módot. Ha most a pontok összes permutációját képezzük, akkor (2n)! tagot kapunk. Ezek között feleslegesek is vannak. Először is nem vezet új összevonásra a pontok párokon belüli felcserélése: 2n. Másodszor maguknak a pároknak a felcserélése sem változtat semmit: n!. Így (2n)!-t 2n⋅n!-sal osztva, kapjuk a fenti számot.

[387] Ha f(x)=f1(x)f2(x), akkor Fourier-transzformáltjaf(p)=∫f(x)eipxd4x=∭ d4x(d4q1d4q2/(2π)8)eix(p–q1–q2)f1(q1)f2(q2)=∫(d4q1d4q2/(2π)4)δ(4)(p–q1–q2)f1(q1)f2(q2)=∫(d4q/(2π)4)f1(q)f2(p–q). A (102,15)-ról (102,16)-ra való áttérés során tekintetbe vettük, hogy f(x=0)=∫f(q)(d4q/(2π)4).